易错专项训练卷(一) 二次数中易错题常见类型&易错专项训练卷(二)-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

易错点3忽略包含对称轴的特殊情况 优*密卷 九年级上册数学·1 5已知二次函数y=a(-11-a+1,当号<<2时，函数有 8.开口向下的抛物线y=(m2一2)x2+2mx十1的对称轴经过 易错专项训练卷（一） 最大值2a,求a的值. 点（一1,2），则m= 二次函数中易错题常见类型 9.已知抛物线y=a(x十h)2(其中a≠0，且a为常数)，当x>2 易错点1忽略二次函数表达式中对二次项系数的要求 时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 l0.抛物线y=ax2十a一2与x轴有两个交点，且当x>0时， 1.已知y=(m十3)x+m-1十(1-m)x-5是y关于x的二 y随x的增大而增大，则a的取值范围是， 次函数，求m的值. 11.已知二次函数y=(x一h)十1(h为常数)，在自变量x的 6.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时，y的最 值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为 大值是4，求a的值. 5,求方的值。 2.关于x的函数y=(a2+2a十3)x2+3ax+1,甲说：此函数 不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此 函数是不是二次函数与a的取值有关，你认为谁的说法正7.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的 确？为什么？ 函数值y,都满足y≥M,那么称这个函数为边界函数.在所 有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例12.已知二次函数y=x2-2hx十2h,当自变量x的取值在 如，如图所示的函数：y=(x一1)2十2是边界函数，其边界 今一1≤x≤2的范围内时，函数有最小值n,求n的最大值. 值是2. (1)函数①y=一x”+2x+1和②y=x一1(x≥1)中是边界 易错2忽略二次函数有最大（小）值的前提条件 函数的为 (只填序号即可)，其边界值为 3.若关于x的二次函数y=ax2十a2的最小值为4，求a (2)如果函数y=-x+2(a≤x≤b,b>a)的边界值是a,且 的值. 这个函数的最大值超过2b一5，求b的取值范围。 (3)如果函数y=x2一2ax十2(1≤x≤5)是以-1为边界值 的边界函数，直接写出实数a的值. 4.已知y=x2-4x十3，当m≤x≤m十2时，函数y的最小值 为，求m的值。 -27 易音盒5设有考虑到“一条线段有两个黄金分割点” 优密卷九年级上册数学·1 7.如图所示，已知直线y=一2x十2与x轴交于点A,与y轴 5.节日主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自 易错专项训练卷（二） 然得体.若舞台AB长为20m,则主持人站在离A点多远处 交于点B,在x轴上有一点C,使B,O,C三点构成的三角 相似形中易错题常见类型 形与△AOB相似，求点C的坐标. 最自然得体？（结果精确到0.1m) 易错点1忽略相似比的顺序性 1.已知正方形ABCD与正方形A'B'CD'相似，正方形ABCD 与正方形AB'CD'的面积分别为4与9，那么正方形AB'C'D 与正方形ABCD的相似比为 易错点2求线段的比未统一度量单位 2.已知线段m=3厘米，线段n=10毫米，则m·n的值 &如图所示，已知直线y一之十4与x轴交于点B,与y轴交 是() A.3:10 B.3:1 于点A.点M为线段AB上一动点（不与点A,B重合），过 C.103 D.1:3 点M作MN∥x轴交线段AO于点N,若以点M,O,N为顶 点的三角形与△AMN相似，求点M的坐标. 易温盒3没有区分“线段的比例中项”与“数的比例中项” 3.(1)已知线段a=4,b=16,线段c是a,b的比例中项，那么c 易错点6忽略对应点不确定而漏解 等于() 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,D A.10 B.8 是AB的中点.动点P从点A出发，沿线段AC以每秒2个 C.-8 D.±8 单位的速度向终点C运动.设点P的运动时间为秒. (2)3+1与3一1的比例中项为( (1)当t为多少秒时，以点A,D,P为顶点的三角形与 A.2 B.±2 △ABC相似？ C.2 D.土2 (2)若△APD为钝角三角形，请直接写出t的取值范围. 等错点4应用等比性质忽略“各个分母的和不等于0”的条件 4.-题多解已知a+b-C=a一b十c=二a+6+c,求 易酷点7忽略“内位似”“外位似”两种情形而漏解 b a 9.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC按 (a+b)b+c)(c+a)的值. 相似比2：1放大后得△A'B'C',若点A的坐标为(1,3)，求 abc 点A'的坐标. 28题物线L的表达式为y-一红一0+5。 解得x1=2+10,x2=2-√10（舍去） ∴.-4+1=2a, 易错专项训练卷（二） 所以点C的坐标为(2十√/1而，0). (2)x=6 解得a=(不合题意，含去) 答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为 相似形中的易错题常见类型 21.解：(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2十 当a>0时，当x=2时，该函数取到最大值2a, 110x十2100(0<x≤15，且x为整数). (2+√10)m 1.322.B3.(1)B(2)D (2)y=-10(x-5.5)2+2402.5. 12.解：(1)6 a-a十1=2a,解得a=2 4.解：解法1（利用等比性质）： :a=-10<0,,当x=5.5时，y有最大值 (2)①2.5 ①若a十b十c≠0，由等比性质有 ②如图所示 6.解：：二次函数y=ax2一4ax十3a=a(x 2402.5. 2)2-a. -a+b+c ,0x≤15，且x为整数， ∴抛物线的对称轴是直线x=2. 当x=5时，50+x=55,y=2400,当x=6时，50+ --- 1x≤4， (a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+e2=1, a+b十c x=56,y=2400. -1--1-1 .当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y .a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a. ∴，当售价定为每件55元或每件56元时，每个月 01234367i 随x的增大面增大， a+b=2ca+c=26,b+c=2a. 的利润最大，最大的月利润是2400元. (3)上1 当x=4时y有最大值， (3)当y-2200时，-10x2+110x+十2100-2200.解 （④-0或只度器 25 4 于是有a+6)6c+@》_2女，2h·2必-8 得x1=1,x=10.当x=1时，50十x=51,当x= aX4-2)2-a=4,解得a=3 ②若a十b十c=0,则a十b=-c,b+e=-a,c+ 10时，50十x=60. 易错专项训练卷（一） 当a<0时，抛物线开口向下，x=2时y有最 a=一b, ∴.当售价定为每件51元或每件60元时，每个月 大值， 的利润为2200元 二次函数中易错题常见类型 于是有a+6)6+c)c+a)=一c)(-a)(-b) aX(2-2)2-a=4,解得a=-4. 当售价不低于51元且不高于60元，并且为整数 -1. 时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别 1.解：由题意，得m2+2m一1=2，解得m=1或一3 7.解：(1)②0 :m十3≠0，m≠一3，m的值为1. (2)y=一x+2,y随x的增大而减小，.当a≤ 为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月 解法2（设k法）：设4十b-c=a一b十： 2.解：乙的说法对.理由如下： xb时，一b十2≤y≤-a十2. b 的利润不低于2200元) a+2a+3配方，得(a+1)+2 ,边界值是4，.一b+2=a. 一a+b十-k, 专项训练卷（四）数学文化与学科融合 :无论a取何值，(a十1)≥0， 函数的最大值超过2b-5,-a+2>2b-5, 则a+b=(k+1)c,① 即有(a+1)2+2≥2，.a+24+3≥2≠0， ∴.b-2+2>2b一5，解得6<5. a+c=(k+1)b,② 1.A2.D3.B4.B5.A6.C 故无论a取何值，该函数一定是二次函数 ,b>a,.b>-b+2,.b>1, b+e=(k+1)a.③ 125-2cm84.19.49205 3.解：，关于x的二次函数y=ax十a的最小值 .b的取值范围为1<b<5. ①+②+③有2(a+b+c)-(k+1)(a十b十c), 3 为4， (3)a的值为5. .(a+b+c)(k一1)0，故有k=1或a+ 10.解：由已知，得AB=1m,CD=1.5m,AC=4m, .a9=4,a>0,解得a=2. 8.一19.h≥-210.0<a<2 b十c=0. FB=GD=1.5m,∠AOE=∠ABF=∠CDG 4,解：：二次函数y=x-4x十3=(x一2)3-1， 11,解：：当x>h时，随x的增大面增大，当x< 90°，∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE ,对称轴为直线x=2, 当k=1时，a+b)6+c)(c十a)_2c·2a·2 时，y随x的增大而诚小 ,∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE, 当x=2时，y取得最小值为-1， ,①若h<1x≤4，x=1时，y取得最小值5， 8 .△BAF△OAE, ①当m十2<2，即m<0时，y随x的增大而减小 可得(1-h)2十1=5， 器器器 当一m十2时y的最小值是， 当a十b十c=0时， (a+b)(b+c)c+a） 解得h=一1或h=3(舍). abe 1 OA ②若1≤x≤4<h,当x=4时，y取得最小值5， (-c)(-a)(-b) ,∴.OE=1.50A. ÷(m+2-22-1=m'-1=5 =-1 :∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, 4 可得(4-h)2+1-5, 5.解：设主持人站在离A点xm处自然得体，分两种 ∴.△GDC∽△EOC, “m=一 或m=2合去。 解得h=6或h=2(舍)， 情况： 0-8哭8 OE ③当1<h<4时，y的最小值为1，不合题意 ②当m>2时，y随x的增大而增大， 综上，h的值为一1或6. 当石0.618时，江20×0.618=12.4，主持 ∴.OE=OA+4, 当x=m时y的最小值是子 12.解：：二次函数y=x一2hx+2h=(x一h) 人站在离A点约为12.4m处最自然得体 ∴.1,50A=OA+4, h1+2h, 7 ∴.OA=8m,OE=12m. (m-2)2一1 子m一2或m一豆（去） ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线x=h,函数有 当20≈0.618时，20-工-20×0.618，解得 AB 答：高楼OE的高度为12m 最小值一+2h. 7 x7.6, 11,解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一h)+k, 综上所述，m■一或m 2 当h≤一1时，x=一1时y取得最小值，此时n= 主持人站在离A点约为7.6m处最自然得体 .y=a(x-2)3+10. 5.解：：二次函数y=a(x-1)2-a十1， 1+2h+2h=1+4h≤-3： 综上所述，主持人站在离A点约为12,4m或 把(0,6)代人y=a(x-2)2+10,得 “,该函数图象对称轴是直线x一L, 当一1<h<2时，x一h时y取最小值，此时n一 7,6m处最自然得体， 4a=-4, 当a<0时，当x=1时，该函数取到最大伯 -h+2h=-(h-1)*+1≤1： 6.解：(1)：∠C=90°，AB=10,BC■6， .a=-1, -a+1. 当h≥2时，x=2时y取最小值，此时程=4 .AC=AB-BCT=8. .y=-(x-2)2+10. 4h+2h=4-2h≤0. (2)当y=0时，0=-(x一2)2+10. :当 <x<2时，函数有最大值2a, 综上所述，n的最大值为1. D是AB的中点，AD=BD-2AB-5, 根据题意可知：AP=2, AN MN ,'.CF=12x=24米，DF=5x=10米， .△CBM△NDC,∴.∠BMC=∠DCN. 则PC=AC一AP=8-2. 4 8 ,点D到水平地面CQ的距离为10米 :∠BCM+∠BMC=135°，.∠BCM+ 当△ADP△ABC时，C-沿 AN-MN-...ON-OA-AN- 16 (2)如图②所示，延长AB交 ∠DCN=135, CQ于点E,过点D作DH⊥ .∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM g-4=2 点M为g》 AE,垂足为点H ∠DCN=135 由题意得DF=HE=10米. 7 21.解：(1)由题意得，n十1<0，m<一1. 当△APD△ABC时，AP=AD, AB AC 综上点M的坐标为(-，2)或(，》 DH=FE,∠BDH=∠BCE. 由y=kx十k(h≠0)，当y=0时，kx十k=0, 设DH=FE=y米，则CE= 解得x=一1，.点A的坐标为（一1,0）， 25 9.解：：以原点O为位似中心，将△ABC按相似比 CF+EF=(24+y)米. 2:1放大后得到△AB'C, 在Rt△ADH中，∠ADH=53°， (2)设C(a,b),S△Ae=2a·(-b)=4, 综上所述，当1为2秒或贺秒时，以点A,D,P为 .对应点的坐标应乘2或一2. .ab=-8. 点A的坐标为(1,3)， AH=DH·am53~子y米， 顶点的三角形与△ABC相似 点A'的坐标为(2,6)或（一2，一6）. AE=AH+HE=(停+10米. 又：点C在双曲线上=一兰 (20<<2要< 期末综合能力检测卷（一） (3),CB⊥y轴，.B点坐标为(0，b). 在Rt△ACE中，∠ACE=45°， 在Rt△ABO中， 7,解：”直线y=一2r+2与x轴交于点A,与y轴 1.A2.B3.C4.B5.B6.A7.D m45- =1, :AB=/7,OA=1.∴OB=4. 交于点B,A(4,0),B(0,2) 8.C9.C10.B11.6012.313.8 ∴AE=CE, ∴.B(0,-4),C(2,-4). 当△AOBC∽△COB时， 14.(1)当x≥1时，y随x的增大面威小（答案不唯一） :点C(2,-4)在y=kx十k(k≠0)上， 0C0B1,即 OA OB C=1,解得0C=4. (2)1<2或t>2 ∴3y+10=24+y,解得y=42, “2k+k--4,k=一3 ∴.C(-4,0)或(4,0). 15.解：(1)证明：，△=（一m)一4×2X(一m2)= DH=FE=42米，AH-y=56米 4 9m≥0，.对任意实数m,抛物线与x轴总有 ∴直线AC的表达式为y=一 当△AOB∽△BOC时， 斜坡CB的坡度（或坡比）为i=1:2.4, 8胎-82即兰-忌解得0C=1, 交点. ,BH15 4 4 (2)把A(1,0)代入y=2x-mx一n2,得2-m 六D丽2.42BH=17.5米， y=-31-3, 联立 .C(-1,0)或(1,0) m2■0，整理，得m2十m一2=0，解得m1■1， .AB=AH-BH=56-17.5=38.5(米)， 8 综上，点C的坐标为C(一4,0)或(4,0》或(-1,0) m:=一2，即m的值为1或一2. .通讯塔AB的高度约为38.5米 y= 或(1,0)， 16.解：CF=2,DF=4,.CD=6. 19.解：(1)如图所示，P为所求.● x=一3， 又：四边形ABCD是正方形， (2)如图所示，△OAB:为所求.411 解得 8.解：直线y=2x十4与x轴交于点B,与y轴交 y=-4. .AD=CD=6,AD∥BC 于点A, .△ECF∽△ADF ∴点D的坐标为(-3，) 点A(0,4)点B(-8,0),.OA=4,OB=8, CE CF CE A-0F…6-…cE=3. 2 由图象可得，当x<-3或0<x<2时，反比例函 .AB-√OA+OB-45. :MN∥x轴，∠ANM=∠AOB=90, 17.解：(1)证明：，∠DEC=∠DAE+∠ADE, 数的值小于一次函数的值 ∠ADB=∠DAE+∠C,∠DEC=∠ADB, 22.解：(1)1155 ∠AMN=∠ABO. :∠ANM-∠MNO-90',若△AMN∽△OMN, .∠ADE=∠C.又：∠DAE=∠CAD, (2)猜想：OP-PH .△AED△ADC. 证明：设PH交x轴于点Q 则∠AMN=∠OMN. 20.解：(1)证明：，BM,DN分别平分正方形的两个 (②)F△AED∽△ADC,AC-F AD 又MN⊥OA,.AN=ON= 20A=2. A，即十3 外角， ~点P在抛物线y=牙-1上，设 AD·AD=2或AD=-2(舍去).又：AD= ∠CDN=∠CBM=45. 将y=2代人y=子+4，得2+4=2，解得x ,四边形ABCD是正方形，.AD=AB一BC一 Pa受-小则PQ--,oQ=lm AB,..AB=2. CD,∠ADC=∠DCB=∠CB.A=∠BAD=9O° :△OPQ为直角三角形， 一4，.点M为（一4,2） 18.解：(1)如图①所示，过点D .∠ADN=∠ABM=135° 若△AMN∽△MON,则有∠AMN=∠MON 又，∠MAN=45,∴.∠BAM+∠DAN-45. ∴.OP=PQ+OQ= .∠MON=∠ABO 作DF⊥CQ,垂足为点F, ∠BAM+∠BMA=45°， ∠OAM=∠BAO,∴.△OAM△BAO. :斜坡CB的坡度（或坡比 ∴.∠DAN=∠BMA, 4 -AM 为i=112.4, DA DN 受++1-+可-+1， m 4 DF 1 5 4 ∴cF=2.412 :△ADNn△MBA.BM-BA' AM=15 ∴.BM·DN=BA·DA=36 PH=,-(-2》----2)-+1 ,设DF=5x米，则CF=12x米， 5 (2)BM·DN=BA·DA, ∴.OP-PH 在R1△CDF中，CD=26米，CD=CF2+DF, ,BM·DN=BC·DC, (3)如图所示，连接OA,OB,过点A作AC⊥l于 4w5 ”MN∥x轴，A-AN-MN .262=(5z)2+(12z)2,解得x■2或x■一2 5 BC BM 六DN-DC,∠CBM-∠CDN, C,过点B作BD⊥I于D,此时AC即为A点到1 ABOA一OB,即 (舍去)， 的距离，BD即为B点到（的距离. 45