专题二十三 相似三角形实际应用 测高 2026年中考一轮复习讲义

该初中数学讲义聚焦“相似三角形实际应用（测高）”中考核心专题，涵盖小孔成像、标杆测高、平行光线测高等六个题型，以“题型分类-例题精讲-变式训练-课后巩固”架构梳理知识联系。通过考点梳理明确相似判定与性质应用，结合真题讲解突破辅助线构造等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于情境化真题训练与分层突破策略，如“平面镜测高”中利用光的反射定律构建相似模型，培养推理能力与几何直观。课后练习分基础与提升层，配合5分钟限时测试，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

专题二十三 相似三角形实际应用（测高） 【题型一】小孔成像 【例1】（2025•深圳模拟）如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【分析】根据题意知：△AOC∽△BOD，进而利用“相似三角形对应边上的高线之比等于相似比”求得相似比，由“相似三角形对应边成比例”求得答案． 【解答】解：根据题意知，△AOC∽△BOD． ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2． ∴相似比为1：2． ∴AC：BD＝1：2． ∴BD＝2AC＝8cm． 即实像DB的高是8cm． 故选：C． 【变式1】（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【题型二】利用相似性质测高 【例1】（2025•西城区校级三模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝6m，则树高AB是 　4.5　 m． 【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即， 解得：BC＝3m， ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+3＝4.5（m）， 即树高4.5m． 故答案为：4.5． 【变式1】（2025•灞桥区四模）周末，李老师组织同学们来到湿地公园开展综合实践活动．如图，他们发现公园一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们想测量围墙AB的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得OF＝3m；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得OE＝1m．此外，还测得窗高CD＝1.2m，窗户距地面的高度OD＝1.2m，AB⊥BF，DO⊥BF．求围墙AB的高． 【分析】根据题意可得：AB⊥BF，DO⊥BF，从而可得∠ABF＝∠DOF＝90°，然后证明A字模型△DEO∽△AEB，△CFO∽△AFB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF， ∴∠ABF＝∠DOF＝90°， ∵∠DEO＝∠AEB， ∴△DEO∽△AEB， ∴， ∴， ∴AB＝1.2（1+OB）， ∵∠CFO＝∠AFB， ∴△CFO∽△AFB， ∴， ∴， ∴AB＝0.8（3+OB）， ∴1.2（1+OB）＝0.8（3+OB）， 解得：OB＝3， ∴AB＝4.8米， ∴围墙AB的高为4.8米． 【变式2】（2025•潮阳区三模）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝200米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长． 【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC． ∴AF∥EG， ∴△ACF∽△ECG， ∴， 即， 解得AF＝90． 答：桥AF的长度为90米． 【变式3】（2025•浦东新区校级模拟）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的长，加上EF，即可求得树高DE； （2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB， ∴△DFA∽△BCA， ∴， 在Rt△ABC中， ∵AB＝0.5m，BC＝0.3m， 由勾股定理得AC0.4（m）， ∵AF＝16m， ∴， ∴DF＝12（m）， ∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m）， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′， ∴△D′FB′∽△A′C′B′， ∴， ∴， ∴B′F＝9（m）， ∴16﹣9＝7（m）， 答：小丽向前移动了7米． 【题型三】利用标杆测高 【例1】（2025•镇平县模拟）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑AB高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离227m处立一高度为2.4m的标杆CD，后退3m在点F处望见E、C、A三点共线，EF＝1.6m，则AB高度约为（　　） A．61.3m B．62.9m C．60.5m D．62.1m 【分析】过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形，得MN＝BD＝227m，EM＝DF＝3m，BN＝MD＝EF＝1.6m，即得CM＝CD﹣MD＝0.8m，进而由△ECM∽△EAN得，代入计算求出AN即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形， ∴MN＝BD＝227m，EM＝DF＝3m，BN＝MD＝EF＝1.6m， ∴CM＝CD﹣MD＝2.4﹣1.6＝0.8m， ∵CM∥AN， ∴△ECM∽△EAN， ∴， ∵CD＝2.4m，BD＝227m，DF＝3m，EF＝1.6m， ∴， ∴AN， ∴AB＝AN+NB1.6≈62.9（m）． 即AB的高度约为62.9m． 故选：B． 【变式1】（2025•道外区三模）如图，利用与水平地面垂直的标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为（　　）m． A．10.5 B．9.5 C．12 D．14 【分析】判定△AEB∽△ADC，推出AB：AC＝EB：DC，求出AC＝16m，即可求出楼高CD为12m． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△AEB∽△ADC， ∴AB：AC＝EB：DC， ∵AB＝2m，BC＝14m， ∴AC＝AB+BC＝16（m）， ∴2：16＝1.5：CD， ∴楼高CD为12m． 故选：C． 