第2章 解直角三角形 达标检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

。优密卷九年级上册数学·Q A.2 ndFsin0·25▣ b.sin2ndF0·25▣ 第2章达标检测卷 c.sin0·25= D.2 ndFcos0·25= 6.(济南月考)中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图所示），并用它 中回时间：120分钟面满分：120分 证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积 题号 三 总分 均为1，a为直角三角形中的较大锐角，则tana等于() 得分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题日要求） 图H 1,在△ABC中，∠C=90°，下列选项中的关系式正确的是() A血A-S B.os B-c A.1 B.2 c D.5 C.tan A-AB C D.AC=AB·c0sA 7,图①是某地铁站入口的双翼闸机，如图②所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 2.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且Itan B一3|+(2sinA一√3)2=0，则△ABC的形状 之间的距离为12cm,双翼的边缘AC=BD=62cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= 是() ∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为() A.钝角三角形 B.等边三角形 封 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 钟机 3.(聊城期中)∠BAC放在正方形网格纸的位置如图所示，则tan∠BAC的值为( A.62 cm B.(622+12)cmC.(623+12)cmD.74cm 8.小鹏学完解直角三角形的知识后，给同桌小艳出了一道题：如图所示，把一张矩形卡片 ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠a=36, 线 A 2 n 侧矩形卡片的周长约为( )(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73.结 果精确到1mm)》 4.几何直观如图所示，水库大坝的横断面为梯形，坝顶BC为6米，坝高为24米，斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1:2,则AD的长为() A.(30+243)米 B.42米 A.100 mm B.120 mm C.180 mm D.200 mm 9.应用意识某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相 C.78米 D.(30+83)米 5.(潍坊期末)如图所示，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了 距20海里处.客轮以每小时60海里的速度沿北偏西60°方向航行号小时到达B处，那么 40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A,下列按键顺序正确的是() tan∠ABP的值为() 40n A.2 B.2 5 D26 5 10.(日照中考)潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数学兴趣 15,应用意识如图①所示，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A 小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的 处，另一端B在边ON上滑动，图②为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为 点M处测得潮汐塔顶瑞A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测 30°，∠AOB为45°，OB长为(16√3+16)厘米，则AB的长为厘米. 得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为 ()(结果精确到1m.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°x0.40) ① 16.定义一种运算：sin(a+B)=sin acos B+cos asin B,sin(a-)=sin a cos B-cos asin B.例 77777777777777777777777777 A.41m B.42m C.48m D.51m 如：当。=60，g=45时，血(60+45)-停×号+号×号-6十2，则m15的 2 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分》 值为 1计第+(》 -2tan30°+(3-r)°= 三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分8分)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图所示，光线自点 12.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,D是AC上一点，若 B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角a=36.9°，点B到水 tan∠DBA= 5,则AD的长为 面的距离BC=1.50m,点A处水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.90m,点B, G,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记人射角为B,折射角为Y,求m月 的值.（精确到0.1，参考数据：sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75） B姬 人B,法线 一水面 13.模型观念如图所示，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处 测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 池底 m.(结果保留根号) 45 14.如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里 的速度沿南偏西50°方向匀速航行，3小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西 25方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里.（结果保留根号） 25 -10 18.(本小题满分10分)阅读理解【阅读材料】如图所示，∠ABC=90°，∠ACB=45°，点D在 20.(本小题满分10分)（菏泽巨野二模）某学习小组想利用所学知识测量校园内一座雕塑的 BC的延长线上，并且CD=CA,设AB=BC=1,则AC=CD=2,于是可求得tan∠ADB= 高度，已知该雕塑在底座的中心位置处.如图所示是雕塑和底座的简易图，CD为底座边 2-1. 缘，BM为底座的中轴线，测得AB=32m,DB=2m,在点A处测得点M的仰角为35°， 【解决何题】请你设计出求tan15°的方法，并求出tan15的值. 测得点C的仰角为30°，若点A,B,C,D,M,N在同一平面内，试求雕塑MN的高度.（结 果精确到0.1m,参考数据：sin35°≈0.57，c0s35°s0.82,tan35°≈0.70，√31.73) 3035 21.(本小题满分10分)如图所示，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C 处海岛运送物资.甲船从港口A处沿北偏东45方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30 方向航行，其中乙船的平均速度为，若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度.（结 19.(本小题满分10分)推理能力如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC, 果用表示) DF⊥AE,垂足为点F,连接DE (1)求证：AB=DF, (2)若AD=10,AB=6,求tan∠EDF的值. -11 22.(本小题满分12分)应用意识交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了23.（本小题满分12分）阅读下列材料：在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,求 测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离 CD=EF,测速仪C和E之间的距离CE=750m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东 证：sin Asin B 匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道人口A点的俯角为25°，小汽车到测速仪C的 证明：如图①所示，过点C作CD⊥AB于点D」 水平距离AD=14m,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从 'sin A=CD 'sin B=CD ,∴，CD=bsin A,CD=asin B, a 点A行驶到点B所用的时间为38s(图中所有点都在同一平面内). b (1)求A,B两点之间的距离（结果精确到1m). bsin A=asin B,sin Asin B' (2)若该隧道限速22m/s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由 (参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，c0s25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65≈0.9，c0s65°≈ 0.4,tan65°≈2.1) 25 60 根据上面的材料解决下列问题： 品 ①)如图②所示，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.求证：BsD (2)为了促进旅游业的发展，某市积极优化旅游环境.如图③所示，规划中的一片三角形区 域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=160米，求这片区域的面积.（结果保留根号，参 考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9) 一12“流0-品解得1D=70 :∠CFM=∠AFG,∴∠CFM=∠ACM=45 CD-AC-2a,:.DB-2a+3a. (2)小汽车从点A行驶到点B没有超速， '∠CMF=∠AMC,∴.△MFC△MCA. 7000mm=?m,,拍摄点距离景物7m (2)证明：四边形ABCD是正方形， m1时-0-2a+ =2-5 理由：由题意，得760÷3一20(m/). 20m/8<22m/8, (2)拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高 ∴，∠ABC-90.∠BAC-45, 19,解：(1)证明：：AE=BC,C=AD, :小汽车从点A行驶到点B没有邮速 35mm,÷2-名8解得1C-0. ∴AB=BC,由勾股定理，得AC=√2AB, .AE-AD 23.解：(1)证明：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E :,相机的焦距应调整为70mm 同理可得AF=AE是-侣- 又∠BAE+∠BEA=90°，∠BAE+∠DAF=90' .∠BEA-∠DAF. 21.证明：1)，DA=DC,∠DAC=∠C. ∠EAF-∠BAC-45, 在△ABE和△DFA中 又∠ADE=∠B,.△ABC△FDA, ∠CAF+∠CAE-∠BAE+∠CAE=45 I∠B=∠DFA, ÷0%AB·AD=DF,BC ,∠CAF=∠BAE,,△ACF△ABE. ∠BEA=∠DAF (3),DM=1,CM=2, AE=DA. "'sin B-AE ,sin C-AE (2),∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B, ∴AD=CD=1+2=3, .△ABE≌△DFA(AAS,AB=DF. ·∠CDF=∠BAD.AE∥BC, ∴，AE=csin B,AE=bsin C, ,AM=√/AD+DM=3+1=√/1o. (2)由(1)，得AE-AD-10. ,∠E=∠CDF,∠C=∠EAF, △MFCC∽△MCA. ∴∠BAD-∠E. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE一√AE一AB一 csin B=bain C.sin B-sin C V元=2FM=2页 AC BC 又：∠ADE=∠B,△ABD∽AEDA…800 10-6-8 △ABE≌△DFA,∴，DF=AB=6,AF=EB=8, :DA-DC,.∠DAC-∠C, AF-AM-FM-3/10 BC180米.∠A+∠B+∠C=180 .EF=AE-AF=10-8=2, 5 .∠C-180°-∠A-∠B=60°. ∴∠EAF=∠DAC,即AC平分∠DAE. 521 由约散定，得AG-号AF-5。 ∴.在Rt△EDF中，tan∠EDF 如图所示，过点A作AF⊥BC于点F, 如图所示，过点F作FM⊥AD于点M,FN上AE于点N DF-63 则FM=FN, 0.架：由题意可得CN-BD-2m,AD-AB一BD-30m, 即正方形AEFG的边长为后. 在R△CAD中，CD-AD·m3030g-105(m.则 第2章达标检测卷 BN=CD=10,5m.人● 1.D2.B3.B4.C5,A6.B7.D8.D 在R△ABM中，MB=an35·AB0.70×32=22.4(m) :sin C-AC' :AADF的面积 AD·FM MN-MB-BN=22.4-105.1(m), AD 9.A10.B △AEF的面积FE .塑MN的高度约为51m .AF=ACsin C-160×sin60'-80V3(米). 2AE·FN 16. 2L,架：如图所示，过点C作CD⊥AM,垂足为D 17.解：过点E作EH⊥AD,垂足为点H,如图所示 ∴Sr-2BC·AF2X180×8-720(平方米)， 肥 a" 答：这片区域的面积约为7200√5平方米 22.证明：(1)，AB=3AD,BF=FG=CG B,法 期中综合能力检测卷 水面 1.C2.A3.C4.C5.C6.C7.B8.C .△BDG∽△BAC,∠C=∠DGB. 9.B10.D 同理可得∠B一∠EFC, 池底 由题意，得∠CAD=75-45”=30°，∠CBD=75 11.①②③④解折：，∠BAC-90',AD⊥BC, △FGHn△C-是-e 由题意可知：∠CEBa=36.9°，EH=1.2m 30°-45， ∠a+∠B=90°，∠B+∠9=90°，∠B+∠C=90°， ∠CBE-A. 设CD-a, ∠a=∠B,∠8=∠C, ,FH·AC=HG·AB. CE (2)如图所示.连接DE. 在R△BCE中，sin-sin∠CBE-cs a0.80, .DcccD2. ,sna=inB,sn9=nC,放①②均正： an∠CEB=C CE=- BC 1.5 n36.9*0.7元=2. ”两船同时到达C处海岛，：AC_BC :在R△ABC中，imB-A架 ∴，sinB=cosC,故③正瑞； ∠A=∠A, AH-AD-CE-2.90-2-0,9(m) 器-… :sina=sinB,cos月=cosC,sina=cosB,救④正项 .△ADE∽△ABC, 在Rt△AEH中，由勾段定理得EH十AH一AE, 既 .1.2+0.9-AE,,AE=1.5m, 甲船的平均速度为2。 2.13.(-2,）4.①相似21215.号或号 AH0.9 .DE=FG,DE/BC. 六imY-AE50.6: 22.解：(1)由题意，得 16.90 ∠CAD=25,∠EBF=60',CE=DF=50m, “.四边形DEGF是平行四边形， 在R△ACD中，AD-14m 17.解：2un45-m0-2ain60+2-2X1-号-2X ∴，DF∥EG,.∠DFE=∠GEF,∠FHG=∠FDG+∠DFH CD ∠FDG+∠GEF 18.解：如图所示，∠ABC=90°，∠ACB=30,点D在BC的廷 .14= :△FGH△BCA,∴∠BAC=∠FHG 长线上，井且CD=CA,则∠D=15设AB=a,剿AC=2a 在Rt△BEF中，EF一7m (）+-2-2-}+是-0 ∠BAC=∠FDG+∠GEF C√2a-a-a. .BF=- EF 23,解：(1)证明，：四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是 60*4.1(m, （2)2eos45-子nm30rcos30+m60-2×号-号× 正方形， ∴.AB-AD+DF-BF-14+750-4.1≈780(m) ,∠ACD=∠AFG=45, A,B两点之间的距离约为760m ×+()--+÷-