专项训练卷(四) 数学文化与学科融合-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

EF CF 二、填空题 优+密卷九年级上册数学· A.ABFB 恶需 7.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自 专项训练卷（四） EF CE C.AB CA EF AE D.AB AC 然界最美的鬼斧神工，如图所示，P是AB的黄金分剖点(AP> 数学文化与学科融合 4.桔槔(jiégao)俗称“吊杆”（如图①所示），是一种利用杠杆 BP),若线段AB的长为4cm,则AP的长为 一、选择题 原理制作的原始取水机械.桔棉示意图如图②所示，OM是 1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气 垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB 体的气压p(kPa)是气体体积V(m)的反比例函数，如图所 6米，OA:OB=2:1.当点A位于最高点时，∠AOM= 示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全 120°.此时，点A到地面的距离为() 起见，气球体积V应满足的条件是( 8.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如 弥 图所示，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上 的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿 1.6.60 地面 着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端 016 Vm' A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF,观测者目高(CD)的长， A C.V< D A.7米 B.5米 C.6米 D.(25+3)米 利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点 封 2.如图所示是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体AB 5.如图所示，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度， D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD于点B,BF=6米，DF=2米， 的长是30，根据图中尺寸(ABCD),则CD的长应 已知人的站位点A、镜子O、树底B三点在同一水平线上，眼睛与 EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高度(AB的长) 是( ) 地面的高度为1.6米，04=2.4米，OB=6米，则树高为( 权 线 A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 A.15 B.30 C.20 D.10 9.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的 6.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学 3.数学文化中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 长嘴壶更是历史悠久.如图①所示是某款长嘴壶模型放置在 除 家赵爽的“弦图”，如图所示，在由四个全等的直角三角形 标网格体系)的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照 水平桌面！上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC= (△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形 板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记 120cm,CD=40cm,壶嘴EF=150cm,且CD∥AB,EF∥ 照板“内芯”的高度为EF,观测者的眼睛（图中用点C表示） EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF,连接 BC,DE=3AE,则sin∠FED= cm:如图②所示，若 与BF在同一水平线上，则下列各式最适合用来计算AB的 BE.设∠BAF=a,∠BEF=B,若正方形EFGH与正方形 长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水 长度的是( ABCD的面积之比为1tn,tana=tnB,则n=( 时，FD,则此时出水口F到桌面的距离为 cm. 图中由左向右依次为 测杆，水准仪，照板 A.5 B.4 C.3 D.2 25 三、解答题 直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解 ①列表：下表列出I与R的几组对应值，请写出m的值： 10如图所示，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在 析式 加= 操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到达点 (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC. R 3 4 5 6 B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像.再将平 1-R 21.51.2 面镜向后移动4m(即AC=4m)放在点C处，从点C处后 1=1+是 3m2.22 退1.5m到达点D处，恰好再次在平面镜中看到高楼的顶 水情 部点E的像，测得强强同学的眼睛距地面的高度FB,GD ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值 为1.5m.已知点O,A,B,C,D在同一水平线上，且GD 为横坐标，以I。相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将 FB,EO均与OD垂直，求高楼OE的高度.（平面镜的厚 各点用光滑曲线顺次连接起来 度忽略不计) (3)【数学思考】 观察图象发现：函数1。=1+是的图象是由1：一及的图象 向 平移 个单位长度而得到. (4)【数学应用】 若关于x的方程1+6 =x十6在实数范围内恰好有两 个解，直接写出k的值 密 12.如图所示，在并联电路中，电源电压为U。=6V,根据“并 1234567成 联电路分流不分压”的原理得到：Ia=1,十1： (亿，=只1，=》已知R,为定值电凰，当R变化时，干路 61 电流I也会发生变化，且干路电流1。与R之间满足如下 关系：la=1+ (1)【问题理解】 11.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上， 定值电阻R,的阻值为 n 通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水 (2)【数学活动】 柱组成的（如图所示），水柱的最高点为P,AB=2m, 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比 BP=10m,水嘴高AD=6m, (1)以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的 反比例函数1：一只来探究函数1。-1十食的图象与性质。 -26题物线L的表达式为y-一红一0+5。 解得x1=2+10,x2=2-√10（舍去） ∴.-4+1=2a, 易错专项训练卷（二） 所以点C的坐标为(2十√/1而，0). (2)x=6 解得a=(不合题意，含去) 答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为 相似形中的易错题常见类型 21.解：(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2十 当a>0时，当x=2时，该函数取到最大值2a, 110x十2100(0<x≤15，且x为整数). (2+√10)m 1.322.B3.(1)B(2)D (2)y=-10(x-5.5)2+2402.5. 12.解：(1)6 a-a十1=2a,解得a=2 4.解：解法1（利用等比性质）： :a=-10<0,,当x=5.5时，y有最大值 (2)①2.5 ①若a十b十c≠0，由等比性质有 ②如图所示 6.解：：二次函数y=ax2一4ax十3a=a(x 2402.5. 2)2-a. -a+b+c ,0x≤15，且x为整数， ∴抛物线的对称轴是直线x=2. 当x=5时，50+x=55,y=2400,当x=6时，50+ --- 1x≤4， (a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+e2=1, a+b十c x=56,y=2400. -1--1-1 .当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y .a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a. ∴，当售价定为每件55元或每件56元时，每个月 01234367i 随x的增大面增大， a+b=2ca+c=26,b+c=2a. 的利润最大，最大的月利润是2400元. (3)上1 当x=4时y有最大值， (3)当y-2200时，-10x2+110x+十2100-2200.解 （④-0或只度器 25 4 于是有a+6)6c+@》_2女，2h·2必-8 得x1=1,x=10.当x=1时，50十x=51,当x= aX4-2)2-a=4,解得a=3 ②若a十b十c=0,则a十b=-c,b+e=-a,c+ 10时，50十x=60. 易错专项训练卷（一） 当a<0时，抛物线开口向下，x=2时y有最 a=一b, ∴.当售价定为每件51元或每件60元时，每个月 大值， 的利润为2200元 二次函数中易错题常见类型 于是有a+6)6+c)c+a)=一c)(-a)(-b) aX(2-2)2-a=4,解得a=-4. 当售价不低于51元且不高于60元，并且为整数 -1. 时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别 1.解：由题意，得m2+2m一1=2，解得m=1或一3 7.解：(1)②0 :m十3≠0，m≠一3，m的值为1. (2)y=一x+2,y随x的增大而减小，.当a≤ 为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月 解法2（设k法）：设4十b-c=a一b十： 2.解：乙的说法对.理由如下： xb时，一b十2≤y≤-a十2. b 的利润不低于2200元) a+2a+3配方，得(a+1)+2 ,边界值是4，.一b+2=a. 一a+b十-k, 专项训练卷（四）数学文化与学科融合 :无论a取何值，(a十1)≥0， 函数的最大值超过2b-5,-a+2>2b-5, 则a+b=(k+1)c,① 即有(a+1)2+2≥2，.a+24+3≥2≠0， ∴.b-2+2>2b一5，解得6<5. a+c=(k+1)b,② 1.A2.D3.B4.B5.A6.C 故无论a取何值，该函数一定是二次函数 ,b>a,.b>-b+2,.b>1, b+e=(k+1)a.③ 125-2cm84.19.49205 3.解：，关于x的二次函数y=ax十a的最小值 .b的取值范围为1<b<5. ①+②+③有2(a+b+c)-(k+1)(a十b十c), 3 为4， (3)a的值为5. .(a+b+c)(k一1)0，故有k=1或a+ 10.解：由已知，得AB=1m,CD=1.5m,AC=4m, .a9=4,a>0,解得a=2. 8.一19.h≥-210.0<a<2 b十c=0. FB=GD=1.5m,∠AOE=∠ABF=∠CDG 4,解：：二次函数y=x-4x十3=(x一2)3-1， 11,解：：当x>h时，随x的增大面增大，当x< 90°，∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE ,对称轴为直线x=2, 当k=1时，a+b)6+c)(c十a)_2c·2a·2 时，y随x的增大而诚小 ,∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE, 当x=2时，y取得最小值为-1， ,①若h<1x≤4，x=1时，y取得最小值5， 8 .△BAF△OAE, ①当m十2<2，即m<0时，y随x的增大而减小 可得(1-h)2十1=5， 器器器 当一m十2时y的最小值是， 当a十b十c=0时， (a+b)(b+c)c+a） 解得h=一1或h=3(舍). abe 1 OA ②若1≤x≤4<h,当x=4时，y取得最小值5， (-c)(-a)(-b) ,∴.OE=1.50A. ÷(m+2-22-1=m'-1=5 =-1 :∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, 4 可得(4-h)2+1-5, 5.解：设主持人站在离A点xm处自然得体，分两种 ∴.△GDC∽△EOC, “m=一 或m=2合去。 解得h=6或h=2(舍)， 情况： 0-8哭8 OE ③当1<h<4时，y的最小值为1，不合题意 ②当m>2时，y随x的增大而增大， 综上，h的值为一1或6. 当石0.618时，江20×0.618=12.4，主持 ∴.OE=OA+4, 当x=m时y的最小值是子 12.解：：二次函数y=x一2hx+2h=(x一h) 人站在离A点约为12.4m处最自然得体 ∴.1,50A=OA+4, h1+2h, 7 ∴.OA=8m,OE=12m. (m-2)2一1 子m一2或m一豆（去） ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线x=h,函数有 当20≈0.618时，20-工-20×0.618，解得 AB 答：高楼OE的高度为12m 最小值一+2h. 7 x7.6, 11,解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一h)+k, 综上所述，m■一或m 2 当h≤一1时，x=一1时y取得最小值，此时n= 主持人站在离A点约为7.6m处最自然得体 .y=a(x-2)3+10. 5.解：：二次函数y=a(x-1)2-a十1， 1+2h+2h=1+4h≤-3： 综上所述，主持人站在离A点约为12,4m或 把(0,6)代人y=a(x-2)2+10,得 “,该函数图象对称轴是直线x一L, 当一1<h<2时，x一h时y取最小值，此时n一 7,6m处最自然得体， 4a=-4, 当a<0时，当x=1时，该函数取到最大伯 -h+2h=-(h-1)*+1≤1： 6.解：(1)：∠C=90°，AB=10,BC■6， .a=-1, -a+1. 当h≥2时，x=2时y取最小值，此时程=4 .AC=AB-BCT=8. .y=-(x-2)2+10. 4h+2h=4-2h≤0. (2)当y=0时，0=-(x一2)2+10. :当 <x<2时，函数有最大值2a, 综上所述，n的最大值为1. D是AB的中点，AD=BD-2AB-5,