专项训练卷(三) 数学文化、学科融合与应用意识-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（冀教版2012）

优密卷九年级上册数学·N 专项训陈卷（三） 数学文化、学科融合与应用意识 水面 A.2 m B.3 m C.4m D.5 m 一、选择题 5.如图所示，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A、镜子O、树底 1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积 B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA■2.4米，OB■6米，则树高为() V(m3)的反比例函数，如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起 见，气球体积V应( )m3 p/kPa (1.6.60 A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 6,第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示，在由 1.6 四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成 AV>号 BV<号 c.v<j 的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=a,∠BEF=B,若正方形EFGH 与正方形ABCD的面积之比为1：n,tana=tan3,则n=() 2.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15~20℃的新品种，如图所示 是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图像，其中 封 AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y一二0)部分，则当x=16时，大棚内的温度约为( Y/L A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 7.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图所示，P 24 是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AB的长为4cm,则AP的长为 A.18℃ B.15℃ C.13.5℃ D.12℃ 线 3.桔槔(jié9āo)俗称“吊杆”（如图①所示），是一种利用杠杆原理制作的原始取水机械.桔槔示 意图如图②所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米， OA1OB=2:1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为() 8.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图所示，把支架(E℉)放在离树 (AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着 直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF, 观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D,EF⊥ 地面 BD于点F,AB⊥BD于点B,BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高 孙 A.(2,3+3)米 B.5米 C.6米 D.7米 度(AB的长)是 米。 4.古代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图所 示，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m,轮子的吃水深度CD为2m,则该桨轮船的 轮子半径为( ) 9.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久.如图①所示12.如图所示，在并联电路中，电源电压为U=6V,根据“并联电路分流不分压”的原理得到： 是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120©m, CD=40cm,壶嘴EF=150cm,且CD∥AB,EF∥BC,DE=3AE,则sin∠FED= 1。-1+1,亿，=总，=》-已知R,为定值电阻，当R变化时，于路电流1a也会发生变 cm, 如图②所示，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD∥，则此时 化，且干路电流1。与R之间满足如下关系：1。=1+R 出水口F到桌面的距离为 cm. (1)【问题理解】 定值电阻R,的阻值为 n. (2)【数学活动】 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数1：=是来探究函数 三、解答题 10.消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意 1。=1+景的图像与性质。 图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上 ①列表：下表列出I与R的儿组对应值，请写出m的值：m= 下转动，张角∠CAE(90°≤∠CAE≤150)，转动点A距离地面的高度AE为3米 3456 (1)当起重臂AC的长为24米，张角∠CAE=120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的 6 R 2 1.51.2 高度CF I。=1+R 6 (2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实 3 m2.2 2 施有效救援？请说明理由.（参考数据：√3≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角 ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I。相对应的值为 ∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度) 纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来 (3)【数学思考】 观察图像发现：函数I。=1十发的图像是由1，一反的图像向 6 平移 个单位 长度而得到. (4)【数学应用】 11.如图所示，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜， 若关于x的方程1+6 =kx十6在实数范围内恰好有两个解，直接写出飞的值。 从点A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像.再将平面镜 61 ④ 向后移动4m(即AC=4m)放在点C处，从点C处后退1.5m到达点D处，恰好再次在 -- 平面镜中看到高楼的顶部点E的像，测得强强同学的眼睛距地面的高度FB,GD为 1.5m.已知点O,A,B,C,D在同一水平线上，且GD,FB,EO均与OD垂直.求高楼OE 01234567月 的高度，（平面镜的厚度忽略不计） AB C D∠BAE=∠ADE, 时，云梯顶端C可以达到最大高度， 专项训练卷（二）模型观念与几何直观 把点A(一1,4)代人，得4= 2十b .∠ADE+∠DAE=90° 则有GF=AE=3米，∠CAG=∠CAE 1.B2.D3.D4.A5.A6.B7.D 8.B9.C10.A11.B12.D 等得6-号 .∠AED=90 ∠GAE=60°， .∠BAD=90° CG ∴BD是圆的直径， 在Rt△CAG中，sin∠CAG AC' 1B1x14.1515.点。8g .直线PA的函数表达式为y= 2 .BD垂直平分AC, 22m 22 当y=0时，x=一9， ∴AD=CD CG=AC X sin∠CAG=30x3 2 16.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形， ,.点P的坐标为（一9,0）. AC=AD. ∴.∠B=∠C=60°， 153(米)， 18.解：如图所示，过点D作DM⊥BE于 ∴.△ACD是等边三角形， ∴.∠BAD+∠ADB=120 点M. ∴.∠ADC=60°. ∴.CF=CG+GF=153+3≈28.5（米）. ∠ADE=60°， 设DM=xm,则BC=xm, ,BD⊥AC, 28.5>26, .∠ADB+∠EDC=120°， 在Rt△ADM中， ,该消防车在这栋楼下能实施有效救援。 ,∴.∠DAB=∠EDC tan76.5°-DM ∠BDC=2 ∠ADC=30° 又，∠B=∠C=60°， AM' CF∥AD, ∴.△ABDC∽△DCE. :.AM DM ∴.∠F+∠BAD=180°， (2),△ABD∽△DCE, tan76.5, ∴.∠F=90° 品梁 DM 同理BM=an29.5 :四边形ABCD是圆内接四边形， 11.解：由已知，得AB=1m,CD=1.5m, .∠ADC+∠ABC=180 BD=3,CE=2 AC=4 m,FB=GD=1.5 m,AOE= .BM-AM=AB=6.5 m, .∠FBC+∠ABC=180, AB3 ∴.∠FBC=∠ADC=60, ∠ABF=∠CDG=90°，∠BAF=∠OAE, 六AB-32 DM DM am29.5an76.5=6.5, ∠DCG=∠OCE. .BC=2BF=4. 解得AB=9.即△ABC的边长为9. ,∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE, 解得DM≈4.2m, ,∠BCD=90°，∠BDC=30°， 17.解：(1)一次函数y1=一2x十2的图像 .△BAFC∽△OAE, 即遮阳篷到地面的距离CB约为4,2m 与y轴、x轴分别交于点C、点D, ∴BC=2BD. DM 8器 .点C(0,2),点D(1,0). tam76.5°-，DM=4.2m, ,BD是圆的直径， OE=4, ∴.0E=1.50A. DM .圆的半径长是4. ,.OC=CE=2. ..AM tan76.5≈1(m), :∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, ,∠AEC=∠DOC=90°，∠ACE=∠DCO, ∴.CD=BM=AB+AM=6.5+1 专项训练卷（三）数学文化、学科融合 '.△GDC∽△EOC, ∴.△AEC≌△DOC(ASA), GD OE 7.5(m), 与应用意识 ..AE=OD=1. CD OC o OE 即遮阳篷的宽CD约为7.5m. .OE-0A+4 点A(-1,4), 1.A2.B3.B4.D5.A6.C D .1.5OA=OA+4, :点A在反比例函数一产的图像上， 7.(25-2)cm84.19.4g203 ∴.OA=8m,OE=12m. 9 3 .k=-1×4=一4， 答：高楼OE的高度为12m. 76 295 10.解：(1)如图所示，过点A作AG⊥CF于12.解：(1)6 ∴反比例函数的表达式为y:= 4 E M A 点G, (2)①2.5 x 19.解：(1)证明：，∠BAC=∠ADB, 由题意，得AE⊥BD,CF⊥BD, (2)-1<x<0 ②如图所示 ∠BAC=∠CDB, .四边形AEFG是矩形， y=-2x+2, ∴∠ADB=∠CDB, ∴.AE=FG=3米，∠GAE=90°. 解析：方程组 4 的解 .BD平分∠ADC ∠CAE=120°， ,BD平分∠ABC, ,∴.∠CAG=∠CAE-∠GAE=30° 为2=-1，e2=2, ,.∠ABD=∠CBD 01234567B y1=4,y2=-2. 四边形ABCD是圆内接四边形 在RACAG中n./CAG-, (3)上1 点A(-1,4), .∠ABC+∠ADC=180°， 1 (0=0或号成- 25 点B(2,-2). ,.CG=AC×sin∠CAG=24X ∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB 2 24 解析：由函数与方 由于是在第二象限，当y1<y2时，x的取 180°， 12(米)， 程的关系可知， 值范围为一1<x<0. ,.2(∠ABD+∠ADB)=180°， ..CF=CG+GF=12+3=15(米). (3)由于直线PA⊥AB,可设直线PA的 .∠ABD+∠ADB=90°， 故云梯消防车最高点C距离地面的高度 当<0时，y=1+ x y=x十6的函 表达式为y-2十6， ∴.∠BAD=180°-90°=90° CF为15米 数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰 (2)∠BAE+∠DAE=90°， (2)能.理由：当AC=30米，∠CAE=150 有两个实数解， 1+-+6， BP=BQ,即 ②当△BPQn△BCA时，BC=BA, 第二种情况：当MN=NC时，如图②所示， CB,交CB的延长线于点E, 过点N作NE⊥MC于点E,过点D作 化简，得kx2+5x一6=0，△=25十 12-244g -能解得一号 DH⊥BC于点H 24k=0, 24 =器 综上所述，当移动3：或号：时，△BPQ与 工作台 当>0时，y=1+引 在Rt△ABE中，AB=5m,∠ABE= y=x十6的函 △ABC相似， 2 8.解：(1)：△BDE由△BAC绕着点B逆时 180°-∠ABC=37. 数困像在第二象限恰有一个交点时满足拾 针旋转90°得到， 则CE=ME=2CM. ·sin∠ABE= 有两个实数解， .△BDE2△BAC,∠CBE=90° AB'CoS∠ABE-BE B DH 4 ∴.BE=BC=4,AC=DE=2,∠BED= tan C-CH3CD-5. :4 ∠C, 二=0.60，上0.80， 则设CH=3k,DH=4k 化简，得kx2+7x十6=0，△=49 ∴.∠C=∠BEC=45°， ,AE≈3m,BE≈4m, CH+DH=CD 24k=0, ∴.CE=CB十BE≈6m. ,∠BED=45°，EC=2BC=42, .CH=3,DH=4. 49 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC= :k=2 .∠DEA=45°+45°=90°，EA=42-2, .:∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°， .△NEC∽△DHC, √JAE2+CE≈32+6=35≈6.7(m. 当k=0时，y=1+的图像与y=k红十 六△ADE的面积为号DE·AE= ×2X 2 (2)如图所示，过点A作AF⊥CD,垂足为 x .NC_EC DCHC' 点F, 6恰好有两个交点： (42-2)=42-2. 'CD⊥OD,OA⊥OD. =0支高票 (2)证明：，BA=BD,∠ABD=90°， ∴.∠ADB=∠BAD=45 210-2) .四边形OAFD为矩形， ..OD=AF,FD=AO=1 m, .'∠BAC=∠AEB+∠ABE=45°+ ∴.CF=5m. 易错专项训练卷（一）相似三角形中的 ∠ABE,∠AFE=∠BAF+∠ABE 解得1=25 1 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF 分类讨论与动态问题 45°+∠ABE, ∴.∠BAC=∠AFE 第三种情况：当MN=MC时，如图③所示， √AC2-CF2=√/45-25=25(m), 1.B2或号3C4.A ,∠C=∠AEF, 过点D作DH⊥BC于点H,过点M作 .OD=25≈4.5(m). ∴.△ABC∽△FAE, 5.1或4或2.56.C MF⊥CN于点F,则FC=NC= 8.解：(1)10 7.解：(1)设运动时间为ts(0≤t<6),则 部脂 (2)有触礁危险.理由：如图所示，过点C作 上，CH=3,DH=4 CO⊥AB于点O,由(1)知，CO为渔船向东 PB=(12-2t)cm,BQ=4t cm. ∴.EF·BC=AE·AC. 航行时到C的最短距离，∠CBO=60°， 由题意，得SAmg=2PB·BQ 2X(12 .BC=BE. BC=10海里. ∴.EF·BE=AE·AC. .CO⊥AB,∠CBO=60°， 2t)·41=241-4r2=20, 解得t1=1,l2=5. 易错专项训练卷（二）解直角三角形中 ∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°， C0=BC·sin∠CB0=10x 2 =53 故当移动1s或5s时，△BPQ的面积为 的分类讨论与实际问题 ∴.△MFCo△DHC, 8.66(m),8.66<9, 20cm2. FC MC .如果渔船继续向东航行，有触礁危险. (2)由题意，得 1.23+2或23-2 ·HCDC1 (3)没有触礁危险.理由：如图所示，过点C 2.105或15 S因边希AgC=SAANC一SA=乞AB·BC 1 作CD⊥BF交BF于点D,交BO于点E, 3.解：由题意，得当M,N运动t秒后，CN= 2 即 10-24 在Rt△BCD中，∠CBD=∠CBO+ (241-4t2)=42-24t+144=108, t,CM=10-21. 3 5 解得t=3. 第一种情况：当NC=MC时，如图①所示. ∠DB0=60°+15°=75°，BC=10m, 60 故当移动3s时，四边形APQC的面积为 解得=17 .CD=sin75°·BC≈9.66(m). ,9.66≥>9，，没有触礁的危险 108cm2. 综上所述，当△CMN为等腰三角形时，t的 (3)可分以下两种情况讨论： O当△BPQ△BAC时，AB=BC PB BQ 值为9或营我9 即 此时t=10-2t 4.C5.B -费解得1=3 6.15 12 解得1-号 7.解：(1)如图所示，连接AC,过点A作AE⊥ 65-