专题19 尺规作图专题复习讲义 2025年中考数学一轮复习

专题19 尺规作图的核心知识点精讲 考点1、尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。 2．步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。 考点2、五种基本作图 1.作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。 2.作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。 3.作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。 4.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 5.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 6.作线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。 考点3、基本作图的应用 1.利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。 2.与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点)。 （2）作三角形的内切圆的圆心（圆心为三角形角平分线的交点，该交点到三角形三边的距离相等）。 题型：尺规作图 例1.尺规作图之旅：尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．在数学中，我们能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形． （1）如图1，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍（不写作法，保留作图痕迹）． （2）尺规作图：如图2，过点A作直线l的平行线AB（不写作法，保留作图痕迹）．直线l与直线AB平行的理论依据是　同位角相等，两直线平行　 ． 解：（1）如图所示：所作∠EDF＝2∠AOB； （2）如图所示：所作直线AB即为所求， 两直线平行的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 例2.如图，已知△ABC，点D为BC的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作∠ACD的角平分线CE． （2）在（1）的条件下，若∠A＝55°，CE恰好与AB平行，求∠B的度数． 解：（1）如图，射线CE即为所求； （2）∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠A＝55°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝55°， ∴∠B＝∠ECD＝55°． 例3.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若AB＝6，△ABC的周长是17，F为直线DE上一动点，求△ACF周长的最小值． 解：（1）图形如图所示； （2）当点F与E重合时，△ACF的周长最小，最小值＝AE+AC+EC＝EB+EC+AC＝AC+BC， ∵AB＝6，△ABC的周长是17， ∴AC+BC＝11，∴△ACF的周长的最小值为11． 例4.尺规作图： ①作三角形的外接圆； ②作三角形的内切圆． 解：①如图所示：⊙O即为所求； ②如图所示：⊙E即为所求． 跟踪训练： 1.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知∠ACB， 求作：∠MON，使∠MON＝∠ACB，作一个角等于已知角的依据是SSS ． 解：∠MON即为所求作； 由作图可得：作一个角等于已知角的依据是：SSS． 故答案为：SSS． 2.如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE． （1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若CD＝AD，求证：四边形ABCD是菱形． （1）解：如图，AD即为所求作的∠CAE的平分线； （2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠CAE＝∠B+∠ACB，∴∠CAD+∠EAD＝∠B+ACB， ∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC， ∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形． 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE＝EC． （1）解：如图，DE为所作； （2）证明：连接BE，如图，∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，ED⊥AB， ∴∠EBD＝∠A＝30°， ∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴BE平分∠ABC，∴ED＝EC． 4.作图题： （1）用尺规作出左边三角形的外接圆（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）用尺规作出右边三角形的内切圆（不写作法，但要保留作图痕迹）； （3）在下边两图的右边空白处作一个半径是1.5厘米的正六边形． 解：（1）如图，⊙O1即为所求； （2）如图，⊙O2即为所求； （3）如图，正六边形ABCDEF即为所求． 专题练习-基础过关 1.下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； （3）画射线OC．射线OC即为所求． 上述方法通过判定△MOC≌△NOC得到∠AOC＝∠BOC．其中判定△MOC≌△NOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 解：由作法可知，OM＝ON，CM＝CN， 又∵OC＝OC，∴△MOC≌△NOC（SSS）， 故判定△MOC≌△NOC的依据是SSS，故选：A． 2.如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 解：根据作图可知，DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝38°， 由条件可知∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°， ∴∠EAF＝∠BAF﹣∠EAF＝14°，故选：C． 3.如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下． 第一步：以为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP，射线BP即为所求． 上述方法通过判定△BDP≌△BEP，得到∠DBP＝∠EBP，其中判定△BDP≌△BEP的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 解：如图，连接PD，PE． 在△PDB和△PEB中，， ∴△PDB≌△PEB（SSS）．∴∠PBD＝∠PBE，即BP平分ABC．故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P， Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为 （　　） A．50° B．58° C．60° D．64° 解：根据作图可得PQ是BC的垂直平分线， ∴EB＝EC， ∴∠C＝∠EBD＝32°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，故选：B． 5.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于 点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长 为13cm，则△ABD的周长是（　　） A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm 解：由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE＝3，DA＝DC， ∵△ABC的周长为13cm，即AB+BC+AC＝13， ∴AB+BD+DA+6＝13， 即AB+BD+DA＝7， ∴△ABD的周长为7cm． 故选：A． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半 径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 解：设MN与AC的交点为O， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8， ∴△ADC为直角三角形， ∵CD＝6，AD＝8， ∴， . 又由作图知MN为AC的垂直平分线， ∴∠MOA＝90°，， 在Rt△AOE中，， ∵cos∠CAD＝cos∠EAO， ∴， ∴． 故选：D． 7.如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． （1）解：如图，直线MN即为所求； （2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形． 8.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD＝AC，CE⊥AB． （1）作∠CAB的角平分线，交CE于点F，连接DF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：FD∥CB．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF， 在△ACF和△ADF中， ， ∴△ACF≌△ADF（②SAS ）， ∴∠ACF＝③　∠ADF ， 又∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACF+∠CAB＝90°， ∴∠B＝④　∠ACF ， ∴∠B＝∠ADF， ∴FD∥CB（⑤　同位角相等，两直线平行　 ）． 【解答】（1）解：如图，AF即为所求作； （2）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF， 在△ACF和△ADF中， ， ∴△ACF≌△ADF（②SAS）， ∴∠ACF＝∠ADF③， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACF+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACF④， ∴∠B＝∠ADF； ∴FD∥CB（⑤同位角相等，两直线平行）， 故答案为：AC＝AD；SAS；∠ADF；∠ACF；同位角相等，两直线平行． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE． （1）由作图可知，直线MN是线段AB的 　垂直平分线　； （2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长； （3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数． 解：（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （3）解：由（2）可知：△ACE 的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC， 在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝6， ∴△ACE 的周长＝AC+BC＝3+6＝9； （3）∵∠C＝90°，∠CAE＝15°， ∴∠CEA＝90°﹣15°＝75°， ∵EA＝EB， ∴∠B＝∠EAB， ∵∠CEA＝∠B+∠EAB， ∴∠B＝∠CEA＝37.5°． 10.如图，在等边三角形ABC中． （1）请用尺规作图画出三角形的外接圆⊙O（保留作图痕迹）； （2）若AB＝6，求⊙O的半径r． 解：（1）如图，⊙O为所作； （2）如图，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D点，CE⊥AB于E点， ∴AE＝BEAB＝3，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠OAE＝30°， 在Rt△AOE中，∵∠OAE＝30°，∴OEAE，∴OA＝2OE＝2， 即⊙O的半径r为2． 11.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，请按要求作答： （1）请用尺规作AB边的垂直平分线交AB于D，交BC于点E；（保留痕迹，不写作法） （2）若DE＝3，求线段CE，BC的长． 解：（1）图形如图所示： （2）连接AE． ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE垂直平分线段AB， ∴EA＝EB， ∴∠B＝∠EAB＝30°， ∴∠CAE＝120°﹣30°＝90°， ∵∠BDE＝90°，DE＝3， ∴BE＝AE＝2DE＝6， ∴EC＝2AE＝12， ∴BC＝BE+EC＝6+12＝18． 12.如图，A，B是两个村庄，CD是一条暗河露出地面的部分．两村村民想要建一个蓄水池，使它到A，B两个村庄的距离相等，并且到暗河两端C，D的距离也相等．请帮助他们找到符合这个要求的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：利用尺规作图法分别作出AB和CD的垂直平分线，其交点即为所求蓄水池位置，如图，点P为蓄水池的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 尺规作图的核心知识点精讲 考点1、尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。 2．步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。 考点2、五种基本作图 1.作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。 2.作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。 3.作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。 4.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 5.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 6.作线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。 考点3、基本作图的应用 1.利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。 2.与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点)。 （2）作三角形的内切圆的圆心（圆心为三角形角平分线的交点，该交点到三角形三边的距离相等）。 题型：尺规作图 例1.尺规作图之旅：尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．在数学中，我们能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形． （1）如图1，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍（不写作法，保留作图痕迹）． （2）尺规作图：如图2，过点A作直线l的平行线AB（不写作法，保留作图痕迹）．直线l与直线AB平行的理论依据是　 　． 例2.如图，已知△ABC，点D为BC的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作∠ACD的角平分线CE． （2）在（1）的条件下，若∠A＝55°，CE恰好与AB平行，求∠B的度数． 例3.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若AB＝6，△ABC的周长是17，F为直线DE上一动点，求△ACF周长的最小值． 例4.尺规作图： ①作第一个三角形的外接圆； ②作第二个三角形的内切圆． 跟踪训练： 1.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知∠ACB， 求作：∠MON，使∠MON＝∠ACB，作一个角等于已知角的依据是 ． 2.如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE． （1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若CD＝AD，求证：四边形ABCD是菱形． 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE＝EC． 4.作图题： （1）用尺规作出左边三角形的外接圆（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）用尺规作出右边三角形的内切圆（不写作法，但要保留作图痕迹）； （3）在下边两图的右边空白处作一个半径是1.5厘米的正六边形． 专题练习-基础过关 1.如图，下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N； （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； （3）画射线OC．射线OC即为所求． 上述方法通过判定△MOC≌△NOC得到∠AOC＝∠BOC．其中判定△MOC≌△NOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 3.如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下． 第一步：以为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP，射线BP即为所求． 上述方法通过判定△BDP≌△BEP，得到∠DBP＝∠EBP，其中判定△BDP≌△BEP的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 4.如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P， Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为 （　　） A．50° B．58° C．60° D．64° 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于 点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长 为13cm，则△ABD的周长是（　　） A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半 径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 7.如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 8.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD＝AC，CE⊥AB． （1）作∠CAB的角平分线，交CE于点F，连接DF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：FD∥CB．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF， 在△ACF和△ADF中， ， ∴△ACF≌△ADF（② ）， ∴∠ACF＝③ ， 又∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACF+∠CAB＝90°， ∴∠B＝④ ， ∴∠B＝∠ADF， ∴FD∥CB（⑤ ）． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE． （1）由作图可知，直线MN是线段AB的　 　； （2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长； （3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数． 10.如图，在等边三角形ABC中． （1）请用尺规作图画出三角形的外接圆⊙O（保留作图痕迹）； （2）若AB＝6，求⊙O的半径r． 11.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，请按要求作答： （1）请用尺规作AB边的垂直平分线交AB于D，交BC于点E；（保留痕迹，不写作法） （2）若DE＝3，求线段CE，BC的长． 12.如图，A，B是两个村庄，CD是一条暗河露出地面的部分．两村村民想要建一个蓄水池，使它到A，B两个村庄的距离相等，并且到暗河两端C，D的距离也相等．请帮助他们找到符合这个要求的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $