专项训练卷(二) 几何直观与空间观念-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版2012）

优密卷九年级上册数学·B t秒(0≤1<6)，连接DE,当△BDE是直角三角形时，t的值为( ) A.2 B.2.5或3.5 专项训练卷（二） 儿何直观与空间观念 C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5 二、填空题 7.(北京模拟)如图所示，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的 一、选择题 平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C,D,连接AC,AD.添加一个适当的条 1.如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是( 件：当 时，四边形ACBD为矩形 ⊙ B 弥 2.(西安新城区模拟)如图所示，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥ BC于点H,连接OH,若OA=4,OH的长为1.5，则S题AcD=(） 7项 第8题图 A.24 B.12 C.8 D.6 8.(保定月考)如图所示，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标 3.(承德丰宁期末)如图所示，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点 分别为(0,2)，(4,2)，则木杆AB在x轴上的影子CD长为 E,AP=32,则点P到直线AB的距离为() 9.(抚州期中)桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其主视图和俯视图如图所 A.2 B.2 C.3 D.4 示，则组成这个几何体的小正方体最多有 个，最少有 K 封 主视图 侧视图 第9题图 第10题图 第2题图 第3题图 第4题图 10.(上海满东新区期末)对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角 4.如图所示是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积 形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱 是() 形为该三角形的“最优覆盖菱形” 线 A.80-2π B.80+4π C.80 D.80+6π 问题：如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC=4,且△ABC的面积为m.如果△ABC存在 5.如图所示，△ABC是一个等腰直角三角形纸板，∠ABC=90°，在此三角形内部作一个正方 “最优覆盖菱形”为菱形BCMN,那么m的取值范围为 形DEFG,使DE在AC边上，点F,G分别在BC,AB边上.将一个飞镖随机投掷到这个 三、解答题 纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为() 11.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC, A b.3 C.g 4 D.9 ∠DCF=∠ACD. (1)求证：DF=CF (2)若∠CDF=60°，DF=6,求矩形ABCD的面积 第5题图 第6题图 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动 点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为 -39 12.在所给的方格图中画出如图所示（图中单位：cm)的几何体的主视图、左视图和俯视图，每15.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=9cm,CD=3√反cm,∠B=45°，点M,N分别 个小方格的边长为1cm 以A,C为起点，1cm/s的速度沿AD,CB边运动，设点M,N运动的时间为ts(0≤t≤9). (1)求BC边上高AE的长度. (2)连接AN,CM,当t为何值时，四边形AMCN为菱形？ (3)作MP⊥BC于点P,NQ⊥AD于点Q,当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？ 主视图 左视图 用图 13.(北京门头沟区期末)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且 AD AC AC AB 16.(南阳南召开学)[特例感知]如图①所示，在正方形ABCD中，点E,F分别为AB,AD的 (1)求证：△ACD∽△ABC. 中点，DE,CF交于点G (2)若AD=3,BD=2,求CD的长. (1)求证：DE⊥CF (2)[初步探究]如图②所示，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交 AD,BC于点F,G,垂足为O.求证：FG=DE. (3)[基本应用]如图③所示，将边长为8的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中 点M处，折痕为PQ,点P,Q分别在边AD,BC边上，求出折痕PQ的长. 内红方 14.(梅州兴宁期末)如图所示，在矩形ABCD中，AD=8,E为BC上一点，将△DCE沿DE 折叠，使得点C落在AB边上的点F处 (1)求证：△AFD∽△BEF (2)若△MD=4,求CD的长 S△aEF 40.D(1,6).如图①所示，过点D作DF⊥y轴于13.0<x<3或x<-2 依题意，得AN=10米，CN=4-1.6=2.4(米)，6.D7.O是AB的中点8.89.98 1 点F,∴.SAm=SAa8-Saaw-Saaw=2 14.解：(1)2(x-2)3=x1-4, MN-30米，∴.AM-AN+MN-40(米). 10.45≤m≤8解析：：△ABC的面积为m, 2(x-2)2-(x+2)(x-2)=0, .CN∥EM, 0A·0B-·0B·DF-0A·cG=× 1 (x-2)(2x-4-x-2)=0, “△ABC的BC边上的高为？，知图①所示，当 (x-2)(x-6)=0, △ACNn△AEM,器-即-0 高取最小值时，△ABC为等边三角形，点A与M 4X8-2×8X1-7×4×2-8 x-2=0或x-6=0, 解得EM=9.6米.：AB-MF=1.6米， 或N重合，过点A作AD⊥BC,垂足为D x1=2,xe=6. ∴.城楼的高度为9.6+1.6-1.7=9.5（米）. ,△ABC为等边三角形，BC=4,∴∠ABC=60°， (2)3x2+2x-2=0. 17,解：(1)过A作AD⊥BC于点D,:AB=AC= ∠BAD=30°，BD=2,.AD=√3BD=2√5， a=3,b=2,c=-2, 5,BC=8,点A(6,10),.BD=CD=2BC=4, △=22-4×3×(-2)=28>0. “2-2尽，即m=4尽.如图②所示，当高取最 z=-2±v28 ∠ADB=90°，.AD=3. 大值时，菱形为正方形，点A在MN的中点处， 6 BC∥x轴，ADLx轴， ① x1= -1+7 D(6,7),B(2,7),C(10,7). “g-4,m=8,4≤m<8 (3)存在.如图②所示，，D(1,6),,DE=1, 3 3 EO=6. 15.解：(1)，酚酞遇酸性和中性溶被不变色，遇碱性 若反比例函数y一冬（>0)的图象经过点B,则 :∠DEO-∠AOE-90°，.△DPE∽△AEO或 溶液变红色， 7=会解得=14， △PDEn△AEO.若△DPE∽△AEO,则 小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐 酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧 六反比例函数的表达式为y=4(x>0), ① 0E-6EP= EP.1 EP 9. OP-2 化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性） (2):点A(6,10),C10,7),将△ABC向下平11.解：(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴OC ∴点P(O,号)若△PDE△AEO, 变红， 移m个单位长度， 则器累 结果变红的新率是导-子一 A(6,10-m),C(10,7-m) AC.OD-BD,AC-BD,:0C-OD, .∠ACD=∠BDC.:∠CDF=∠BDC,∠DCF= (2)将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧 :A,C两点同时落在反比例函数y-冬(x>0) x ∠ACD,∴∠CDF=∠DCF,∴.DF=CF 日-碍Bp-号0p 化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（星碱性）分别 3 的图象上， (2)由(1)可知，DF=CF.:∠CDF=60, 记作A,B,C,D,列表如下： ∴点P(o,9 .△CDF是等边三角形，CD=DF=6. 小期 六k=6(10-m)=10(7-m),∴m=号. 小刚 A 0 ∠CDF=∠BDC=60°.OC=OD,∴.△OCD是等 综上所述，存在符合题意的点P,且点P的坐标 A (B,A) (C,A) (D,A) 专项训练卷（二）几何直观与空间观念 边三角形，∴.OC=OD=6,∴.BD=2OD=12. 为o,2)或(o》 B (A.B) (C.B) (D.B) 四边形ABCD是矩形，∠BCD=90°， 1.A2.B3.C4.B C A,C》 (B,C) 4D,》 5,C解析：，△ABC是一个等腰直角三角形， ∴.BC=√BD-CD=√/12-6=63， D (A,D)(B,D》(C,D) ∠ABC=90°，设AB=BC=x,.△ABC的面积 .S是mum=BC·CD=6w3×6=363. 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中1瓶 12,解：如图所示： 变红、1瓶不变色的有(A,C),(A,D),(B,C),(B, 为，AC-巨红.：四边形彩DEFG为正方形， D),(C,A),(C,B),(D,A),(D,B),共8种结果， ∠A=∠AGD=∠CFE=∠C=45", 1瓶变红，1惠不变色的概率为吕-号 AD-DG-DE-EC-EF-3AC- 3, 专项训练卷（一）运算能力、模型 16.解：如图所示，过点A作AM⊥EF于点M,交 主视图 左视图 等视图 观念与数据观念 CD于点N. 区的面软为（停）广一号飞在影 2 1.A2.C3.D4.C5.C6.A7.C8.C A解证明C怎∠A-八 4 .△ACD△ABC. 9.910.号1.4-x-312.1012） 区城的批单号 (2):△ACDn△ABC,∠ACD=∠B. 67 .∠ACB=90°，∴.∠A+∠B=90°， ∴.∠EAD=∠FDC=90°，AD=CD=AB=BC. 专项训练卷（三）数学文化与跨学科 27.8. ∴.∠A+∠ACD-90°，∠ADC-90°， 又：点E,F分别为AB,AD的中点， ,27.8一8-19.8>19，∴.经过适当安排，老师能 .∠ADC-∠BDC.又∠ACD=∠B,.△ACD ∴AE=7AB,DF-ZAD, 1.B2.A3.A4.B5.D6.B 在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道 △c0品品品罗m-6. ∴AE=DF, 728109V>0.610号1.812号 题目. 易错专项训练卷（一）特殊四边形 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 在△ADE与△DCF中， 13.解：，∠ABC和∠AQP均为直角，.BD∥PQ, 中的易错题常见类型 ∴.∠C=∠B=∠A=90.将△DCE沿DE折 (AE=DF. AB DB 叠，.∠DFE=∠C=90°，∴.∠AFD十∠BFE ∠EAD=∠FDC, .△ABDn△AQP,∴AQPQ 90',又∠AFD+∠ADF=90°，∴∠BFE= AD-DC. AB=40em=0.4m,BD=20cm=0.2m, 1.C2.C3.D4.(0,25)或(0，-25) ∠ADF.又∠A=∠B,△AFD△BEF, .△ADE≌△DCF(SAS). AQ=12 m, 5.(6,-8)或(16,8)或(-4,8)或(-了8) ,S△=4,BE (2):△AFDn△BEF,SAm AF ,∠GFD=∠AED. .PQ-AQXBD_12X0.2-6(m). AB 0.4 6.D7.C ∠AED+∠ADE=90°， AD DF 14.解：(1)B BF-FE2AF=2BE.AD -2BF. 89或59.6,3或(-3,2)或3，》 ,.∠GFD+∠ADE=90", (2)设OA的长为x尺， ∴.∠DGF=180°-（∠GFD+∠ADE)=90°， 10.C11.32或3 DF-2FE.AD-8,.BF-4,BC-8. :EC=BD=5尺，AC=1尺， 即DE⊥CF. 12.解：(1)如图所示，四边形PMNQ为矩形 EF=x,则CE=x,BE=8-x.在Rt△BEF中， .EA=EC-AC=5-1=4(尺). (2)证明：如图①所示，过点C作CH∥GF交AD 证明：：点A在直线AC:yc=一x十8上，当 BE+BF=EF,∴.(8-x)+4=x2,∴.x=5 在Rt△OEB中，OE=(x一4)尺，OB=x尺， 于点H,交DE于点N. y=0时，x=8,.A(8,0).设点M的运动时间 .CE-EF-5,.CD=DF-10. EB=10尺， ,CHGF,AD∥BC, 为m秒，则OM=m,AN-3m,.M(m,0), 15.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB= 由勾股定理，得10十(x一4)2=x2, ,四边形CHFG是平行四边形， N(8-3m,0).:PM⊥x轴，QN⊥x轴， CD-32cm,在Rt△ABE中，，∠AEB=90°， .FG=CH. 解得工-14.5. .∠PMA=∠QNA=90°，∴.PM∥QN.点P ∠B=45°，设AE=x,则BE=x,x2十x2 ,CHGF,FG⊥DE, 答：OA的长为14.5尺. 在直线OC:ym=3x上，点Q在直线AC: (3√2)2，解得x-3,AE-3cm ∴CH⊥DE, 15.解：(1)当0≤x<10时，设线段AB所在的直线 yac=-x十8上， (2)点M,N分别以A,C为起点，1cm/s的速 的表达式为y1=1x十20(k1≠0)，把B(10,40) .∠NHD+∠NDH=gO=∠NHD+∠DCH, .P(m,3m),Q(8-3m,3m),.PM=QN,∴.四 度沿AD,CB边运动，设点M,N运动的时间为t 代人，得k1=2,.y1=2x十20 ∴.∠NDH=∠DCH. 边形PMNQ为平行四边形.：∠PMA=90°， s(0≤t≤9)，AM=CN=t.AM∥CN,.四 .AD=CD,∠DAE=∠CDH=90 当10≤x<25时，y2=40. ∴.平行四边形PMNQ为矩形. 边形AMCN为平行四边形，∴，当AN=AM时， ∴.△ADE2△DCH(ASA), 当x≥25时，设C,D所在双曲线的表达式为 四边形AMCN为菱形.，BE=AE=3,,EN .DE-CH-FG. y与=(，≠0)，把C(25,40)代人得，=100. 6-t,.AN2=3+(6-t)2,.32+(6-t)=t2, 解得：-5故当：为只：时，因边形AMCN为 y1=1000 ,y与x之间的函数关系式为 菱形 2x+20(0≤x<10). (2):四边形PMNQ是正方形，∴.MN=QN,即 (3):MP⊥BC于点P,NQ⊥AD于点Q 40(10≤x<25), y 8-4m=3m,解得m=号成8，当点M运 QM∥NP,.四边形MPNQ为矩形，.当QM= (3)如图②所示，连接AM,由折叠可知PQ LAM. 1000(x≥25) QN时，四边形MPNQ为正方形.，AM-CN-t 由(2)可知AM=PQ, 动三秒或8秒时，四边形PMNQ是正方形。 (2)当x=5时，y1=2×5+20=30,当x=30时 BE=3...AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-= ,M是CD的中点， 易错专项训练卷（二）一元二次方程 6-t,.QM=AM-AQ=t-(6-t)|=|2-6 DM-TCD-4. -10010 303 y1<y1, 中的易错题常见类型 (注：分点Q在点M的左右两种情况)，，QN ,第30分钟学生的注意力更集中 AE=3,∴.121-6|=3，解得t=4.5或t=1.5. 在Rt△ADM中，由勾股定理，得AM= (3)能.理由如下：令y1-36,36-2z+20,1.B2.C3.2 故当t为4.5或1,5时，四边形MPNQ为正方形 JAD+DM=√16+64=4W5, 4.解：(1)将x=1代人原方程得m一4+1=0，解 16.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， PQ的长为45. 江-8：令-36，则36-100，x-10 36 得m=3,∴m的值为3.