第23章 解直角三角形 素养提升检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

7.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC= 13.如图所示，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆 优+密卷九年级上册数学· 8cm,AB的垂直平分线MN交AC于点 顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度 第23章素养提升检测卷 D,连接BD,若cOs∠BDC= 5,则BC的 约为m.(参考数据：sin38≈0.62，cos38°≈ 0.79,tan38°≈0.78) 回时间：120分钟☑满分1150分 长是() 14.如图所示，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片 题号 三 四 五六 七 八 总分 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm ABC中，将∠B折起，使点B落在AC边上的点D(不与点 得分 8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折 A,C重合)处，折痕是EF 痕PQ的长是() 3 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） A子Eem cm 如图①所示，当CD=AC时，ana1=: C.5 cm D.2 em 1.如图所示是堤坝的横断面，堤高BC 9.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应 如图②所示，当CD=3AC时，1ana:=i2 是5米，迎水坡AB的长是13米，那 么斜坡AB的坡度是() 用.我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求 7 如图③所示，当CD=AC时，tan as-= tan22.5的值： 21 A.1:3 B.1￥2.6 C.1￥2.4 D.1:2 如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使 2.已知a为等腰直角三角形的一个锐角，则sina等于( ) 依次类推，(1)当CD= AC时，tana, 烟 BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设AC=1,则BC=1,AB B号 C.3 D.1 2-BD,所以tm2.5°-AC 1 1-2 (2)当CD= 十AC(n为正整数)时，tana, ■√2 3.(铜陵一模)比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是() D1+21+2)1-2) 封 A.tan46°<cos29°<sin59°B.tan46°<sin59°<cos29 1.类比这种方法，计算tan15的值为( C.sin59°<tan46°<cos29°D.sin59°<cos29°<tan46 A.3-2B.2-3 C.3+2 D.√3-2 4.如图所示，A,B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离， 测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米， 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） ∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB等于( 15.计算：2cos60°+4sin60°·tan30°-6sin245° 45 225 D A.asin40米B.acos40米C.atan40'米D.an40米 第8题图 第9题图 第10题图 线 10.如图所示，在△ABC中，AD,CE是高，AB=4,AC=5, BC=6,则cos∠DEB的值为() c号 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 16.在△ABC中，tanA= 3,tanB=1,CD⊥AB于点D,且 第4题图 第5题图 11.已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值 5.如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与 为 BD=4,请画出示意图，并求边AB的长。 x轴正半轴的夹角为a,点P在射线OA上，者血8-，则 12.如图所示，在菱形ABCD中，AB=BD=2,则sin∠CAB 的值为 点P的坐标可能是() 经 A.(3,5) B.(5,3) C.(4,3) D.(3,4) 6.已知45°<A<90°，则下列各式成立的是() A.sin A=cos A B.sin A>cos A C.sin A>tan A D.sin A<cos A 第12题图 第13题图 15 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 20.推理能力)如图所示，根据图中数据完成填空，再按要求七、（本题满分12分） 17.在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的愿额，如图所示 答题： 22,模型观念)如图所示是某品牌太阳能热水器的横斯面示意 中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示 图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱 意图.已知BC=1米，∠MBC=37°，从水平地面点D处看 横断面⊙O的圆心O,支架CD与水平面AE垂直，AB= 点C,仰角∠ADC=45°，从点E处看点B,仰角∠AEB 150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米， 53°，且DE=2.4米，求匾额悬挂的高度AB.（参考数据： ∠CED=60°. (1)求垂直支架CD的长度.（结果保留根号） sin 373 5c0837≈4 (1)sinA+sin'B= sinA2+sinB (2)求水箱半径OD的长度.（精确到0.1厘米，参考数据： sinA,+sin'Ba= W2≈1.41，w3≈1.73) 观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90,都有 sinA+sinB= (2)如图④所示，在R△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定 理，证明你的猜想」 5 (3)已知∠A+∠B=90,且sinA-3,求sinB的值. 18.已知△ABC中的∠A与∠B满足(1一tanA)+ aB- 八、（本题满分14分） =0,且∠A与∠B都是锐角 23.如图所示，由12个形状，大小完全相同的小矩形组成一个 (1)试判断△ABC的形状 大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点， (2)求(1+sinA)-2/cosB-(3+tanC)°的值 已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点， (1)求每个小矩形的长与宽. 六、（本题满分12分） (2)在网格中找一格点E,使△ABE为直角三角形，求出所 21.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AEED= 有满足条件的线段AE的长度。 7:5,连接CE并延长交边AB于点F,AC=13,BC=8, (3)求sin∠BAC的值 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） a<4c8-8 19.如图所示，已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4, (1)求tan∠DCE的值. cOs∠ABC=-言BF为AD边上的中线. (2②)求F的值 (1)求AC的长 (2)求tan∠FBD的值. 16:一<0，“点C与直线m距离的最大值为1. 19.解：由题意，得CF=CD=AB=10,∠CFE=∠D= ∴.EB=BM·os∠EBM=20Xcs60°=10（海里）， ∠B=90°，∴.∠AFE+∠CFB=180°-∠CFE .CM=DE=DB-EB=10√3-10=10(W3 第23章素养提升检测卷 (3)当b=2023时，抛物线的表达式L.为y= 180°-90°-90°.，：∠BCF+∠CFB-180° 1)(海里). -x2+2023.x,直线n的表达式为y=x-2023 ∠B=180°-90°=90°，.∠AFE=∠BCF 1.C2.B3.D4.C5.C6.B7.A 客：港口C与灯塔M的距离为10(w5一1)海里. 由y-3023x得，=-1x,=2023. BC 8 4 .cos∠AFE=cos∠BCF-CF-i05 22.解：(1)①160 8B9B10.B11.号或612.2 y=x-2023, :对y=-x+2023x和y=x一2023，每一个 20.解：如图所示，过点C作CF1 ②过点A作AF⊥BC于点F,如图①所示，则 13.8.1 2n十1 整数工的值都对应一个整数y值，且一1和202 AB,过点D作DE⊥AB,分别 AF-AB·sin∠ABF-30sin70°e28.20(cm). (2)2(n+1d 之间（不包括一1和2023）共有2023个整数， 交AB的延长线于点F,E. 15原武=2x号+4x号×-6x()=1 ∴，所固成的封闭图形边界在一1和2023之间（不 ,ABCD,∴.∠CBF=∠BCD 包括-1和2023)有2023×2=4046（个）“整点”， 60°，∠A=180°-∠ADC=A B 2-3-0. 16.解：如图所示 另外有两个交点（一1，一2024）和(2023,0)， 180°-135°=45，在RtABCF中，sin60°-6- .“整点”的个数为4046十2=4048. os60=-CF=4,BF=4 CF BFBF ∴，投影探头的端点D到桌面OE的距离为AF+ ton A=3 ， 第23章基础达标检测卷 0A-CD28.20+6.8-8=27.0(cm). ∴.∠A=30 CF⊥AB,DE⊥AB,.CF∥DE.AB∥CD (2)过点D作DH⊥OE于点H,过点B作BM⊥ ,tanB=1,∴∠B-45 1.B2.B3.B4.A5.D6.D7.C ,四边形DCFE是平行四边形.CF⊥AB,,四 CD,与DC延长线相交于点M,过A作AFI CD⊥AB,.∠CDB=90°， 8.C9C10.A1.号12.4013.6 边形DCFE是矩形，.EF=CD=2,DE=CF BM于点F,如图②所示. .∠DCB=∠B=45,.CD=BD=4. CD 4a4e7 4.在R△ADE中，an5DE= AE-AE 在Rt△ADC中，AD= an30=4,3, .AE=45, ∴.AB=BD+AD=4+4W3. 15：原式-×+× +1-2 .AB=AE+EF-BF=4V3+2-4=43-2. 17.解：如图所示，过点C作CF⊥ 2 26 21.解：(1)3045 AM于点F,过点C作CH⊥ + (2):∠DBM=∠A+∠AMB=60°，∠A=30°， CD⊥OE,∴.点M,C,D,H共线 AD于点H,则四边形AHCF ∠AMB=30 是矩形，.AF=CH,CF 16.解：如图所示，过点A作AH 则∠MBA=70°，AF28.2cm,DH=6cm, ,∠A=∠AMB, AH. BC于点H. BC=35 cm.CD=8 cm, ∴.AB=BM=20海里. 在Rt△BCF中，BC-1米，∠CBF=37,BF= ,∠B=45,∠AHB=90 ..CM=AF+AO-DH-CD=28.2+6.8-6- 如图所示，过点M作ME⊥AB,垂足为E BC·cos37°=0.8米，CF=BC·sin37° AB=6,.AH=BH=32, 8=21(cm), EM 0.6米. “simc-AH_32-3 在Rt△EBM中，Sin∠EBM= BM' ·sin∠MBC= CM 21 BC 35 =0.6, 在Rt△BAE中，∠BEA-53°，·∠ABE=37, AC26-21 .EM=BM·sin∠EBM=20Xsin60° ∠MBC≈36.8"， .∠C=6 103(海里). ∴.∠ABC=∠ABM-∠MBC33.2 AE=号AB. 17.解：过点A作AD⊥BC 答：灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里。 23.解：【问题背景】3 在Rt△CDH中，∠CDH=45, 于点D,如图所示， 北 【探索延伸】 ..CH=DH=FA=0.8+AB, 在Rt△ABD中，AB=B 如图所示，连接CE,DE,作 .AD=AH+DH=0.6+0.8+AB=1.4+AB -AD=15在 25,sin B=AD Eb 60 DM⊥CE于点M, AD=AE+DE=AB+2.4, :BC∥AE,BC=AE R△ACD中，CD=√AC-AD=√39-15= .四边形ABCE是平行四 AD155 边形， 1.4+AB=号AB+2.4,解得AB=4. 36,tamC一CD-362在R△ABD中 答：驱额悬挂的高度AB是4米. CE∥AB,.∠APD=∠ECD BD=√AB-AD=√25-15=20，∴.BC 1R解：01-anA+如B-|=0, BD+CD=20+36=56,tan C= 2,BC=56. :△BCD的面积=3X4-专×1X4- 2×2× (3)如图所示，过点C作CD⊥AB,垂足为D. 18.解：如图所示，过C作CM 'CD⊥AB,ME⊥AB,AB,CM都是正北方向 3-×1×3-2 六amA-1,inB- 2 2 平行于地面，BM⊥CM于 ',四边形DEMC是矩形， 2心2CEDM- .∠A-45,∠B=60°，∠C-75 点M. ∴，CD=EM=103海里，DE=CM CE=7,DM=17 .△ABC是锐角三角形. 17 BC=4 m .5》 在Rt△CDB中， (2)∠A=45,∠B=60°，∠C=75°， ∴.BM=BC·in65°4X ,∠DBC-45,∴∠DBC=∠DCB, ∴.sin∠APD=sin∠ECD= 0.91=3.64(m). 地面 ,DB=DC=10√3海里」 CD 17 原武=(+》-2-1 则点B距地面的高度为BM+CD=3.64+ EB 1,2≈4.8(m). 在R△EMB中，cos∠EBM-BN: o-1117o 170 19.解：)：AC1BD,∠ABC--台 BC=8,∴.AB=10.在 Rt△ACB中，由勾股定理， 任+2y=6·解得=3， a-x(x-6), AH=8.4m. 12y=x, y=1.5. “点P4,)在该函数图象上， 答：路灯A离地面的高度约为8,4m 得AC=√AB-BC .每个小矩形的长为3，宽为1.5. (2),BC⊥CE,AF⊥BC,AH⊥CE,.四边形 /10-8=6,即AC的长 (2)如图①所示.AE=3或35或3 -4a(4-6,解得a=-号， AFCH为矩形，.FC=AH=8.4m. 2 为6. :BC=10m,.BF=BC-FC=10-8.4 ∴y=-3x(红-6)=-33+2x, 1 (2)如图所示，连接CF,过点F作BD的垂线，垂 1.6(m). 足为E,BF为AD边上的中线，∴F是AD的 在Rt△AFB中，∠ABF=60°，则AB= 即拱桥所在抛物线的函数表达式是y= 中点.FE⊥BD,AC⊥BD,∴.FE∥AC,FE BF -2+2x cos∠ABC 1.6=3.2m. 1 是△ACD的中位线，，FE= 2AC-3.CE- 2 EF 2CD=2,心在Rt△BFE中，tan∠FBD-B (2)当y=1时，1=-青+2红，解得=3+ 容：灯杆AB的长度约为3.2m, (3)如图②所示，过点B作 6,x1=3-6 21解：0当：=5时，舒适度y9-1g0=0 3 3 BP垂直AC于点P.设 8+210 BM=MN=m,则AM= 3+√6-(3-6)=26(m), (2)舒适度指数不低于10，由题图知y≥10时， 20.解：(1)1111 .因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为2√后m 0<x≤10， 2m,,AM⊥BN,.AB= 故作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学 (2)在RtAABC中，∠C-90°.sinA-4 AN=√m+(2m)=5m, I8解：)在R△ABD中，tanB=0= BD 2 最多等待10分钟。 smB-名，simA+imB-o+b SA-BN·AM- AD=2, 22.证明：(1)：AB·AF=AC·AE, c .BD=4, ∠C=90°，.a+b2=e,.sin3A+sin2B=1. 5AN·BP.∴Bp-AM:B-2m·20-4m .在 .AB=√AD+BD=25, 漫架 AN √5m 5 ,AE平分∠BAC, (3)'sin A-13,sin'A+sin'B-1, R△ABP中，∠BAC=n∠BAP--后 BP 4m os∠BAD-AD-5 AB 5 .∠BAE=∠CAE, ∴.△BAEn△CAF, (2)''sin C 2,六∠C=45 .∠AEB=∠AFC, 21.解：(1)AD⊥BC,.∠ADC=90° ∴.180°-∠AEB=180°-∠AFC, 在Rt△ADC中，AC=13,cos∠ACB=3-AC】 5 CD tan C-AD D-1,AD=2,∴CD=2, ∴.∠AEC=∠AFD. 阶段达标检测卷（二） BC=BD+CD=6, (2):∠CFE=∠AFD=∠CEF, ∴CD=5.由勾股定理，得AD=3-5=12.1.D2.B3.B4.D5.B6.B7.D8.C ∴.CE-CF, ,AE:ED=7:5, ,△BAE∽△CAF,∠B=∠ACF ED ,B10c1u号 19,解：(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， .DC//EG. 六ED=5,tan☑DCE=CD-l .∠DCB=∠CEG,∠G=∠ACF=∠B, (2)过点D作DG∥CF交 120(答案不唯)1B号 ABCD,.∠CAB=∠ACD ∠AEF=∠CAB,∠AEF=∠ACD. AB于点G,如图所示 △CGCE,小0-e-瓷. 14.(1)4(2)m=0或m>4 ,∠EAF=∠CAD,.△AEF∽△ACD. ,BC=8,CD=5,.BD= 15.解：联立P=一2x+2, (2):AF-2CF,设CF-x,AF-2x,则AC=3x, ∴.CD·CG=FC·BD. BC-CD=3.DG∥CF, 23.解：(1)由y=ax2+bxr十a-5经过点(-1,4)，及 y=2x+2, AE 由△AEFC∽△ACD,得A5=二，∴AF·AC 解得亿二-1·或红=0 2a+b=3,得a-6+a-5=4, AE·AD,即2x×3x=4X(4+5),解得x=√6 2a+b=3, y=0, y=2. 是-名dAP-名PG.设BG-8,则FG- A,B两点的坐标分别是（一1,0），(0,2). (负值舍去)，∴AC=3x=36. 解得=3， b--3. 16.解：(1)如图所示，△A1B,C1即为所作. 20.解：(1)如图所示，过点A作 5.BF-FG+G ∴.二次函数的表达式为y=3x2一3x一2. 4 AF⊥BC于点F,AH⊥CE于 (2)2a+b=3,y=ax+bx+a-5=ax2+ 点H 22.解：(1)在R1△CDE中，DE=76厘米 (3-2a)x+a-5, 在Rt△ADH中，∠ADE ∠CED=60， 得y=[ax+(3-2a)x+a-3]-2=(ar-a+ 80.5. 3)(x-1)-2, AH AH CD=DE·m60=76×号=38/3（厘米）. :'tan∠ADH= ,DH= ∴.当x=1时，y--2, DH tan∠ADH 这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个 (2)设OD=OB=x厘米，在Rt△AOC中， 定点坐标为(1，一2). ∠BAC=30°，.0A-2OC,即150+x=2(x+ 在Rt△AHE中，∠AED=45°， (3)y=ax2+(3-2a)x+a-5, 38√3)，解得x=150-763≈18.5..水箱半径 .HE=AH. OD的长度约为18.5厘米. 2号 六对称轴为直线x=-3一2 2a 23.解：(1)设每个小矩形的长为x,宽为y,得17.解：(1)设拱桥所在抛物线的函数表达式为y= DE-9.8m,行AH十AH9,8,解得 x。<1,且m>n,