【变式2】（2025•黄冈校级模拟）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 【分析】（1）根据题意证明△CDQ∽△ABQ，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设BD＝xm，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m，证明△EFP∽△ABP，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明△CDQ∽△ABQ，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，CD＝2m，QD＝3m，QB＝63m， ∴CD⊥PB， ∵AB⊥PB， ∴∠CDQ＝∠B＝90°， ∵∠CQD＝∠AQB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， 解得：AB＝42m， 答：飞虹塔AB的高度是42米； （2）设BD＝xm，依据题意得：QB＝（3+x）m，PB＝（26+x）m， ∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝CD＝2m，PF＝4m， ∴， ∴， ∵△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， 解得：x＝66， 经检验：x＝66是原方程的解， ∴AB＝46m， 答：飞虹塔的大致高度为46m． 【变式3】（2025•花都区二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，则旗杆MN的高度为　12　 米； （2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2米．请求出电线杆AB的高度． 【分析】（1）在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答； （2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得，， ∴， ∴MN＝12， 答：旗杆MN的高度为12米； 故答案为：12； （2）设OB＝m米，AB＝n米， 由题意得，△OCE∽△BAE，△ODF∽△BAF， ∴，， ∴，， 解得AB＝10， 答：电线杆AB的高度为10米． 【题型四】利用平行光线测高 【例1】（2025•路南区校级三模）如图，在大树AB的右侧有三个台阶T1～T3，每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m．某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE＝0.45m，此时树梢顶点A的影子落在台阶T2上（包含两个端点）．已知大树AB的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则大树AB的高度可能是（　　） A．3m B．3.5m C．3.8m D．4.2m 【分析】作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可． 【解答】解：作T2R⊥BE，T2S⊥AB，则四边形BRT2S是矩形， ∴BS＝T2R＝0.2×2＝0.4（m），PD＝0.2×3＝0.6（m），RC＝0.4（m）， ∴ST2＝BR＝BC+RC＝1.9+0.4＝2.3（m）， 由题意得△AST2∽△PDE， ∴，即， ∴AS≈3.07（m）， ∴AB＝AS+BS＝3.07+0.4＝3.47≈3.5（m）， 故选：B． 【变式1】（2025•松北区二模）如图，身高1.8米的小宇站在塔高为22.5米的防洪纪念塔附近，他的影长是0.6米，若同一时刻，物体高度与其影长的比值相等，求此时防洪纪念塔的影长是（　　）米． A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例． ∴， ∴， 解得BD＝7.5， 答：防洪纪念塔的影长是7.5米． 故选：C． 【变式2】（2025•湖南模拟）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8米，EF＝2米．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3米，则AB＝ 　12　 米． 【分析】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，易证△ABC∽△DEF，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【解答】解：∵同一时刻太阳光为平行光，B，C，E，F在同一直线上， ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3，BC＝8，EF＝2， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∴， ∴AB＝12米 故答案为：12． 【变式3】（2025•洮南市模拟）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为　38　 米． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设祈年殿DE的高度为x米， 则可列比例为， 解得x＝38． 所以祈年殿DE的高度为38米． 故答案为38． 【题型五】利用平面镜测高 【例1】（2025•深圳一模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度AG＝BD＝4.5cm，FG＝5cm，FH＝12cm，HD＝9cm，已知点C，F，G，H、D在同一水平线上，且AG，BD，EC均与CD垂直，则EC的长度为（　　） A．9cm B．12cm C．13.5cm D．15cm 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：由题意得ECF＝∠AGF＝∠BDH＝90°，∠EFC＝∠AFG，∠EHC＝∠BHD， ∴△EFC∽△AFG，△EHC∽△BHD， ∴，， ∴，， ∴CE＝13.5， 答：EC的长度为13.5cm， 故选：C． 【例2】（2025•雁塔区校级模拟）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像AB的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，DF为11米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像AB的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 【分析】由△ACB∽△ECD求出，再由△ABH∽△GFH求出AB＝21.5，即可求解． 【解答】解：∵AB⊥BH，ED⊥BH， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴△ACB∽△ECD， ∴，即， ∴． ∵AB⊥BH，FG⊥BH， ∴∠ABH＝∠GFH＝90°， ∵∠AHB＝∠GHF， ∴△ABH∽△GFH， ，即， ∴AB＝21.5， 答：该雕像AB的高度为21.5米． 【变式1】（2025•西山区校级模拟）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（　　） A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m 【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.5m，BC＝2m，CD＝12m， 根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴△ACB∽△ECD， ∴，即， ∴ED＝9， 答：旗杆高度为9米， 故选：C． 【变式2】（2025•祁阳市校级一模）如图，小明发现教学楼的铭牌上写着“楼高18m”．他站上一节台阶，正好通过地面的水渍看到了教学楼的顶端．已知小明身高1.65m，水渍距离教学楼2.25m，距离小明0.25m，则这节台阶的高为 　0.35　 m． 【分析】根据垂直的定义得到∠AM＝∠CDM＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E， ∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEM＝∠CDM＝90°， ∵∠AME＝∠CMD， ∴△AEM∽△CDM， ∴， ∴， ∴BN＝0.35（m）， 故答案为：0.35． 【题型六】非平行光线测高 【例1】（2025•渝中区校级模拟）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2：5，且三角尺的面积为4cm2，则投影三角形的面积为（　　） A．10cm2 B．25cm2 C． D． 【分析】根据对应边的比为2：5，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为2：5，对应边的比为2：5，则面积比为4：25，即可得出投影三角形的面积． 【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的面积为4cm2， ∴投影三角形的面积为25cm2． 故选：B． 【变式1】（2025•大连一模）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为 　3　 米． 【分析】标注字母，根据常识，桌面与地面是平行的，然后判断出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出地面阴影部分的直径，再根据圆的面积公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：构造几何模型如图： 依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米， 由△DAE∽△BAC得，即， 解得AF＝3， 答：灯泡距离桌面3米． 故答案为：3． 【变式2】（2025•临漳县校级二模）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD，桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝40cm，PA＝20cm，AB＝20cm，桌面的高度为80cm． （1）图中CD的长度为　40　 cm． （2）在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，则CD的最大值为　　 cm． 【分析】（1）设AB平移到AP，AP在地面上形成的影子为CF．利用平行相似即可； （2）先证明△GHA∽△GPO，再利用勾股定理求出AG，由，即可求出CD的长度的最大值． 【解答】解：（1）设AB平移到PA，PA在地面上形成的影子为CF． ∵AB∥CD， ∴，，， ∴， ∵PA＝AB， ∴CF＝CD， 又△OEA∽△OFC， ∴， ∴FC40． ∴CD＝40cm． 故答案为：40． （2）以A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ． 此时AB所在位置为AH． ②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°， ∴△GHA∽△GPO， ∴， ∴设GA＝x，则GO＝2x， 在Rt△OPG中， OP2+PG2＝OG2， ∴402+（20+x）2＝（2x）2， ∴x1，x2＝﹣20（舍去）， ∴AG， 由（1）同理得出， ∴， ∴CQ， 即CD的长度的最大值为cm． 故答案为：． 【课后练习】 1．（2025•罗湖区校级模拟）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AC＝3.2米，AE＝0.8米，那么CD为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【解答】解：由题意得：AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， 解得CD＝6， 经检验，CD＝6是原方程的解， 故选：D． 2．（2025•湖南模拟）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为h0），EG称为“表距”（记为d），EH和GC都称为“表目距”（分别记为m1，m2），则海岛AB的高为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据AB∥DE∥FG，可得△ABH∽△EDH，△CFG∽△CBA，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到（CG﹣EH）•AE＝EH•EG，进而得到，再由AH＝AE+EH，可得，即可求解． 【解答】解：∵DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， ∴AB∥DE∥FG， ∴△ABH∽△EDH，△CFG∽△CBA， ∴， ∵DE＝FG＝h0， ∴， ∴， ∴（CG﹣EH）•AE＝EH•EG， ∴， ∵AH＝AE+EH， ∴ ， ∵EG＝d，DE＝h0，EH＝m1，CG＝m2， ∴． 故选：A． 3．（2025•榕城区一模）高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是（　　） A．3m B． C．12m D． 【分析】设该建筑物的高度为xm，然后根据同一时刻物高与影长成正比可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设该建筑物的高度为xm， 由题意得： ， 解得：x， 即该建筑物的高度为m， 故选：B． 4．（2025•河北模拟）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【分析】根据△ABE∽△CDE求解即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：BE＝BD﹣DE＝10，∠AEB＝∠CED，DE＝2，CD＝1.6， ∵∠EDC＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 即塔高AB为8米， 故选：D． 5．（2025•东莞市校级模拟）有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长1.5米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为0.3米，这棵大树的高度为（　　） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 【分析】根据同一时刻，物长与其影长的比值相同建立方程求解即可． 【解答】解：设这棵大数的高度为x米， 由题意得，， 解得x＝20， 故选：B． 6．（2025•滕州市校级模拟）如图，身高1.7m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为　8.5　 m． 【分析】设树的高度为xm，由题意得，据此即可求解． 【解答】解：设树的高度为xm， 由题意得：， ∵BC＝4m，CA＝1m， ∴， 解得：x＝8.5， ∴树的高度为8.5m， 故答案为：8.5． 7．（2025•广州模拟）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6m，同时测得BC＝2.4m，CE＝9.6m，则教学楼高度DE＝　6.4　 m． 【分析】根据题意得出△ABC∽△DEC，得出比例式求出DE的值即可． 【解答】解：由题意可知，AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， 解得DE＝6.4， 则教学楼高度DE＝6.4m， 故答案为：6.4． 8．（2025•罗湖区校级模拟）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时两叶片的影子在水平地面成线段CD，测得MC＝60m，CD＝90m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O、M之间的距离等于 　70　 m． 【分析】过点O作OH∥AC交CD于H，根据平行线分线段成比例得出点H是CD的中点，得出MH＝15m，再由正切函数求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OH∥AC交CD于H， 由题意可知，点O是AB的中点，AC⊥AB，BD⊥AB， ∴OH∥AC∥BD， ∴1， ∴点H是CD的中点， ∵CD＝90m， ∴CH＝HDCD＝45m， ∴MH＝MC+CH＝60+45＝105（m）， 又∵∠OHM＝∠BDC＝α， ∴tan∠OHM＝tanα， ∴， 解得OM＝70m， ∴点O、M之间的距离等于70m． 故答案为：70． 9．（2025•泉港区一模）如图，小李用自制的直角三角形纸板AEF测量树的高度PB．他调整自己的位置，设法使斜边AF保持水平，并且边AE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边AE＝40cm，EF＝20cm，测得边AF离地面的高度为1.5m，AC＝8m，则树高PB＝ 　5.5　 m． 【分析】先判定△AEF和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上CP即可得解． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB＝90°， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∵AE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m， ∴， 解得：BC＝4， ∵DC＝1.5m， ∴DB＝DC+PC＝1.5+4＝5.5（m）， 即树高5.5m． 故答案为：5.5． 10．（2025•西安校级一模）初三数学小组准备用所学知识测量路灯AB的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树EF（EF＝3米），小峰站在距离小树2.8米的D处（DF＝2.8米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（CD＝1.6米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（FP＝1.4米），请你帮助小峰计算路灯AB的高度．（结果精确到0.1米） 【分析】过点C作CG⊥AB于G，交EF于Q，先证明四边形CDQF是矩形，四边形CDGB是矩形，得BG＝FQ＝CD＝1.6米，CG＝BD，CQ＝DF＝2.8米，设AG＝x米，则AB＝（x+1.6）米，再证明△FPQ∽△BEA，△CQE∽△CGA，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB于G，交EF于Q， 由题意得，EF⊥BD，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴CD∥EF∥AB， ∵CG⊥AB， ∴CG∥BD， ∴四边形CDGB是矩形，四边形CDQF是矩形， ∴CG＝BD，CQ＝DF＝2.8米，BG＝FQ＝CD＝1.6米， ∵EF＝3米， ∴EQ＝1.4米， 设AG＝x米，则AB＝（x+1.6）米， 由题意得∠FPQ＝∠APB， ∵∠PFQ＝∠ABP＝90°， ∴△FPQ∽△BEA， ∴，即， ∴， ∴米， ∵EF∥AB， ∴△CQE∽△CGA， ∴，即， 解得：x≈4.98， ∴AB＝x+1.6＝1.6+4.98＝6.58≈6.6（米）． 答：路灯AB的高度约为6.6米． 11．（2025•河北模拟）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长． 【解答】解：（1）FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 则， 即， ∴BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 12．（2025•连云港一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答． 【解答】解：根据题意得，∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 即， 解得：AB＝7（m）， 答：树高AB约是7m． 13．（2025•雁塔区四模）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度BG为6m，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿BC方向后退，当退行1m到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得DF为1.2m，小华的身高DE为1.6m（忽略头顶到眼睛的距离）．已知AB⊥BF，DE⊥BF，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像AG的高度．（结果保留整数） 【分析】根据垂直的定义得到∠EDC＝∠ABC＝∠EDF＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠EDC＝∠ABC＝∠EDF＝90°， ∵∠ECD＝∠ACB， ∴△CED∽△CAB， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴， ∴BC＝11， ∴， ∴AB≈18， ∵BG为6m， ∴AG＝AB﹣BG＝12（m）， 答：司马迁雕像AG的高度约为12m． 14．（2025•蓝田县三模）如图，小明为测得学校操场上大树CD的高，他站在一楼教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见大树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF＝1.4m，树干高CH＝1.2m，点A与墙根点G的距离为1.6m，点C与墙根点G的距离为4.8m，且A，G，C三点在同一条水平线上．请根据上面的信息，帮助小明计算出大树CD的高． 【分析】根据相似三角形求得线段HD的长度即可求得树高． 【解答】解：∵FG⊥AC，DC⊥AC， ∴FG∥DC， ∴△BEF∽△BDH， ∴， ∵AG＝1.6米，CG＝4.8米，EF＝1.4米 ∴， 解得：DH＝5.6， ∴小树CD的高为DH+HC＝5.6+1.2＝6.8米． 15．（2025•永寿县校级模拟）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．G点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．通过测量，灯泡距离地面的高度AG为2.4m，木板CF的长度与墙到地面的距离ED相差4米，平面镜到木板的距离BC为6m，木板到墙面的距离CD为8m．求灯泡到平面镜的水平距离． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵CF∥DE， ∴△BCF∽△BDE， ∴， ∴， ∴CF＝3， ∵∠FCB＝∠GAB＝90°，∠CBF＝∠ABG， ∴△BCF∽△BAG， ∴， ∴， ∴AB＝4.8， 答：灯泡到平面镜的水平距离为4.8m． 16．（2025•雁塔区校级三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（DC＝3米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知DN＝3.6米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即EF＝MD＝1.8米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 【分析】连接EM并延长交AB于点H，易得四边形EFDM为矩形，四边形EHBF与四边形MHBD都为矩形，设NB＝x，AH＝y，证明△CEM∽△AEH，得到3y＝7.2+x，证明△MND∽△ANB，得到3.6+2y＝x，解方程组求出x，y的值，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：连接EM并延长交AB于点H， ∵CD⊥BF，AB⊥BF，EF⊥BF，且EF＝DM， ∴四边形EFDM为矩形， ∴EH⊥AB， ∴四边形EHBF与四边形MHBD都为矩形， ∴EF＝MD＝HB＝1.8，CM＝3﹣1.8＝1.2，ME＝FD＝3.6， 设NB＝x，AH＝y，则AB＝y+1.8，EH＝FB＝3.6+3.6+x＝7.2+x， ∵在△CEM与△AEH中， ， ∴△CEM∽△AEH， ∴， 即， ∴3y＝7.2+x， ∵反射， ∴∠MND＝∠ANB， ∵在△MND与△ANB中， ， ∴△MND∽△ANB， ∴，即，整理得：3.6+2y＝x， 联立得：，解得：， ∴AB＝10.8+1.8＝12.6米； 答：旗杆AB的高为12.6米． 17．（2025•西安校级三模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？ 【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题， 【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H， 则四边形BDEH是矩形， ∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH， ∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35， ∵BD∥OH， ∴△ABD∽△AHO， ∴， ∴， ∴HO＝4.7， ∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米， ∴PN＝MF+FP＝5.25米， ∵AH⊥EP，PN⊥EP， ∴AH∥PN， ∴△AHO∽△NPO， ∴， ∴， ∴PO＝10.5， ∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12， 答：河宽EP是12米． 18．（2025•榆林模拟）为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝140米，且点E到河岸BC的距离为75米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度． 【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长． 【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴∠CFA＝∠CGE＝90°， ∵∠ECG＝∠ACF， ∵∠ECG＝∠ACF， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即， 解得：AF＝100， ∴桥AF的长度为100米． 19．（2025•安阳县一模）文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量文峰塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与文峰塔顶点A在同一直线上，已知DE＝1.2米，EF＝0.6米，目测点D到地面的距离DG＝1.65米，到文峰塔的水平距离DC＝74米，求文峰塔的高度． 【分析】求出△DEF∽△DCA，再根据相似三角形对应边比例列式即可求解． 【解答】解：∵∠BCD＝∠B＝∠G＝90°，DE＝1.2米，EF＝0.6米，DC＝74米， ∴四边形BCDG为矩形， ∴BC＝DG＝1.65m， 由题意可得：∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED， ∴△DEF∽△DCA， ∴， ∴， 解得：AC＝37， ∴AB＝AC+BC＝AC+DG＝37+1.65＝38.65（米）， 答：文峰塔的高度为38.65米． 20．（2025•碑林区校级三模）在西安万象城，以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造了城市特色建筑景观“生命之树”（如图1）．在数学活动课中，小伊利用硬纸板自制了一个大直角板Rt△CHM测量“生命之树”的高度，即AG的长（如图2）．已知，在Rt△CHM中，CH＝1.7米，HM＝1.1米，E，F是树干上两点，目测点C到地面的距离CD＝EF＝2米，到树干的水平距离CE＝102米，她通过调整位置，使斜边CM与点E在同一直线上，另一条直角边CH与“生命之树”左侧最高点A在同一直线上，树冠A的正投影点G到树干底端F距离即GF＝17米．求“生命之树”AG的高度． 【分析】如图，设AG交CE于点T．利用相似三角形的性质求出AT可得结论． 【解答】解：如图，设AG交CE于点T． 由题意四边形CDGT，四边形CDFE，四边形EFGT是矩形， ∴CD＝TG＝EF＝2（米），ET＝FG＝17（米）， ∵CE＝102米， ∴CT＝CE﹣ET＝102﹣17＝85（米）， ∵∠HCM＝∠ACT，∠MHC＝∠ATC＝90°， ∴△CHM∽△CTA， ∴， ∴， ∴AT＝55（米）， ∴AG＝AT+TG＝55+2＝57（米）， 答：“生命之树”AG的高度为57米． 21．（2025•秦都区一模）法门寺舍利塔，地处于陕西省宝鸡市，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量舍利塔的高度，如图2，塔的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为89m，并且舍利塔AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退3m到C处（即CG＝3m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出舍利塔AB的高度． 【分析】根据垂直定义可得：∠ABD＝∠FED＝∠HGC＝90°，然后证明A字模型△FDE∽△ADB，△HGC∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC， ∴∠ABD＝∠FED＝∠HGC＝90°， ∵∠FDE＝∠ADB， ∴△FDE∽△ADB， ∴， ∴， ∵∠C＝∠C， ∴△HGC∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 解得：BE＝178， ∴， 解得：AB＝135， ∴舍利塔AB的高度为135m． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十三 相似三角形实际应用（测高） 【题型一】小孔成像 【例1】（2025•深圳模拟）如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【分析】根据题意知：△AOC∽△BOD，进而利用“相似三角形对应边上的高线之比等于相似比”求得相似比，由“相似三角形对应边成比例”求得答案． 【解答】解：根据题意知，△AOC∽△BOD． ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2． ∴相似比为1：2． ∴AC：BD＝1：2． ∴BD＝2AC＝8cm． 即实像DB的高是8cm． 故选：C． 【变式1】（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【题型二】利用相似性质测高 【例1】（2025•西城区校级三模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝6m，则树高AB是 　4.5　 m． 【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即， 解得：BC＝3m， ∵AC＝1.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+3＝4.5（m）， 即树高4.5m． 故答案为：4.5． 【变式1】（2025•灞桥区四模）周末，李老师组织同学们来到湿地公园开展综合实践活动．如图，他们发现公园一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们想测量围墙AB的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得OF＝3m；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得OE＝1m．此外，还测得窗高CD＝1.2m，窗户距地面的高度OD＝1.2m，AB⊥BF，DO⊥BF．求围墙AB的高． 【变式2】（2025•潮阳区三模）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝200米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【变式3】（2025•浦东新区校级模拟）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【题型三】利用标杆测高 【例1】（2025•镇平县模拟）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑AB高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离227m处立一高度为2.4m的标杆CD，后退3m在点F处望见E、C、A三点共线，EF＝1.6m，则AB高度约为（　　） A．61.3m B．62.9m C．60.5m D．62.1m 【分析】过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形，得MN＝BD＝227m，EM＝DF＝3m，BN＝MD＝EF＝1.6m，即得CM＝CD﹣MD＝0.8m，进而由△ECM∽△EAN得，代入计算求出AN即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EN⊥AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形， ∴MN＝BD＝227m，EM＝DF＝3m，BN＝MD＝EF＝1.6m， ∴CM＝CD﹣MD＝2.4﹣1.6＝0.8m， ∵CM∥AN， ∴△ECM∽△EAN， ∴， ∵CD＝2.4m，BD＝227m，DF＝3m，EF＝1.6m， ∴， ∴AN， ∴AB＝AN+NB1.6≈62.9（m）． 即AB的高度约为62.9m． 故选：B． 【变式1】（2025•道外区三模）如图，利用与水平地面垂直的标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为（　　）m． A．10.5 B．9.5 C．12 D．14 【变式2】（2025•黄冈校级模拟）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝26米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当BD＝60米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB． 【变式3】（2025•花都区二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，则旗杆MN的高度为　 　 米； （2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2米．请求出电线杆AB的高度． 【题型四】利用平行光线测高 【例1】（2025•路南区校级三模）如图，在大树AB的右侧有三个台阶T1～T3，每个台阶的高、宽分别是0.2m和0.4m．某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE＝0.45m，此时树梢顶点A的影子落在台阶T2上（包含两个端点）．已知大树AB的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则大树AB的高度可能是（　　） A．3m B．3.5m C．3.8m D．4.2m 【分析】作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可． 【解答】解：作T2R⊥BE，T2S⊥AB，则四边形BRT2S是矩形， ∴BS＝T2R＝0.2×2＝0.4（m），PD＝0.2×3＝0.6（m），RC＝0.4（m）， ∴ST2＝BR＝BC+RC＝1.9+0.4＝2.3（m）， 由题意得△AST2∽△PDE， ∴，即， ∴AS≈3.07（m）， ∴AB＝AS+BS＝3.07+0.4＝3.47≈3.5（m）， 故选：B． 【变式1】（2025•松北区二模）如图，身高1.8米的小宇站在塔高为22.5米的防洪纪念塔附近，他的影长是0.6米，若同一时刻，物体高度与其影长的比值相等，求此时防洪纪念塔的影长是（　　）米． A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【变式2】（2025•湖南模拟）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8米，EF＝2米．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3米，则AB＝ 　 　 米． 【变式3】（2025•洮南市模拟）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为　 　 米． 【题型五】利用平面镜测高 【例1】（2025•深圳一模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度AG＝BD＝4.5cm，FG＝5cm，FH＝12cm，HD＝9cm，已知点C，F，G，H、D在同一水平线上，且AG，BD，EC均与CD垂直，则EC的长度为（　　） A．9cm B．12cm C．13.5cm D．15cm 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：由题意得ECF＝∠AGF＝∠BDH＝90°，∠EFC＝∠AFG，∠EHC＝∠BHD， ∴△EFC∽△AFG，△EHC∽△BHD， ∴，， ∴，， ∴CE＝13.5， 答：EC的长度为13.5cm， 故选：C． 【例2】（2025•雁塔区校级模拟）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像AB的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，DF为11米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像AB的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 【分析】由△ACB∽△ECD求出，再由△ABH∽△GFH求出AB＝21.5，即可求解． 【解答】解：∵AB⊥BH，ED⊥BH， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴△ACB∽△ECD， ∴，即， ∴． ∵AB⊥BH，FG⊥BH， ∴∠ABH＝∠GFH＝90°， ∵∠AHB＝∠GHF， ∴△ABH∽△GFH， ，即， ∴AB＝21.5， 答：该雕像AB的高度为21.5米． 【变式1】（2025•西山区校级模拟）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（　　） A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m 【变式2】（2025•祁阳市校级一模）如图，小明发现教学楼的铭牌上写着“楼高18m”．他站上一节台阶，正好通过地面的水渍看到了教学楼的顶端．已知小明身高1.65m，水渍距离教学楼2.25m，距离小明0.25m，则这节台阶的高为 　 m． 【题型六】非平行光线测高 【例1】（2025•渝中区校级模拟）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2：5，且三角尺的面积为4cm2，则投影三角形的面积为（　　） A．10cm2 B．25cm2 C． D． 【分析】根据对应边的比为2：5，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为2：5，对应边的比为2：5，则面积比为4：25，即可得出投影三角形的面积． 【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的面积为4cm2， ∴投影三角形的面积为25cm2． 故选：B． 【变式1】（2025•大连一模）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为 　 　 米． 【变式2】（2025•临漳县校级二模）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD，桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝40cm，PA＝20cm，AB＝20cm，桌面的高度为80cm． （1）图中CD的长度为　 　 cm． （2）在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，则CD的最大值为　　 cm． 【课后练习】 1．（2025•罗湖区校级模拟）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AC＝3.2米，AE＝0.8米，那么CD为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 2．（2025•湖南模拟）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为h0），EG称为“表距”（记为d），EH和GC都称为“表目距”（分别记为m1，m2），则海岛AB的高为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•榕城区一模）高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是（　　） A．3m B． C．12m D． 4．（2025•河北模拟）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 5．