第二十七章相似 第13讲 相似三角形基础班讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

第13讲 相似三角形 知识点1相似三角形的判定 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似. （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.  直角三角形相似判定定理 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似. 【典例】 1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似． 2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点． 求证：△ABC∽△DEF． 4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过 P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【方法总结】 （1） 在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口： ①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明） （3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似. 【随堂练习】 1．如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG，GE，AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG的面积为_____． 2．如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F，连接CQ．求证： （Ⅰ）CQ=AP； （Ⅱ）△APB∽△CEP． 知识点2 相似三角形的性质 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例】 1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1． （1）求BD的长； （2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积． 【方法总结】 1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． 2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． 3两个三角形形状一样，但大小不一定一样． 4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 2．两个三角形相似，相似比是，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是___　． 　 3．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=　____． 知识点3相似三角形的综合应用 【典例】 1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度． 2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度． 3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？ （3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示） 【方法总结】 相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D． （1）求∠BDF的大小； （2）求CG的长． 综合运用：相似三角形 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F． （1）求证：DF是BF和CF的比例中项； （2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF． 2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长． 3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD． 4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是　 　，说明理由； （Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？ 5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形． （1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由． （2）求∠1+∠2的度数． 6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： △ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长． 小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： △ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 相似三角形 知识点1相似三角形的判定 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似. （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.  直角三角形相似判定定理 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似. 【典例】 1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似． 【答案】4 【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2， ∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2， ∵△ACB与△ADC相似， ∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2， ∴AB==4， 即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似； 故答案为：4． 2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB， ∵OM=AB=×4=2， ∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB． 3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点． 求证：△ABC∽△DEF． 【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点， ∴DE= AB，EF= BC，DF= AC， 即 = = ， ∴△ABC∽△DEF 4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过 P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB． ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE． （2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即x=2． 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵AE=， ∴EF=AE=． ∵，即， ∴PE=5，即x=5． ∴满足条件的x的值为2或5． 【方法总结】 （1） 在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口： ①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明） （3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似. 【随堂练习】 1．如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG，GE，AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG的面积为_____． 【解答】解：连接AC，如图， ∵四边形ABCD和CEFG都是菱形， 而∠F=60°， ∴△GEF、△GCE、△ACD都是等边三角形， ∴∠ACD=60°，∠CGE=60°，GE=EF=4， ∴∠ACG=∠CGE， ∴AC∥GE， ∴S△AGE=S△CGE=×42=4． 故答案为4． 2．如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F，连接CQ．求证： （Ⅰ）CQ=AP； （Ⅱ）△APB∽△CEP． 【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ， ∴BP=BQ，∠PBQ=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90°． ∴∠ABC=∠PBQ． ∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ． 在△BAP和△BCQ中， ∵， ∴△BAP≌△BCQ（SAS）． ∴CQ=AP； （Ⅱ）如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°， ∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°， ∵△PBQ是等腰直角三角形， ∴∠BPQ=45°， ∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°， ∴∠CPQ=∠ABP， ∵∠BAC=∠ACB=45°， ∴△APB∽△CEP． 知识点2 相似三角形的性质 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例】 1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数． 【解析】解：∵OA=2，AD=9， ∴OD=9﹣2=7， ∵AB∥CD， ∵△AOB∽△DOC， ∴==， ∵OA=2，OB=5，DC=12， ∴==， 解得OC=，AB=， ∵△AOB∽△DOC， ∴∠D=∠A=58°． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1． （1）求BD的长； （2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积． 