专项训练卷(一) 抽象能力与运算脂力-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

优+密卷九年级上册数学· C者胎-5，且D为AB的黄金分潮点，则CD平 13.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=1,CD=8, 专项训练卷（一） 分∠ACB AC⊥CD,若sin∠ACB=G,则cos∠ADC 抽象能力与运算能力 D.若CD平分∠ACB,则AD=AB·BD 8.(聊城冠县期中)如图所示，在 一、选择题 Rt△ABC中有边长分别为a,b,c的 1.在二次函数y=一x2十2x十1的图象中，若y随x的增大 三个正方形，则a,b,c满足的表达式 而增大，则x的取值范围是() 第13题图 第14题图 为() A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 14.如图所示，在正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF: A.ac=b B.a+c=b 2.在反比例函数)-一3的图象的两个分支上，y随工的增大面减 FB=12,AC与DF交于点N. 弥 c告- D.c*=ab (1)当AB=4时，AN= 小，则的取值范围是( (2)S△ANF:S网边形CNFB= ,(S表示面积) 9.对于任意实数a和b,定义新运算a共b= A.k<3 B.k>0 C.k>3 D.k<0 三、解答题 |a-ab(a≥b) 3.已知△ABCc∽△A'B'C',若AB=10,A'B'=6,则△ABC 有下列四个结论，其中正确的结论个数 15.计算：cos230°-2cos30°sin60°+sin260. 侧 b:-ab(a<b) 与△A'BC的周长比是() 为( A.25:9 B.9125 C.35 D.5t3 ①2#（一1）的运算结果为6： 封 4在△ABC中，smA=o:(90-∠C)-号，则△ABC的形 ②方程3x#(x一2)=0的解为x1=0,x2=一1： 状是( ③当x<5时，函数y=2#(x一3)的图象经过第一、二、四 象限： 16.已知函数y=(m2+2m)xm'-"-1,如果y是x的反比例函 A.锐角三角形 B.直角三角形 权 C.钝角三角形 D.不确定 ④函数y=2x#(x一1)的图象不经过第二、四象限. 厂数，求出m的值，并写出此时y与x的函数表达式 B.2个 C,3个D.4个 3 A1个 5.已知二次函数y=一x2+3x- 后，当自变量x取m时，对应 10.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90° 的函数值大于0，设自变量x分别取m一3，m十3时，对应的 ∠A=30°，E为AB上一点且AE:EB= 线 函数值为y1,y2,则( 4:1,EF⊥AC于点F,连接FB,则 A.y1>0,y>0 B.y1>0,y2<0 tan∠CFB的值等于() 17.如图所示，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°， 声 C.y1<0,ya>0 D.y1<0,yg<0 3 吕则血B的值为( A.3 2 D.53 AB=√2，BD=3. 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 二、填空题 (1)求sin∠ADB的值 A.3 12 B.3 5 n号 (2)若DC=3,求BC的长 11.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,2)的抛物线 7.在△ABC中，AB=AC,D为边AB上任意一点，下列命题 的表达式： 为真命题的是( ) 靠 12.使关于x的分式方程二 x-1 =2的解为非负数，且使反比例 A.若AD=CD=BC,则∠A=36 B若∠A=6,则S-5 函数y= 一图象过第一、三象限时满足条件的所有整数 x k的和为 18.阅读理解若一个函数的表达式等于另两个函数表达式的 ①求k的值， 和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”，现有关于工 ②当k≤x≤k十2时，请结合函数图象确定y的最大值和 解：a2=分+c2-2 bccos A,c0sA=62+c2-a2 2bc 的两个二次函数y1,y,且y1=a(x一m)2+4(m>0),y1, 最小值 (22)2+(6+2)2-(23)21 2×22×(6+√2) =2 y2的“生成函数”为y=x2+4x十14.当x=m时，y2=15, 二次函数y:的图象的顶点坐标为(2，k). .∠A=60 (1)求m的值. 【应用新知】 (2)求二次函数y1y:的表达式. 如图②所示，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东 50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为23海里， 客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客 轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的 距离 21.如图所示，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=200mm, 高AD=150mm,要把它加工成一矩形零件，使矩形一边 在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上 (1)设PN=x,矩形PQMN的面积为S,求S关于x的函 数表达式，并指出x的取值范围。 (2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是 19.(唐山路南区期末)如图所示，在△OAB中，OA=8,OB= 多少？ 6,∠A=30° 23.在平面直角坐标系xOy中，已知点（一2，一2）在抛物线 (1)求AB的长. y=a.x2+bx-2(a>0)上. (2)嘉琪认为：如果本题去掉“如图所示”四个字，那AB的 (1)①抛物线的对称轴为直线x= 长还有另外一个值，请同学们直接写出另外一个值. ②当-3<x<一2时，抛物线在x轴下方，当1<x<2时， 抛物线在x轴上方，求此时抛物线的函数表达式. (2)若抛物线上存在点P(x1y1),Q(xy2),其中x1,x2 满足0<x1<x2<4且x:-x1=1,使得|y1-ya<1,求a 的取值范围. 22.已知：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍， 即：如图①所示，在△ABC中，已知AB=c,BC=a,CA 20.已知y关于x的函数y=(k一1)x2一2kx十k十2的图象 b,则有：a2=b2+c2-2 bccos A,b2-a+c2-2 aceos B, 与x轴有交点 c*=a2+b*-2abcos C. (1)求是的取值范围 利用这个结论可求解下列问题： (2)若x1,x是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满 例：在△ABC中，已知a=25,b=22,c=6+√2， 足(k-1)x号+2kx2十k十2=4z1x2. 求∠A. -20六①当a>0时，对称轴工--3二24>1 “生成函数”为y=x2十4x十14，.y1=x+4x十 由图象知：当x=一1时，y最小= 2a 14-a(x-m)3-4=x2-a(x-m)2+4x+10. 当x=m时，y2=15,.15=m-a(m一m)°+ -3当x-时y一2 3 故a必须不大于最小的写，则a<行 4m+10,解得m1=1,m2=一5（不合题意，舍去）. 3-24<1 1-to “y的最大值为，最小值为 而a>0故0<a< ②当a<0时，对称轴x= (2)由(1)，得y:=x2-a(x-1)3+4x十10= 2a 2 专项训练卷（二）空间观念与几何直观 (1-a)x+(2a+4)x一a+10.,二次函数y2 解得工，>1-3（不符合题意）. 的图象的假点单标为(2，，积台-2，解 21.解：(1)由矩形PQMN知PN ∥BC,.△APN△ABC, 1.C2.A3.A4.B5.D6.D7.C8.B 放，的取值范围为6<1-子(。>0以 9.C10.C 得a=4,y1=4(x-1)2+4,y2=-3x2+ 12x+6. 怎设MN-BD-y,则 1.-1<0或x>212.31B号 专项训练卷（一）抽象能力与运算能力 19.解：(1)如图所示，过点O作OC⊥AB,交AB的 x150-2, 延长线于点C. AE-150-y.QM-PN-x六20-150 140y=-2+5x-; (2)(2,-1)或(4,3) 1.A2.C3.D4.B5.D6.A7.B8.B =w=-+150,150 y=150-3 3 9.C10.C11.y=x2+2(客案不唯一)12.1 15解：ABEF,:OA-OB.AFBE x>0,解得x<200,则0<x<200. OF-OEOF-OE 13.g14.(12(2111 (2)s-2+150z-2u-10)2+750. 器能 15解：原式-(cos30-血60r-()-0 故当x=100时，矩形的面积最大，最大面积为 在Rt△AOC中，∠C=90°，∠A=30°，sin30°= 7500mm2. EFD 16.解：由y=(m+2m)x”-是反比例函数，得 1OC m2-m-1=一1且m2十2m≠0， 20A 22.解：，∠ADC=180°-80°-50°=50°=∠DAC， 品…0能 .CA=CD=6海里，.BC2=AB十AC2一 解得m=1. 0A=8,0C=4,0os30=5=AC 2OAAC= 2AB·AC·co8∠BAC=(2,3)+6-2X :CE-6,EB-18,DF-4, 故y与：的函数表达式为y- 45. 23×6x 音5解得AF=12, 在Rt△BOC中，OC+BC=OB,.42+ 2 一12，.BC=2√3海里. 17.解：(1)如图①所示，过点B作BE⊥AD交AD .AD=AF+DF=12+4=16 于点E. BC=62,.BC=25,.AB=4√3-25. 答：C处到灯塔B的距离为23海里 16.解：(1)：直线y=kx+b过点(1,0)和(0，一1)， 在Ri△ABE中，BE=AB·inA=√2sin45 23.解：(1)①-1 (2)AB=43+25. ②设抛物线的表达式为y一a(x+1)2+k, 20.解：(1)当k=1时，函数为一次函数y=一2x十 6=-1, 3,其图象与x轴有一个交点： 当x=-3时，y1=a(-3+1)2+k=4a+k, y=x-1, 当k+1时，函数为二次函数，其图象与x轴有 当x=1时，y:=a(1+1)3+k=4a+k, (2)联立 BE 在R△BDE中，sin∠ADB=BD=3 即（一3，y1)和(1，y:)关于抛物线对称轴对称， y=1. 个或两个交点，令y=0,得(k一1)x一2kx十k士 当一3<x<一2时，抛地物线在x轴下方，当1< 2=0. C(2,1). 4=(-2k)2-4(-1)(k+2)≥0 x<2时，抛物线在x轴上方， 17,解：(1)设BC的垂直平分线交BC于点F, 解得k≤2.即k2且k≠1. 故y1=y2=0,故抛物线过点(1,0)，(-3,0). ∴.BD=CD,CAAm=AB+AD+BD=AB十 综上所述，k的取值范围是≤2 设地物线的表达式为y=a(x一1)(x+3)= AD+DC=AB+AC.AB=CE,CAD= (2)①，x1≠x:,由(1)知≤2且≠1，函数图 a(x+2x-3)=ax'+2ax-3a, AC十CE-AE-1,故△ABD的周长为1. 则-=-2，解得a=号故y号+-2 2 4 (2)如图②所示，过点C作CF⊥BD交BD于 象与x轴有两个交点， (2)设AD=x,.BD=3x,又，BD=CD 点F, .k<2且k≠1. ,AC=AD+CD=4x.在Rt△ABD中，AB= (2),满足0<x1<x,<4,则点P,Q在对称轴的 ,∠ADC=90°， 由题意，得(-1)x+(+2)=2kx1,(*) 右侧，则y1<y:· BD-AD=√/(3x)-x=22x, ∠BDC=90°-∠ADB, 将(")代人(k一1)x+2kx2十k十2=4x1x1,得 y-y:=y:-1=a(xi-xi)+2a(x:- AC4x-=2. ÷cos∠BDC=sin∠ADB=3 2k(x1十x:)=4x1x: x1)=[a(x1+xa)+2a](xg-x1)=a(x1+ :.tanZABC-AB2x 2表 在Rt△CDF中，DF=DC·cos∠BDC=3X 又：x1十x4一k-1' xa)+2a<1. 18.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,AB∥CD,BC=AD, k+2 x1x:k-1' 则a<,+x,+2 .∠OAE=∠OCF :0<x1<x2<4且x1-x1=1,则x=1十 ∠OAE=∠OCF, 由勾股定理，得CF=CD一DF=3一1=8. 2 +2 2张·k白4·k- xt>1. 在△AOE和△COF中，OA=OC, '.BF-BD-DF=3-1-2. x1<x:<4, ∠AOE=∠COF, 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=CF2十 解得1=一1，k:=2(不合题意，舍去). ∴.△AOE≌△COF(ASA),.OE=OF. BF=8+2=12,∴.BC=/12=23,即BC的 ,所求k值为一1. 则x8=x1十1<4，故0<x,<3, ②如图所示，：泰=一1，y=一2x2十2x十10 而1<x<4,则3<x1十x,十2<9 (2)如图所示，过点O作ON∥BC交AB于点N, 长是2w3. 1 则△AONn△ACB. 18.解：(1)y1=a(x一m)2十4(m>0),y1,y的 -2(x-+2，且-1x<1 OA=OC.