（2025•东莞市校级模拟）有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长1.5米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为0.3米，这棵大树的高度为（　　） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 6．（2025•滕州市校级模拟）如图，身高1.7m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为　 　 m． 7．（2025•广州模拟）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6m，同时测得BC＝2.4m，CE＝9.6m，则教学楼高度DE＝　 　 m． 8．（2025•罗湖区校级模拟）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时两叶片的影子在水平地面成线段CD，测得MC＝60m，CD＝90m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O、M之间的距离等于 　 　 m． 9．（2025•泉港区一模）如图，小李用自制的直角三角形纸板AEF测量树的高度PB．他调整自己的位置，设法使斜边AF保持水平，并且边AE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边AE＝40cm，EF＝20cm，测得边AF离地面的高度为1.5m，AC＝8m，则树高PB＝ 　 　 m． 10．（2025•西安校级一模）初三数学小组准备用所学知识测量路灯AB的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树EF（EF＝3米），小峰站在距离小树2.8米的D处（DF＝2.8米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（CD＝1.6米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（FP＝1.4米），请你帮助小峰计算路灯AB的高度．（结果精确到0.1米） 11．（2025•河北模拟）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 12．（2025•连云港一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 13．（2025•雁塔区四模）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度BG为6m，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿BC方向后退，当退行1m到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得DF为1.2m，小华的身高DE为1.6m（忽略头顶到眼睛的距离）．已知AB⊥BF，DE⊥BF，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像AG的高度．（结果保留整数） 14．（2025•蓝田县三模）如图，小明为测得学校操场上大树CD的高，他站在一楼教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见大树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF＝1.4m，树干高CH＝1.2m，点A与墙根点G的距离为1.6m，点C与墙根点G的距离为4.8m，且A，G，C三点在同一条水平线上．请根据上面的信息，帮助小明计算出大树CD的高． 15．（2025•永寿县校级模拟）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．G点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．通过测量，灯泡距离地面的高度AG为2.4m，木板CF的长度与墙到地面的距离ED相差4米，平面镜到木板的距离BC为6m，木板到墙面的距离CD为8m．求灯泡到平面镜的水平距离． 16．（2025•雁塔区校级三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（DC＝3米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知DN＝3.6米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即EF＝MD＝1.8米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 17．（2025•西安校级三模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？ 18．（2025•榆林模拟）为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝140米，且点E到河岸BC的距离为75米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度． 19．（2025•安阳县一模）文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量文峰塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与文峰塔顶点A在同一直线上，已知DE＝1.2米，EF＝0.6米，目测点D到地面的距离DG＝1.65米，到文峰塔的水平距离DC＝74米，求文峰塔的高度． 20．（2025•碑林区校级三模）在西安万象城，以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造了城市特色建筑景观“生命之树”（如图1）．在数学活动课中，小伊利用硬纸板自制了一个大直角板Rt△CHM测量“生命之树”的高度，即AG的长（如图2）．已知，在Rt△CHM中，CH＝1.7米，HM＝1.1米，E，F是树干上两点，目测点C到地面的距离CD＝EF＝2米，到树干的水平距离CE＝102米，她通过调整位置，使斜边CM与点E在同一直线上，另一条直角边CH与“生命之树”左侧最高点A在同一直线上，树冠A的正投影点G到树干底端F距离即GF＝17米．求“生命之树”AG的高度． 21．（2025•秦都区一模）法门寺舍利塔，地处于陕西省宝鸡市，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量舍利塔的高度，如图2，塔的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为89m，并且舍利塔AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退3m到C处（即CG＝3m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出舍利塔AB的高度． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $