易错专项训练卷(一) 相似三角形中的分类讨论与动态问题&易错专项训练卷(二)-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（冀教版2012）

圆错3两动点问题中，判断两个三角形相似，出现漏解 优密卷九年级上册数学·N 6.如图所示，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为 易错专项训练卷（一） 2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s:如果P,Q两动点同时运动，那么 相似三角形中的分类讨论与动态问题 经过()s时，△QBP与△ABC相似 易错点1相似三角形对应顶点不确定时，没有分类讨论，出现漏解 1.如图所示，在△ABC中，AB=8,AC=6,P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q,若 以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似，则AQ的长为() A.2 B.4 C.2或0.8 D.2或4 7.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿着边AB A.4 弥 且4号 c D4和 向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以 AD 4cm/s的速度移动（不与点C重合）.若P,Q两点同时移动 2.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB的中点，E在线段AC上，且 AB (1)当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm”? (2)当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm? (3)当移动儿秒时，△BPQ与△ABC相似？ 封 第1题图 第2题图 第3题图 易醋点2一动点问题中，判断两个三角形相似，出现漏解 屬错点4图形平移、翻折或旋转变化时，因混淆变化性质而出错 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点 8.如图所示，△BDE由△BAC绕着点B逆时针旋转90°得到，且点E恰好落在AC所在直线 E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t< 上，AD,BE相交于点F. 线 4),连接DE,当以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为( (1)若BC=4,AC=2,求△ADE的面积. A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5 (2)求证：EF·BE=AE·AC. 4.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2cm,BC=6cm,AB=7cm, 点P是从点B出发在射线BA上运动的一个动点，运动的速度是1cm/s,连接PC,PD.若 △PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 第4题图 第5题图 5.如图所示，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相 似时，DP= 43 错3构造直角三角形时，出现错误 优密卷九年级上册数学·N 6.如图所示，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点D处， 易错专项训练卷（二） 30360 测得小明所在位置A点的俯角为30°，测得教学楼顶C点的俯角 解直角三角形中的分类讨论与实际问题 为45°，教学楼底B点的俯角为60°，又经过人工测得A,B两点间 的距离为80米，则教学楼BC的高度为米.（注：点A, 圆错点1在解直角三角形时，忘记了分类讨论而出现错误 B,C,D在同一平面上，参考数据：√3≈1.732，W2≈1.414，结果取整数) 1.在△ABC中，mB=方，AC=2,厄，AD是BC边上的商，∠ACD=45,则BC的长 7,如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座， AB,BC为机械臂，OA=1m,AB=5m,BC=2m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台 为 的距离CD=6m. 2.在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AC=4√2，AB=8,则∠BAC= (1)求A,C两点之间的距离 3.如图所示，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=3,BC=10,CD=5,且amC-号动点M从 (2)求OD长 (结果精确到0.1m,参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75,5≈2.24) B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿 线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t秒.当△CMN是等腰 三角形时，求t的值 工作台 屬错点4不能正确推理说明而出现错误 8.如图所示，某渔船沿正东方向以30海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向， 20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁。 (参考数据：5≈1.732，$in75°≈0.966，c0s75°≈0.259) (1)B处离岛C海里. (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由。 (3)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？请说明理由. 易错点2找不准直角三角形中的对应边、对应角而出错 4.如图所示，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m, ∠B=30°，则中柱AD(D为底边中点)的长为() A.m C.5 30 3 10m 5.如图所示，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物 的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的 长可表示为() A.2acos32°米 B.2atan32米 c2米 2a D.an32米 441+-+6， BP=BQ,即 ②当△BPQn△BCA时，BC=BA, 第二种情况：当MN=NC时，如图②所示， CB,交CB的延长线于点E, 过点N作NE⊥MC于点E,过点D作 化简，得kx2+5x一6=0，△=25十 12-244g -能解得一号 DH⊥BC于点H 24k=0, 24 =器 综上所述，当移动3：或号：时，△BPQ与 工作台 当>0时，y=1+引 在Rt△ABE中，AB=5m,∠ABE= y=x十6的函 △ABC相似， 2 8.解：(1)：△BDE由△BAC绕着点B逆时 180°-∠ABC=37. 数困像在第二象限恰有一个交点时满足拾 针旋转90°得到， 则CE=ME=2CM. ·sin∠ABE= 有两个实数解， .△BDE2△BAC,∠CBE=90° AB'CoS∠ABE-BE B DH 4 ∴.BE=BC=4,AC=DE=2,∠BED= tan C-CH3CD-5. :4 ∠C, 二=0.60，上0.80， 则设CH=3k,DH=4k 化简，得kx2+7x十6=0，△=49 ∴.∠C=∠BEC=45°， ,AE≈3m,BE≈4m, CH+DH=CD 24k=0, ∴.CE=CB十BE≈6m. ,∠BED=45°，EC=2BC=42, .CH=3,DH=4. 49 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC= :k=2 .∠DEA=45°+45°=90°，EA=42-2, .:∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°， .△NEC∽△DHC, √JAE2+CE≈32+6=35≈6.7(m. 当k=0时，y=1+的图像与y=k红十 六△ADE的面积为号DE·AE= ×2X 2 (2)如图所示，过点A作AF⊥CD,垂足为 x .NC_EC DCHC' 点F, 6恰好有两个交点： (42-2)=42-2. 'CD⊥OD,OA⊥OD. =0支高票 (2)证明：，BA=BD,∠ABD=90°， ∴.∠ADB=∠BAD=45 210-2) .四边形OAFD为矩形， ..OD=AF,FD=AO=1 m, .'∠BAC=∠AEB+∠ABE=45°+ ∴.CF=5m. 易错专项训练卷（一）相似三角形中的 ∠ABE,∠AFE=∠BAF+∠ABE 解得1=25 1 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF 分类讨论与动态问题 45°+∠ABE, ∴.∠BAC=∠AFE 第三种情况：当MN=MC时，如图③所示， √AC2-CF2=√/45-25=25(m), 1.B2或号3C4.A ,∠C=∠AEF, 过点D作DH⊥BC于点H,过点M作 .OD=25≈4.5(m). ∴.△ABC∽△FAE, 5.1或4或2.56.C MF⊥CN于点F,则FC=NC= 8.解：(1)10 7.解：(1)设运动时间为ts(0≤t<6),则 部脂 (2)有触礁危险.理由：如图所示，过点C作 上，CH=3,DH=4 CO⊥AB于点O,由(1)知，CO为渔船向东 PB=(12-2t)cm,BQ=4t cm. ∴.EF·BC=AE·AC. 航行时到C的最短距离，∠CBO=60°， 由题意，得SAmg=2PB·BQ 2X(12 .BC=BE. BC=10海里. ∴.EF·BE=AE·AC. .CO⊥AB,∠CBO=60°， 2t)·41=241-4r2=20, 解得t1=1,l2=5. 易错专项训练卷（二）解直角三角形中 ∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°， C0=BC·sin∠CB0=10x 2 =53 故当移动1s或5s时，△BPQ的面积为 的分类讨论与实际问题 ∴.△MFCo△DHC, 8.66(m),8.66<9, 20cm2. FC MC .如果渔船继续向东航行，有触礁危险. (2)由题意，得 1.23+2或23-2 ·HCDC1 (3)没有触礁危险.理由：如图所示，过点C 2.105或15 S因边希AgC=SAANC一SA=乞AB·BC 1 作CD⊥BF交BF于点D,交BO于点E, 3.解：由题意，得当M,N运动t秒后，CN= 2 即 10-24 在Rt△BCD中，∠CBD=∠CBO+ (241-4t2)=42-24t+144=108, t,CM=10-21. 3 5 解得t=3. 第一种情况：当NC=MC时，如图①所示. ∠DB0=60°+15°=75°，BC=10m, 60 故当移动3s时，四边形APQC的面积为 解得=17 .CD=sin75°·BC≈9.66(m). ,9.66≥>9，，没有触礁的危险 108cm2. 综上所述，当△CMN为等腰三角形时，t的 (3)可分以下两种情况讨论： O当△BPQ△BAC时，AB=BC PB BQ 值为9或营我9 即 此时t=10-2t 4.C5.B -费解得1=3 6.15 12 解得1-号 7.解：(1)如图所示，连接AC,过点A作AE⊥ 65-