【答案】 【解析】解（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD， ∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△MND∽△CNB， ∴=， ∵M为AD中点， ∴MD=AD=BC，即=， ∴=，即BN=2DN， 设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1， ∴x+1=2（x﹣1）， 解得：x=3， ∴BD=2x=6； （2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2， ∴MN：CN=1：2， ∵△DCN的面积为2， ∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比） 【方法总结】 1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． 2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． 3两个三角形形状一样，但大小不一定一样． 4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【解答】解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N， 若△AMN∽△ACB，则∠AMN=∠C=40°， 又∵直线l平行于BC， ∴∠ADE=∠B=80°， ∴∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°， 即直线l旋转前后的夹角为40°， ∴旋转角为40°， 故选：B． 2．两个三角形相似，相似比是，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是___　． 【解答】解：∵两个三角形相似，相似比是， ∴两个三角形的面积比是， ∵小三角形的面积是9， ∴大三角形的面积是36， 故答案为：36． 　 3．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=　____． 【解答】解：∵△ADE∽△ACB， ∴=，即=， 解得，BD=4， 故答案为：4． 知识点3相似三角形的综合应用 【典例】 1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度． 【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF， ∴CD∥AB， ∴△CDF∽△ABF， ∴=， 同理可得=， ∴=， ∴=， ∴=， 解得AB=5.1． 答：路灯杆AB高5.1m． 2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度． 【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP， ∴△ABP∽△CDP， ∴=，得=， 解得：CD=16， ∴该古城墙CD的高度为16米． 3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？ （3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示） 【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm， ∵AD∥A′D′， ∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′． ∴△PAD∽△PA′D′． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， ∴=， 解得x=180． （2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm， 同理可得∴=， 解得y=12cm； （3）记灯泡为点P，如图： ∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′． ∴△PAD∽△PA′D′． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 （直接得出三角形相似或比例线段均对） 设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b， ∴=1﹣ =1﹣ x= 【方法总结】 相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长． 【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，AD===12， ∵•AD•BD=•AB•DE， ∴DE=． 　 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D． （1）求∠BDF的大小； （2）求CG的长． 【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB=90°，AD=AB=10， ∴∠ABD=45°， ∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF， ∴∠BDF=∠ABD=45°； （2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°， ∵∠DAB=90°， ∴∠ADE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ADE=∠ACB， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AC=8，AB=AD=10， ∴AE=12.5， 由平移的性质得，CG=AE=12.5． 综合运用：相似三角形 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F． （1）求证：DF是BF和CF的比例中项； （2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF． 【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°． ∵E是AC的中点， ∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A， ∴∠BCD=∠ADE． 又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB． ∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB， ∴DF2=BF•CF． （2）∵AE•AC=AG•AD， ∴=． ∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC， ∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD， ∴=． 由（1）知：△CFD∽△DFB， ∴=， ∴=， ∴EG•CF=ED•DF． 2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长． 【解析】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C， ∴△AEH∽△ABC． 如图，设AD与EH交于点M． ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm， ∵△AEH∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴x=， ∴正方形EFGH的边长为cm． 3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD． 【解析】证明：∵AC⊥BE， ∴∠AFB=∠AFE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE=90°， 又∵∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA， ∴=， ∵点E是AD的中点， ∴AE=ED， ∴=， 又∵∠FED=∠DEB， ∴△DEF∽△BED． 4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是　 　，说明理由； （Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？ 【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 故答案为：△AEF； （Ⅱ）设EG=EF=x ∵△AEF∽△ABC ∴=， ∴=， ∴x=48， ∴正方形零件的边长为48mm． 5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形． （1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由． （2）求∠1+∠2的度数． 【解析】解：（1）相似． 理由：设正方形的边长为a， AC==a， ∵==，==， ∴=， ∵∠ACF=∠ACF， ∴△ACF∽△GCA； （2）∵△ACF∽△GCA， ∴∠1=∠CAF， ∵∠CAF+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°． 6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： △ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长． 小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： △ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系． 【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H， ∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C， ∴△FEH∽△FDC， ∴， ∵DE=EF， ∴， ∵BD=DC， ∴， 同理得：△AEH∽△ABC， ∴， ∵AB=5， ∴AE=； 【解决问题】 猜想：=，理由是： 如图2，过D作DM∥GH，交AC于M， ∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG， ∴△CDM∽△CHG， ∴， 设DH=CQ=x，则DQ=mx， ∴==， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAP=∠DAM， ∵∠EFG+∠EAD=180°， ∴∠AEP+∠ANF=180°， ∵GH∥DM， ∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°， ∴∠ADM=∠AFP， ∵AE=AD， ∴△AEP≌△ADM， ∴EP=DM， ∴=． 学科网（北京）股份有限公司 $