专题七 平方差公式的应用 专项练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题七 平方差公式的应用专项练习 1．（1）（a+3）（a﹣2）； （2）简便运算：102×98． 2．计算： （1）． （2）． 3．（1）计算：（﹣a）4•（﹣a）3+（4a3）2+4a9÷4a2； （2）利用乘法公式计算：20252﹣2026×2024． 4．用乘法公式计算：（x+2y﹣3z）（x﹣2y+3z） 5．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　 　 ． （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值； ②计算：20252﹣2023×2027． 6．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： （1）以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有　 　 ；（填图中的序号） （2）利用“平方差公式”计算：20262﹣2022×2030； （3）计算：． 7．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 请应用上述公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，求2m﹣n的值； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 8．数形结合思想的应用： （1）探究：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图1阴影部分面积与图2的面积，能验证的乘法公式是 　 　 （请选择正确的一个）． A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用：解答下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，则x﹣2y的值为 　 　 ； ②计算：2025×2023﹣20242＝ 　 　 ； （3）拓展：计算1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：　 　 ； （2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2025； （3）计算：． 10．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． （1）上述操作能验证的乘法公式是 　 　 ． （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝﹣4，则2m﹣n＝ 　 　 ． ②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12． ③计算：． 11．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 　 　 （填字母）． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：； ③计算：． 12．如图所示：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． （1）上述操作能验证的等式是 　 　 ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 　 　 ． （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． （4）应用所得的公式计算：． 13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　 ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值； （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． 14．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：　 　 （请选择正确的选项）． A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：1022﹣982． ②计算：． 15．你会求（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a﹣1）（a+1）＝a2﹣1； （a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1； （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1； （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝　 　 ； （2）利用上面的结论，求22018+22017+22016+…+22+2+1的值； （3）计算：（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）2+（﹣2）+1． 参考答案 1．（1）（a+3）（a﹣2）； （2）简便运算：102×98． 【分析】（1）先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，按照计算法则计算即可； （2）运用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）（a+3）（a﹣2） ＝a2﹣2a+3a﹣6 ＝a2+a﹣6； （2）102×98 ＝（100+2）×（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996． 【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘多项式，解决本题的关键是熟练运用平方差公式，按照多项式乘多项式的计算法则计算． 2．计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先根据二次根式的除法和平方差公式计算，再计算加减即可； （2）先化简各数，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+2﹣1 ＝2； （2）原式＝﹣22+3 ＝21． 【点评】本题考查了实数的运算和平方差公式，熟知运算法则是解题的关键． 3．（1）计算：（﹣a）4•（﹣a）3+（4a3）2+4a9÷4a2； （2）利用乘法公式计算：20252﹣2026×2024． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解； （2）利用平方差公式计算即可得． 【解答】解：（1）原式＝（﹣a）7+16a6+a7 ＝16a6； （2）20252﹣2026×2024 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 4．用乘法公式计算：（x+2y﹣3z）（x﹣2y+3z） 【分析】先变形为原式＝[x﹣（2y﹣3z）][x﹣（2y﹣3z）]，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝[x﹣（2y﹣3z）][x﹣（2y﹣3z）]＝x2﹣（2y﹣3z）2 ＝x2﹣（4y2﹣12yz+9z2） ＝x2﹣4y2+12yz﹣9z2． 【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 5．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值； ②计算：20252﹣2023×2027． 【分析】（1）根据图形即可求解； （2）①利用平方差公式计算即可求解；②把2023×2027转化为（2025﹣2）×（2025+2），再利用平方差公式计算即可求解． 【解答】解：（1）由图1可得，阴影部分的面积是a2﹣b2， 由图2可得，阴影部分的宽是 a﹣b，长是 a+b，面积是 （a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①∵4m2﹣n2＝12， ∴（2m+n）（2m﹣n）＝12， ∵2m+n＝4， ∴4（2m﹣n）＝12， ∴2m﹣n＝3； ②20252﹣2023×2027 ＝20252﹣（2025﹣2）×（2025+2） ＝20252﹣（20252﹣22） ＝20252﹣20252+22 ＝4． 【点评】本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 6．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： （1）以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有　①③　 ；（填图中的序号） （2）利用“平方差公式”计算：20262﹣2022×2030； （3）计算：． 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）先求出的值，再用原式除以，进行计算即可． 【解答】解：（1）图①中，左图阴影部分可以表示为（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为（a﹣b）2，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，面积为4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③； （2）原式＝20262﹣（2026﹣4）（2026+4） ＝20262﹣20262+42 ＝16； （3）∵ ， ∴原式 ． 【点评】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： 7．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 请应用上述公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，求2m﹣n的值； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【分析】（1）利用平方差公式得出（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2＝12，代入2m+n＝4求值即可； （2）利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值． 【解答】解：（1）由4m2＝12+n2，得4m2﹣n2＝12， ∵根据完全平方公式知（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2＝12， 又∵2m+n＝4， ∴2m﹣n＝3； （2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+⋯+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+⋯+4+3+2+1 ＝5050． 【点评】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 8．数形结合思想的应用： （1）探究：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图1阴影部分面积与图2的面积，能验证的乘法公式是 B （请选择正确的一个）． A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用：解答下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，则x﹣2y的值为 　3　 ； ②计算：2025×2023﹣20242＝ 　﹣1　 ； （3）拓展：计算1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【分析】（1）读懂题意，根据题意解答； （2）利用平方差公式计算； （3）利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）根据题意可得，a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）， 能验证的乘法公式选择B； 故选：B； （2）①∵x2﹣4y2＝12， ∴（x﹣2y）（x+2y）＝12， ∵x+2y＝4， ∴4（x﹣2y）＝12， ∴x﹣2y＝3， 故答案为：3； ②2025×2023﹣20242 ＝（2024+1）（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣12﹣20242 ＝﹣1； 故答案为：﹣1； （3）1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 ＝（100﹣99）（100+99）+（98﹣97）（98+97）+...+（4﹣3）（4+3）+（2﹣1）（2+1） ＝199+195+191+...+7+3 ＝5050， 【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的应用． 9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2025； （3）计算：． 【分析】（1）求出图1、2阴影部分面积即可求解； （2）利用（1）中公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可求解； （3）利用（1）中公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可求解． 【解答】解：（1）图1阴影部分面积为a2﹣b2，图2阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）， 则述操作可以得到一个公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）得：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1） ＝20242﹣20242+1 ＝1； （3） ＝2026． 【点评】本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 10．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． （1）上述操作能验证的乘法公式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；　 ． （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝﹣4，则2m﹣n＝ 　﹣3　 ． ②计算：1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12． ③计算：． 【分析】（1）用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①由平方差公式，根据4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）代入计算即可； ②根据平方差公式将原式化为100+99+98+97+……+4+3+2+1进行计算即可； ③根据平方差公式将原式化为即可． 【解答】解：（1）图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成图②阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①∵4m2﹣n2＝12，即（2m+n）（2m﹣n）＝12，而2m+n＝﹣4， ∴2m﹣n＝12÷（﹣4）＝﹣3， 故答案为：﹣3； ②原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+⋯+（42﹣32）+（22﹣12）＝（100+99）（100﹣99）+（98+77）（98﹣97）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+……+4+3+2+1 ＝5050； ③原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）×…×（1）（1）（1）（1） ． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 11．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 B （填字母）． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：； ③计算：． 【分析】（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）①∵x2﹣4y2＝12，即（x+2y）（x﹣2y）＝12，而x+2y＝4， ∴x﹣2y＝3； ②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ； ③ ＝2×（1） ＝2． 【点评】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． 12．如图所示：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． （1）上述操作能验证的等式是 B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 　4　 ． （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． （4）应用所得的公式计算：． 【分析】（1）因为图1的面积＝a2﹣b2，图2的面积＝（a+b）（a﹣b），得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可得到答案； （2）根据平方差公式得到（2a+b）（2a﹣b）＝24，继而得到2a﹣b＝24÷6＝4； （3）利用平方差公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）∵图1的面积＝a2﹣b2，图2的面积＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）∵4a2﹣b2＝24， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝24， ∵2a+b＝6， ∴2a﹣b＝24÷6＝4， 故答案为：4； （3）20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1； （4） ． 【点评】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值； （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． 【分析】（1）根据图形面积的计算判定即可； （2）根据平方差公式的计算求解即可； （3）运用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）S图1的阴影＝a2﹣b2，S图2的阴影＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，2a+b＝6， ∴2a﹣b＝4； （3）原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝1． 【点评】本题主要考查平方差公式与图形面积的计算，掌握乘法公式的计算是关键． 14．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：D （请选择正确的选项）． A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）应用与计算：请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：1022﹣982． ②计算：． 【分析】（1）分别表示出图1和图2阴影部分的面积，根据面积相等即可求解； （2）①利用平方差公式直接计算即可求解；②利用平方差公式即可求解； 【解答】解：（1）由图1可得，阴影部分的面积为a2﹣b2， 由图2可得，阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵图1和图2阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． （2）①1022﹣982＝（102+98）×（102﹣98）＝200×4＝800； ② ． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键． 15．你会求（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a﹣1）（a+1）＝a2﹣1； （a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1； （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1； （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1　 ； （2）利用上面的结论，求22018+22017+22016+…+22+2+1的值； （3）计算：（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）2+（﹣2）+1． 【分析】（1）根据题目所提供所列式子的规律进行计算即可； （2）根据（1）的结论进行解答即可； （3）根据（1）的规律可得[（﹣2）﹣1]×[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）51﹣1＝﹣251﹣1，再根据积与因数的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1， 故答案为：a2019﹣1； （2）由（1）的结论可知，（2﹣1）×（22018+22017+22016+…+22+2+1）＝22019﹣1， 所以22018+22017+22016+…+22+2+1＝22019﹣1； （3）由（1）的结论可知， [（﹣2）﹣1]×[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）51﹣1＝﹣251﹣1， ∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）2+（﹣2）+1 ． 【点评】本题考查平方差公式，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $