专项训练卷(三) 模型观念与应用意识-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

5.用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗 D 图②所示，则此时舞者的铅直高度AD的长为() 优+密卷九年级上册数学· 框，设AB为x(m),则窗框的透光面积y(m2)关 专项训练卷（三） A.nsin sin B.nsin8十msin(0-60) 于x(m)的函数表达式为() 模型观念与应用意识 A.y=x(4-x) B.y=x(8-3x) C.ncos 0++msin(0+60) D.nsin0+mcos(0-60°) 10.如图所示是一款抛物线形落地灯筒 一、选择题 C.y=2x(8-3x） D.y=3x(8-3x) 示意图，防滑螺母C为抛物线支架的 1.汽车油箱中有汽油30L,如果不再加油，那么油箱中的油量 6.测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长AB为15米（如 最高点，点C距灯柱AB的水平距离 y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量 图所示)，然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的 为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯 为0.1L/km.当0≤x<300时，y与x的函数表达式是( 影长AC为2.5米，则楼高为( 柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB=1.5米，则灯罩D A.y=0.1x B.y=-0.1x+30 A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米 弥 Cy=300 到水平地面的距离为( D.y=-0.1x2十30x 工 A.1.5米 B.1米 C.12米 D.1.4米 2.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个日标点A, 二、填空题 在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC 12 24 11,已知某斜坡AB的坡度i=1:1,则斜坡AB的坡角a的大 上，并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m, 第6题图 第7题图 小为 EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于() 7.某市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜 12.如图所示，某运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距 封 生长温度为15~20℃的新品种，如图所示是某天恒温系统 离x(m)之间的关系是y=一x2十x十6，则此运动员将铅 开启、关闭及关闭后，大橱里温度y(℃)随时间x(h)变化的 球推出的距离是 函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y= (k≠0)部分，则当x=16时，大棚内的温度约为() A.60m B.40m C.30m D.20m A.18℃ B.15℃7C.13.5℃ D.12℃ 3.用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一 8.如图所示，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm,高AD 线 边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式 90mm,要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两 第12题图 第13题图 为() 个顶点分别在AB,AC上，且EH=2EF,则这个矩形零件 13.应用意识)如图所示，图①是装满了液体的高脚杯（数据如 A.y=-x+10x B.y=x2-10x 的长为( 图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上如图②所示，此 C.y=-x8+20z D.y=z:-20.x A.36 mm B.80 mm C.40 mm D.72 mm 时液面距离杯口的距离h= 4.如图所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东北！ 14.如图所示，A,B两点在反比例函数y= 37方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北 k(x>0)的图象上，其中k>0,AC⊥y 方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正 东方向上的B处.这时，B处与灯塔P的距 第8题图 第9题图 轴于点C,BD⊥x轴于点D,且AC=1, 9.2022年央视虎年春晚国潮舞剧《只此青绿》引人入胜，图① 孙 离BP的长可以表示为() (1)若k=2,则△BOD的面积为 是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿.舞者上半身AB A.40海里 B.40tan37海里 (2)若点B的横坐标为k,且k>1,当AO=AB时，k的值 长为m,下半身BC长为n,下半身与水平面夹角为0(60°< C.40c0s37°海里 D.40sin37海里 为 0<90),与上半身AB夹角为120度（即∠ABC=120)如 -23 三、解答题 18.如图所示，隧道的截面由抛物线和矩形构成.矩形的长OA20.如图所示，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面 15.(宿迁球阳模拟)如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板 是10m,宽OB是5m.按照图中所示建立平面直角坐标 上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P(0,1) DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF 系，抛物线可以用y=一0+缸十c表示。 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L,其最高点的坐标 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条 为(4,5).弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运 边DF=0.5m,EF=0.3m,测得边DF离地面的高度AC= (1)求抛物线的函数表达式， 动轨迹是抛物线L'且开口大小和方向均与L相同，但最大 1.5m,CD=10m,求树高AB. (2)在抛物线形拱壁上需要安装照明灯，即在M,N的位置 安装照明灯，如果灯M,N离地面的高度均为6m,求两灯 高度只是抛物线L最大高度的 的水平距离MN.(结果保留根号) (1)求抛物线L的表达式， (2)若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L'的对称 轴的右侧，则抛物线L'的对称轴为直线 4 16.如图所示，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速 度，要在小山的另一侧D(点A,C,D共线)处同时施工.测 得∠CAB=30°，BD=2√2km,∠ABD=105°，求AD 的长 19.学科融合如图①所示，将一长方体放置于一水平玻璃桌 面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积 的关系如下表所示， 105 桌面所受压强P(Pa)400 500 80010001250 21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖 受力面积S(m) 0.5 0.4 0.20.16 出210件：若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖 (1)根据表中数据，求出压强P(Pa)关于受力面积S(m) 10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨 的函数表达式及a的值. x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元. (2)如图②所示，将另一长、宽、高分别为60cm,20cm, (1)求y与x的函数表达式并直接写出自变量x的取值 17.(安庆宿松期中)如图所示，用手举一根标尺，让标尺与地 10cm,且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻 范围. 面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺 璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa,问： (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利 刚好指住旗杆，此方法可测量旗杆的高度.若测得人与标 这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由 润？最大的月利润是多少元？ 尺EF的水平距离CG=20cm,人与旗杆AB的水平距离 (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 CH=12.6m,标尺的长度EF=22cm,根据测量结果，试 2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围 求旗杆的高度。 时，每个月的利润不低于2200元. -24ON- 1 AD-2, BD=BC·AE=5X3_310 .∠EBD=45°， AC √10 2 后 5 BN-7AB-3. 23.解：(1)y=-x3-2x+3 3☑EDB-45BE-DE-号8D-2km. (2)连接BC,交DH于点M, :ON∥BC,·.△ONE AE=BE=2√5km, 此时△ABM周长最小，如 n△MBE, .AD=AE+DE-(2十23)km 图①所示 谣子-解得E=1 17,解：由题意可知EF∥AB, ,y=-x3-2x十3=-(x+ ∴.△ABCn△EFC, 1)2十4，∴.抛物线的对称轴为 19.解：(1)由题中信息可知该函数图象的顶点坐标为 直线x=一1， (3.-2). 21.解：1)当m=-10时y=-10 0-器 当x=0时，y=3,则B(0,3), 设二次函数的表达式为y=a(x一3)一2. ,CG=20cm=0.2m,CH=12.6m,EF 设直线BC的表达式为y=kx十3，.0=一3k十 该函数图象经过点A(1,0), :AB∥y轴，AB⊥x轴，·S△P■2 22cm-0.22m, 1-10|=5. 3,解得k=1,直线BC的表达式为y=x+3. ∴0-a(1-3)-2,解得a-2, 当x=-1时，y=-1+3=2, :A在y-的图象上，Sm=立X8到=， 则品-长名 .点M坐标为（一1,2）. .AB=13.86m,即旗杆的高度为13.86m 二次函数表达式为y=2(红-3)-2 六.Saau=S△p+S△Aar-9. (3)过点E作EF⊥x轴交直 18.解：(1)，矩形的长OA是10m,宽OB是5m, (2)如图所示： 线BC于点F,如图②所示 （2设Pm,o,则A(m,）,B(m,）, ∴.B(0,5),C(10,5). 设点E的坐标为(m,一m 2m十3)，则点F的坐标为 :.AB=8-n 将B,C的坐标代人y一0x+b虹十c,得 mm (m,m十3)， c=5, 则EF=-m2-2m十3 ①当m>0时，AB=8”=AD, c=5, (m十3)=一m2一3m, -10+106+=5.解得么二. DP=AD+AP=8-”+8-16-m, Some-EF,Izcl-(-m-3m) ∴抛物线的函数表达式为y=一0十工十5。 ①当m>0时，直线y一m与图象“G”有一个 交点： p(,1 -m+3m)-a+》+g 1 3/ (2)依题意，当y-6时，一0x2+x+5一6，解得 ②当m一0时，直线y一m与图象“G”有两个 x1=5+√15，xg=5-/15, 交点： 设x=m,y 16一n,则xy=16-m: ”-<0,开口向下，当m时，△EBC x:一x1=2/15,.两灯的水平距离MN是 ③当一2<m<0时，直线y=m与图象“G”有三 个交点： y=16-”,即点D所形成的函数图象的表达 的而积取得最大值，此时点E的坐标 215m. 19.解：(1)由表格可知，压强P与受力面积S的乘积 ①当m=一2时，直线y=m与图象“G”有两个 不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 交点： 式为y=16-m x ⑤当m<一2时，直线y=m与图象“G”有一个 ②当m<0时，AB=”8,同理可得y6号 专项训练卷（三） 16-n 模型观念与应用意识 设P=专，将(40,0.5)代入， 交点 1.B2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.D 20,解：(1)如图①所示，过点A作AE⊥BC于点E, 综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为 得5=高解得=20， y=16-(m<0. 9.B10.A1.4512.3m13.gcm :P-200 (S>0). 14.(1)1(2)2+3 22.解：(1)证明：∠BPA=135,.∠ABP+ 15.解：：∠DEF=∠DCB=90,∠EDF=∠CDB, ∠BAP=180°-135=45， 当P=800时，800=200， 。a=0.25 ,∠ABP+∠CBP=∠MBN=45°， △DEFO△DCB,既-B ∴∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠CBP 放P-(s>0a=0,25。 n/AWC---设AE=，则BE=, 在Rt△DEF中，DF=0.5m,EF=0.3m, ∴∠BAP=∠CBP (2)这种摆放方式不安全.理由如下： ,∠BPA=∠BPC,.△CPBD△BPA 由勾股定理，得DE-√DF一EF=0,4m, 由题图可知S-0.1×0.2-0.02(m), .AB-5. (2),AC⊥BC,∠MBN=45,∴，△ACB是等 将长方体放置于该水平玻璃桌面上， ,AB=BC=5,,e=1,AE=3,BE=4, cD=10a28-0BC=5m, .EC=BC-BE=5-4=1. 直角三角形，，AB■，√2BC. .AB-AC+BC-1.5+7.5-9(m). 此时P-200 0.02-10000(Pa. 在Rt△AEC中， ,△CPB∽△BPA, 答：树高AB是9m ,10000>2000,∴.这种摆放方式不安全。 PC BP BC BC 1 AC=AE+EC=√3+IF=I0. 16.解：如图所示，过点B作 20.解：(1)根据已知得抛物线L的顶点是(4,5)， (2)如图②所示，：BD是AC边上的高，AE是 ·BP-AP-AB2BC2 BE⊥AD于点E. 设抛物线L的表达式为y=a(x一4)严十5， BC边上的高， 设PC=x,则BP-√2x,AP-2x ,∠CAB=30°， 把P(0,1)代入，得1=a(0-4)+5, ,∠APC=360°-135°-135°-90° ∠ABE=60°. SAANC-2BC·AE-zAC·BD, .AC=JAP+PC=2x)=5 ∠ABD=105, 解得a一- 4 题物线L的表达式为y-一红一0+5。 解得x1=2+10,x2=2-√10（舍去） ∴.-4+1=2a, 易错专项训练卷（二） 所以点C的坐标为(2十√/1而，0). (2)x=6 解得a=(不合题意，含去) 答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为 相似形中的易错题常见类型 21.解：(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2十 当a>0时，当x=2时，该函数取到最大值2a, 110x十2100(0<x≤15，且x为整数). (2+√10)m 1.322.B3.(1)B(2)D (2)y=-10(x-5.5)2+2402.5. 12.解：(1)6 a-a十1=2a,解得a=2 4.解：解法1（利用等比性质）： :a=-10<0,,当x=5.5时，y有最大值 (2)①2.5 ①若a十b十c≠0，由等比性质有 ②如图所示 6.解：：二次函数y=ax2一4ax十3a=a(x 2402.5. 2)2-a. -a+b+c ,0x≤15，且x为整数， ∴抛物线的对称轴是直线x=2. 当x=5时，50+x=55,y=2400,当x=6时，50+ --- 1x≤4， (a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+e2=1, a+b十c x=56,y=2400. -1--1-1 .当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y .a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a. ∴，当售价定为每件55元或每件56元时，每个月 01234367i 随x的增大面增大， a+b=2ca+c=26,b+c=2a. 