第3章 对圆的进一步认识 素养提升检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

。优密卷九年级上册数学·Q A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半 第3章素养提升检测卷 径OA=3km,则这段圆曲线AB的长为( 交点C转角 中回时间：120分钟道满分：120分 曲线终 点B 题号 二 三 总分 曲线半径 曲线半径 得分 圆心0 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题日要求） A.x km B.2x km C.3πkm D.6x km 1.四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线L的最大距离 6.如图所示，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相于点D,E,F,且AB= 弥 为8，则这个圆可能是() AC=5,BC=6,则DE的长是( ) 侧 A.⊙01 B.⊙O C.⊙Os D.⊙O A.30 10 B.3/10 5 C36 5 封 n 2.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盆外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm,则 7.几何直观如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在边BC上.关于结论I,Ⅱ，下 球的半径为( 列判断正确的是( A.3 cm cm D.cm 结论I:若⊙O的半径为2，P是边BC的中点，则PE的长为13： 3.如图所示，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点 结论Ⅱ：连接PF,若S APER= 则EF的长为爱 3 P,下列结论错误的是() 线 A.AP=2OP B.CD=2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB A.只有结论I对 B.只有结论Ⅱ对 C.结论I,Ⅱ都对 D.结论I,Ⅱ都不对 第2题图 第3题图 第4题图 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=4,分别以AC,BC为直径画圆，则阴影 4.如图所示，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙0上，AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD 部分的面积为() 126°，则∠AGB的度数为( ) 孙 A.99 B.108° C.110 D.1179 5.新情境中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图所示是高铁线路在 转向处所设计的圆曲线（即圆孤），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点 A.5π-8 B.20π-8 C.10x-16 D.5x-16 -21 9.应用意识发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图所示是其示意图.点A在 14.如图所示，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三 直线1上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O,AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点 段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积 C,D是直线l与⊙O的交点：当点A运动到点E时，点B到达点C:当点A运动到点F 为 时，点B到达点D.若AB=12,OB=5,则下列结论：①FC=2,②EF=10:③当AB与⊙O 15.如图所示，△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D,连接BD,半径 相切时，EA=4:④当OB⊥CD时，AF=√19-5.其中正确结论有() OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F.若OD=2,则BC= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B. 第14题图 第15题图 第16题图 第9题图 第10题图 16.如图所示，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P,P,…叫做“正方形的渐开线”，其中CP1, 10.如图所示，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A,C重合），弦 P,P2,PP,P,P,的圆心依次按点A,O,B,C循环，点A的坐标为(2,0)，按此规律进 AC,BD交于点H.下列结论：①∠ADB=60°：②当DB最长时，DB=2DC;③当 行下去，则点P2的坐标为 ∠ABD=20时，CD=2AD:④AH·CH=BH·DH.其中一定正确的结论有() 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤） A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 17.(本小题满分10分)“桨轮船”是原始形态的轮船，是我国古代一项重大的船舶技术发明. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 如图所示，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m,轮子的吃水深度CD为1.5m, 11.如图所示，⊙M与x轴相交于点A(2,0),B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标 求该桨轮船的轮子直径 是 优+密卷 第11题图 第12题图 12.如图所示，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E,F,G,H,ED与⊙O相交于点 M,则tan∠MFG的值是 13.湘绣是中国四大名绣之一，是以湖南长沙为中心的带有鲜明湘楚文化特色的湖南剌绣产 品的总称，它起源于湖南的民间刺绣，吸取了苏绣和绣的优点而发展起米，已经有2000 多年历史.日常生活中常见的湘绣由圆盘和支架组成（如图①所示），它可以看作如图②所 示的几何图形.已知AC=BD=5cm,AC⊥CD,垂足为点C,BD⊥CD,垂足为点D, CD=16cm,⊙O的半径r=10cm,则圆盘离桌面CD最近的距离为 em. -22 18.(本小题满分10分)几何直观如图①所示，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO,若 20.(本小题满分10分)如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB ∠BAC+∠OAB=90°. 交于点E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF (1)求证：AB=BC. (1)求证：CF为⊙O的切线. (2)如图②所示，作CD⊥AB交AB于点D,AO的延长线交CD于点E,若AO=3,AE (2)连接BD,取BD的中点G,连接EG.若CF=4,BF=2,求EG的长. 4,求线段AC的长 21,(本小题满分10分)（熟坊期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右 19.(本小题满分10分)如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平 摇摆.某款“不倒翁”的纵裁面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图①所示， 分∠ABC,∠BAC=∠ADB. 它由半圆O和等边三角形PAB组成，直径AB=12cm,半圆O的中点为点C,MN为桌 (1)求证：BD是圆的直径. 面，半圆O与MN相切于点Q,拨动“不倒翁”后它在桌面MN上做无滑动的滚动. (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=3,求此圆半径的长 (1)如图①所示，若AB∥MN,则PC的长为 cm(结果保留根号). (2)如图@所示，连接OC,向右拨动“不倒翰”使∠C0Q=30°， ①猜想PB与MN的位置关系并证明： ②点C到MN的距离为cm(结果保留根号). (3)当PA或PB垂直于MN时“不倒翁”开始折返.求在一次摆动（由图②到图③）的过程 中圆心O移动的距离。 -23 22.(本小题满分10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于23.（本小题满分12分）（烟台中考）如图所示，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,点I为 点D,点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D △ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD, (1)求证：①BC是⊙O的切线，②CD=CE·CA. BE,CE. (2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积 (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数， (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明 (③若CI=-2,巨，DI-号E,求△ABC的周长. 优+密卷 -24BE=2CD,∴BF=CD :OC为⊙0的半径，.CD是⊙O的切线 OE=2,∴.FC=2,AF=6, ,∠C=∠CDO=∠OFC=0 (2)过点O作OH⊥BC于点H,如图所示 ,在R△FCA中，AC=√6-2=A√2. 四边形ODCF为矩形， CD-OF,∴OF-BF n∠BAC-- 4 AB-5, 19.解：(1)证明：BD平分∠ABC, ∴可以程设BC=4使，则AB=5k,.AO=OCCE ∠ABD-∠CBD,∴AD-CD ,∠OBF=∠BOF=45 OB=OE,∴，∠OEB=∠OBE=45, 2.5. :AD是△ABC中∠BAC的平分载， '∠BAC=∠ADB,∴B=BC ∴.∠EOB=90 OH LBC.OC=OB,.CH=BH=2. ∠EAD=∠DAC. AB+AD-BC+CD..BAD-BCD, :AB=22,AB为直径，∴OB=2, OA=OB.AC=AB-BC,AC=3. ⊙O与BC切于点D,∴∠FDC=∠DAC, ∴，BAD是半圆，.BD是团的直径 .S别一Sa形aE一S6世 ∴0H=2AC=2k, .∠FDC-∠EAD 《2)BD是国的直径，∠BAE-∠ADE, _90x×(2)' :“在⊙O中∠EAD=∠EFD, ∴∠BAE+∠DAE=90°，.∠ADE+∠DAE=90', 360 z×2xw2 ∴，EH=CE-CH=2.5k-2k=0.5k, .∠FDC=∠EFD,,EF∥BC ∠AED=90, :BD是圆的直径，∴.BD垂直平分AC ,tan∠CEO OH 第3章素养提升检测卷 AD-CD.AC-AD. 1,C2.C3.A4.B5.A6.D7,C8C9.C10.A ∴，△ACD是等边三角形，∴，∠ADC=60° L.6,4)12.7131 'BDLAC,∠BDC-∠ADC-30 14.号x-2515.4516.4052,0) ,CF∥AD,∴∠F+∠BAD=90°， .∠F=90” 17,解：依题意，得OC⊥AB,AD=BD=3m, :四边形ACD是圆内接四边形， 20,解：(1)如图所示。 22.解：(1)证明：BC∥AE,∠ACB-∠EAC. 如图所示，连接OB,设轮子的直径为dm,则其半径为 ,∠ADC+∠ABC-180 ∠ACB=∠BAD,∠EAC=∠BAD, 号n :∠FBC+∠ABC=180 ∴∠EAD=∠CAB. ∴∠FBC=∠ADC=60',∴.BC-2BF✉6. ∠ADE+∠ADC=180°.∠ADC+∠ABC=180° :∠BCD-90°，∠BDC=30,.BD-2BC-12. ∠ADE-∠ABC ,BD是圆的直径，∴，圆的半径是6. ∠EAD+∠ADE+∠E=18',∠BAC+∠ABC十 20.解：(1)证明：连接OC,OD,如图所示， 水面 OC-OD, 过点O作OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,则OC⊥AB, ∠ACB=180°， ∴∠E=∠ACB=∠EAC,EC=AC ·∠OCD=∠ODC CD=2. (2)如图所示，设AE交⊙0于点M, FC=FE AC=2AB=2×8=4(米) 则在Rt△OBD中，OD+BD=OB, 连接DM,过点M作MH⊥DE于 ∴：∠FCE=∠FEC :∠OED-∠FEC. 设圆的半径为r米，则OA=OD=r米，OC=OD-CD 点H 停1)'+（受 (r-2)米， :∠EAD=∠CAB,÷M-BC .∠OED-∠FCE 解得d一7.5， 在R△AOC中，OC+AC=OA2, .DM-BC=10. 故该桨轮船的轮子直径为7.5m :AB是⊙O的直径，D是AB的中点， 即(r-2)'+2=r2,解得r=5, ∴，∠DOE-90',∠OED+∠ODC=90', ∠MDE+∠MDC=180',∠MDC+ 18,解：(1)证明：连接B0并延长O交AC于点T,如图① ,该圆的半轻为5米. ∴∠FCE+∠OCD-90°，即∠OCF-90 ∴∠MDE=∠MAC. 所示 (2)如图所示，设水面下降至A'B,过点O作OD'⊥A'B ∠E-∠CAE,∠E=∠MDE, AO-BO,∴∠OAB=∠OBA. ∴，OCLCF.OC为⊙O的半径，CF为⊙O的切线 于点C,交⊙0于点D', ,MD=ME=IO.MH⊥DE,∴.EH=DH 又∠BAC+∠OAB=90°， (2)如图所示，连接AD,过点G作GH⊥AB于点H. 设⊙O的半径为r, :∠ADB-∠ACB-∠BAD-∠E, ∠BAC+∠OBA=90', BF-2,..OF-r+2. .cos E- EH 2 ∠BTA-0,Br⊥AC,AB-BC 在R△OCF中， ME -6os∠ADB=六EH-4,DE CF=4, 水面 2EH=8. 4+r2=(r+2)*. 23.解：[同题拓展]：成文 解得r-3. 证明：如图所示，连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD ∴AC'=号AB=×6=3（米） AB是⊙O的直径， 则∠D=∠P ∠ADB=90°，AB=6. :⊙0的半径为5米，OA=0D'=5米 D是AB的中点，AD-BD-32,∠ABD=45 ∴在R△A'OC中，OC=√OA-A'CT=/5-3= (2)延长AO并交⊙O于点F,连接CF,如图②所示 4(米)， CD⊥AB于点D,∠CDA=90°， G为BD的中点BG=合BD=3 ∴.CD'-0D-0C-5-4-1(米)， .∠OAB+∠AED=90'. 又：FE=FC=4,BF=2, 水面下盛水桶的最大深度为1（米） ∠OAB+∠BAC=90°， .BE=FE-BF=4-2=2 21,解：(1)证明：连接OC,如图所示 AD是⊙O的直径，∴.∠D+∠CAD-90 ∠AED=∠BAC=∠FEC. :GH⊥AB,.△BGH是等题直角三角形， :AB是⊙0的直径，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90'. 又，AB切圆于点A, :AF为⊙O的直，∠ACF=90 OC-OB,∠OCB-∠OBC, ∠CAB+∠CAD=90°，∴.∠CAB=∠D, 同理：∠FCE-∠BAC, :∠BCD=∠BAC,∴∠OCB+∠DCB=90', 而∠D=∠P,∠CAB-∠P, .∠FEC-∠FCE,,FE-FC OC⊥CD. [知识运用门证明：如图所示，连接DP, AO=3.AE=4.0E=1.FE=OF-OE=OA- EH=BE-BH=2-- 在R△EGH中， .△OFD,△OFA是等边三角形，四边形DOAF是菱形 .CF=CI·eos45=2=CP ,∠ODF=∠DOF=∠FOA=60°. 120x×1021 EG=√EH+GH √》+(T DI-AD-BD.DI-E,∠ADB-90 360 ×10X5-10m ∴Smm=Se原npo∠DOC=60 21.解：(1)(63+6) ￥∠ODC=90, ∴AB-AD+BD-反×号反-18， 25561,4(平方米)，.61,4×3 (2)①PB⊥MN. ∴.∠C-30°， 184(名)..最多可客纳184名 ∴，△ABC的周长为AB十AC十BC 证明，：半圆O与MN相切于点Q,∴OQ⊥MN 观众同时现看孩出。 =AB+AF+CF+CP+BP :半圆0的中点为点C,∠BOC=90°. OD-0C-(0E+EC). =AB+AQ+BQ+2CF 15.1或3或5 614 :∠C0Q-30°，∴.∠B00=60 而OE=OD,CE=3, -2AB+2CF 17.解：(1)逐明：如图所示，连接OD. :△PAB为等边三角形，∠PBA=60°， ∴CE=OE-R-3, -2×13+2×2 :EF是⊙O的初线。 ∠PBA=∠BOQ,∴.PBOQ,.PB⊥MN 60m·323 360 2 =30. .OD⊥EF. ②(6-35) 23.解：(1)AB是⊙0的直径， 又：BH⊥EF, (3),藏动“不倒新”后它在桌面MN上做无滑动的滚动， 阶段达标检测卷（二） ,OD∥BH ∴.∠ADB=∠ACB=90°，义∠ABC=25, “,滚动过程中始终与桌面MN相切， ∴∠CAB=90°-25-65 LD2.D3.C4.C5.A6.A7.B8.B .∠ODB=∠DBH ∴园心O到桌面的距离总等于固的半径， 9.A解析：如图所示，⊙O内初于四边 OD-OB,.∠ODB-∠OBD ,四边形ABEC是⊙O内接四边形， .从PB⊥MN滚动到PA⊥MN过程中，圆心O移动的 ∠OBD=∠DBH. ∴.∠CEB十∠CAB=180, 形ABCD,设初点为M,N,P,Q,连提 距离为Q的长度的2倍， ∴，BD平分∠ABH. ∴∠CEB=180-∠CAB=115 OM.ON...AM=AN..AB=AD. 由(2)①知：∠C0Q=30°， (2)DI=AD=BD. .AB-AM-AD-AN,:.BM (2)如图所示，过点O作OG⊥BC于点G,则BG=CG ∴圆心0移动的距商=2X30xX6=2红cm. 180 证明：连接AI,如图所示， DN.BP-BM,DQ-DN..BP- DQ.CP =CQ,:BP+CP=DQ+ 22.解：(1)证明：①如图所示，连接OD. AB=12,∴0A=0B=6. CQ,.BC=CD,故选项B正确.OM⊥AB,ON⊥AD, :AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAO 在R△OBG中，OG=√OB-BG=√6-=25. DM=ON,∴AO平分∠BAD.:AB=AD,.AO⊥BD :OD=OA.∴.∠DAO-∠ODA, 圆心0到BC的距离是25， ∴∠DAB=∠ODA, 网里：CO⊥BD,CO平分∠BCD, 18.解：(1)坡度为11写的斜坡AD, ,DO∥AB,.∠B+∠ODB-180 A,O,C三点兵线，∠ACB=∠ACD.故盖项C,D正确。 tan∠ADC-C-店-写，∴∠ADC-3o, :∠B=80°，∠ODB=90. :点1为△ABC的内心， 四连形ABCD内角大小不确定，：∠ADC不一定等于 .OD⊥BC.OD是⊙O的半径 90°，故选项A错说。■ ∴.∠DAC=60'. ∴.∠CAI=∠BAI,∠ACI-∠BCI= ∠ACB=45', ∴BC是⊙0的初线. 10.A1L.37m :AB的坡角为45，.∠BAC-∠ABC-45, ②如图所示，连接DE .AD-BD. 12.66解析：如围所示，连楼0C, ∠DAB=60°-45-15 :BC是⊙0的切线，，∠ODC=90 ∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD. OD,,BF是⊙O的初线，AB是 (2)AB=18m,∠BAC=∠ABC=45, ⊙O的直径，.OB⊥BF, :AE是⊙O的直径，∠EDA=90°， :∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∠ABF=90°，￥∠AFB=68 BC-AC- 乞×18=9,2(m. ∴∠ODC=∠EDA,∴∠CDE-∠ODA ∠DAI-∠DIA, ∠BAF-90°-∠AFB-22 AC925 .∠CDE=∠DAC. .DI=AD=BD. an30--C-写，解得DC-95m (3)过点1分划作1Q⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别 .∠OD-2∠BAF=44', '∠C-∠C,∴△CDE∽△CAD AC=2BD. 故DB-DC-BC-9√6-92w9.324(m), 黑-焉cn-EcM 为Q,F,P.如图所示 9.324>9, ∴.∠C0A=2∠B0D=88 “,在背水旅改造的施工过程中，此处房屋需要拆除 (2)如图所示，连接DF,OF ∴∠CDA=号∠C0A=44,”∠DEB是△AED的一个19.解：()如图所示，卷接EC. 设团的半径为R. 外角，∴，∠DEB=∠BAF+∠CDA=68 AD⊥EBC于点D.AD=BD. :点F是劣狐AD的中点， 13.140 ∠ABD-∠BAD=45', 二OF是DA的垂直平分线，DF一AF, ∴∠AEC=∠ABD=45 14184解析：过点O作OD⊥AB,D为◆是，如图斯示， ∠FDA=∠FAD :点为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心 :AE是⊙O的直径， :DO∥AB,∠ODA=∠DAF, AD=BD,0D=5米.：cos∠A0D-O示0-21 OD 51 ∴，Q,F,P分划为该内切圆与△ABC三边的切点 ∠ACE=90 ∴∠ODA=∠DAO=∠FDA=∠FAD. ,AE=4, ∴，AQ-AF,CF=CP,BQ-BP ∠AOD=60',AD=V3OD=55米，∴.∠AOB=120°， ∴.AF=-DF=OA=OD ,C1=22,∠IFC=90°，∠AC=4s, AB=10月来， iAC=AE·动45=4x =22