的利润最大，最大的月利润是2400元. (3)上1 当x=4时y有最大值， (3)当y-2200时，-10x2+110x+十2100-2200.解 （④-0或只度器 25 4 于是有a+6)6c+@》_2女，2h·2必-8 得x1=1,x=10.当x=1时，50十x=51,当x= aX4-2)2-a=4,解得a=3 ②若a十b十c=0,则a十b=-c,b+e=-a,c+ 10时，50十x=60. 易错专项训练卷（一） 当a<0时，抛物线开口向下，x=2时y有最 a=一b, ∴.当售价定为每件51元或每件60元时，每个月 大值， 的利润为2200元 二次函数中易错题常见类型 于是有a+6)6+c)c+a)=一c)(-a)(-b) aX(2-2)2-a=4,解得a=-4. 当售价不低于51元且不高于60元，并且为整数 -1. 时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别 1.解：由题意，得m2+2m一1=2，解得m=1或一3 7.解：(1)②0 :m十3≠0，m≠一3，m的值为1. (2)y=一x+2,y随x的增大而减小，.当a≤ 为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月 解法2（设k法）：设4十b-c=a一b十： 2.解：乙的说法对.理由如下： xb时，一b十2≤y≤-a十2. b 的利润不低于2200元) a+2a+3配方，得(a+1)+2 ,边界值是4，.一b+2=a. 一a+b十-k, 专项训练卷（四）数学文化与学科融合 :无论a取何值，(a十1)≥0， 函数的最大值超过2b-5,-a+2>2b-5, 则a+b=(k+1)c,① 即有(a+1)2+2≥2，.a+24+3≥2≠0， ∴.b-2+2>2b一5，解得6<5. a+c=(k+1)b,② 1.A2.D3.B4.B5.A6.C 故无论a取何值，该函数一定是二次函数 ,b>a,.b>-b+2,.b>1, b+e=(k+1)a.③ 125-2cm84.19.49205 3.解：，关于x的二次函数y=ax十a的最小值 .b的取值范围为1<b<5. ①+②+③有2(a+b+c)-(k+1)(a十b十c), 3 为4， (3)a的值为5. .(a+b+c)(k一1)0，故有k=1或a+ 10.解：由已知，得AB=1m,CD=1.5m,AC=4m, .a9=4,a>0,解得a=2. 8.一19.h≥-210.0<a<2 b十c=0. FB=GD=1.5m,∠AOE=∠ABF=∠CDG 4,解：：二次函数y=x-4x十3=(x一2)3-1， 11,解：：当x>h时，随x的增大面增大，当x< 90°，∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE ,对称轴为直线x=2, 当k=1时，a+b)6+c)(c十a)_2c·2a·2 时，y随x的增大而诚小 ,∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE, 当x=2时，y取得最小值为-1， ,①若h<1x≤4，x=1时，y取得最小值5， 8 .△BAF△OAE, ①当m十2<2，即m<0时，y随x的增大而减小 可得(1-h)2十1=5， 器器器 当一m十2时y的最小值是， 当a十b十c=0时， (a+b)(b+c)c+a） 解得h=一1或h=3(舍). abe 1 OA ②若1≤x≤4<h,当x=4时，y取得最小值5， (-c)(-a)(-b) ,∴.OE=1.50A. ÷(m+2-22-1=m'-1=5 =-1 :∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, 4 可得(4-h)2+1-5, 5.解：设主持人站在离A点xm处自然得体，分两种 ∴.△GDC∽△EOC, “m=一 或m=2合去。 解得h=6或h=2(舍)， 情况： 0-8哭8 OE ③当1<h<4时，y的最小值为1，不合题意 ②当m>2时，y随x的增大而增大， 综上，h的值为一1或6. 当石0.618时，江20×0.618=12.4，主持 ∴.OE=OA+4, 当x=m时y的最小值是子 12.解：：二次函数y=x一2hx+2h=(x一h) 人站在离A点约为12.4m处最自然得体 ∴.1,50A=OA+4, h1+2h, 7 ∴.OA=8m,OE=12m. (m-2)2一1 子m一2或m一豆（去） ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线x=h,函数有 当20≈0.618时，20-工-20×0.618，解得 AB 答：高楼OE的高度为12m 最小值一+2h. 7 x7.6, 11,解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x一h)+k, 综上所述，m■一或m 2 当h≤一1时，x=一1时y取得最小值，此时n= 主持人站在离A点约为7.6m处最自然得体 .y=a(x-2)3+10. 5.解：：二次函数y=a(x-1)2-a十1， 1+2h+2h=1+4h≤-3： 综上所述，主持人站在离A点约为12,4m或 把(0,6)代人y=a(x-2)2+10,得 “,该函数图象对称轴是直线x一L, 当一1<h<2时，x一h时y取最小值，此时n一 7,6m处最自然得体， 4a=-4, 当a<0时，当x=1时，该函数取到最大伯 -h+2h=-(h-1)*+1≤1： 6.解：(1)：∠C=90°，AB=10,BC■6， .a=-1, -a+1. 当h≥2时，x=2时y取最小值，此时程=4 .AC=AB-BCT=8. .y=-(x-2)2+10. 4h+2h=4-2h≤0. (2)当y=0时，0=-(x一2)2+10. :当 <x<2时，函数有最大值2a, 综上所述，n的最大值为1. D是AB的中点，AD=BD-2AB-5,