1.3集合的基本运算教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的并集、交集、补集运算，通过“零食罐合并”生活情境和类比实数加法的旧知导入，从具体实例自然过渡到数学概念，搭建学习支架。 以生活情境（零食罐、班级同学）为载体，结合Venn图、数轴直观呈现，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）、思维（推理意识）和语言（符号表达），小组探究运算性质提升合作与推理能力，助力学生理解抽象概念，为教师提供结构化教学方案。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.2 集合的基本运算 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集； 2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集； 3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 教学内容 教学重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系； 2.全集与补集的定义. 教学难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题． 教学过程 1、 情境导入 1. 生活情境 教师：同学们，假设老师有两个零食罐——A罐装着 {薯片、巧克力、饼干}，B罐装着{巧克力、果冻、坚果}。现在我想把两罐零食倒在一起，凑成‘零食大礼包’，这个大礼包里有哪些零食？” 学生抢答：薯片、巧克力、饼干、果冻、坚果。 教师：有没有同学发现，巧克力在两个罐里都有，我们用不用装两次？（引导学生得出 “不重复” 原则） 教师：再问个关键问题：两罐零食里“共同拥有”的是什么？ （学生齐答：巧克力） 设计意图：用学生熟悉的“零食”贴近生活，以幽默提问激发兴趣，通过“合并不重复”“找共同”自然引出并集、交集的核心思想。 旧知导入：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 二、新知探究 探究一 并集的含义 教师：像刚才“零食大礼包”这样，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作‘A并B’） 符号表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B} 强调：“或”在数学中表示“至少一个满足”，允许A、B有公共元素，但不重复计入（如巧克力只算一次）。 Venn 图绘制：师生共同在黑板画两个相交的圆，分别标注A、B，涂色表示A∪B（整个阴影区域）。 设计意图：结合“零食大礼包”的生活实例具象化并集定义，呼应导入且降低理解门槛，明确符号表示中“或”的数学内涵与“不重复计入”规则，助力快速建立“定义—符号—图形” 关联，夯实对并集“整体覆盖”特征的理解与记忆。 探究二 交集的含义 教师：刚才两罐零食的‘共同零食’，就是A与B的交集——由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作A∩B（读作‘A交B’）。 符号表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B} 强调：“且”表示“同时满足”，只有公共元素才在交集中。 Venn 图绘制：在刚才的Venn图中，只涂色标注A、B的重叠部分，对比并集突出“部分阴影”。 设计意图：承接“零食大礼包”的生活情境，以“共同零食”自然衔接交集概念，保持学习连贯性且降低抽象度，明确符号表示中“且”的“同时满足”内涵与“仅公共元素”的核心规则，通过在原有Venn图中涂色重叠部分并与并集 “整体阴影” 形成对比，直观凸显交集“部分重叠”的特征，助力快速建立“定义—符号—图形”的关联，强化对交集本质的理解与记忆。 师生互动小练习： 教师：现在换个场景——班级里A组同学{张三、李四、王五}，B组同学 {李四、赵六、孙七}，求A∪B和A∩B？（学生口头回答，师板书纠正） 设计意图：从“零食”迁移到“班级同学”，强化生活关联；通过 Venn 图直观化抽象概念，降低理解难度；小练习即时巩固定义。 追问：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅. 设计意图：通过针对性追问直击学生可能存在的认知误区，明确“无公共元素≠无交集” 的核心逻辑，纠正对交集定义的片面理解，补充空集这一特殊情况，完善交集知识体系。 探究三 补集的含义 教师：同学们，我们之前聊零食时，若把“老师所有的零食”看作一个整体（记作全集U={薯片、巧克力、饼干、果冻、坚果}），A罐零食是A={薯片、巧克力、饼干}，那U中不属于A的零食是什么？（学生回答：果冻、坚果） 教师：这些“不属于A但在整体里”的元素组成的集合，就是A的补集！随后给出定义、符号表示，强调“全集是研究问题的范围边界”。 Venn 图绘制：沿用前序并集、交集的 Venn 图框架，添加矩形表示全集U，仅涂色A圆外的矩形区域，对比并集“整体阴影”、交集“重叠阴影”，突出补集“圆外阴影”的特征。 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA={x|x∈U，且xA} 追问：若全集U换成“全班同学”，A是“男生集合”，补集是什么？（学生齐答：女生集合）若U是“所有实数”，A是“正数集合”，补集又是什么？（引导回答：零和负数集合） 设计意图：以“零食整体”“班级同学”等生活场景自然引入补集，衔接前序探究保持情境连贯性，通过追问拓展全集范围，帮助学生理解“全集是相对概念”；借助Venn图框架添加矩形及局部涂色，与并集、交集形成直观对比，完善“定义—符号— 图形”的知识关联。 探究四 集合运算的性质 根据集合的基本关系和集合的基本运算，你能得到哪些结论？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。 结论：（学生做笔记） 1.A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=∅,A∩B=B∩A 2.A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A 3.（CUA)∪A=U，（CUA)∩A=∅ 4. 若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立 5. 若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立 设计意图：通过让学生独立思考与小组协作相结合的方式，自主探究集合运算性质，培养自主探究与合作交流能力；引导学生从具体实例抽象出一般结论，强化“定义—性质”的知识逻辑，同时通过笔记梳理结论，夯实知识体系，为后续运用性质解决复杂问题奠定基础。 三、例题讲解 例1 已知集合A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B，A∩B。 教师：先看并集，找所有属于A或B的元素，注意不重复——3、4、5、6、7、8，所以A∪B={3,4,5,6,7,8}。 教师：交集找共同元素，A和B都有的是5、8，所以A∩B={5，8}。 同步绘制Venn图，标注元素，验证结果。 设计意图：基础例题，巩固“有限集”的并、交运算，强化“不重复、找共同”的规则。 例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB． 解：A∪B ={x|-1<x<3} 注意：由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。 总结：求两个集合的并集、交集及补集的常用方法 （1）定义法:对于用列举法给出的集合,依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果. （2）数形结合法：对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示. 设计意图：立足集合基础知识点，通过列举法与描述法对应的不同运算方法，引导学生形成“分类处理”的解题思维，既能应对基础的列举法集合运算，也能熟练运用数轴解决复杂连续数集运算，为后续交集、补集学习奠定方法基础，让学生理解“图形辅助”在数学运算中的严谨性与便捷性。 例3 立德中学开运动会，设A=｛x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，B=｛ x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，求 解：就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合． 所以，=｛x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝. 例4 设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示直线的位置关系. 解：平面内直线 l1,l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. (1) 直线 l1，l2相交于一点P可表示为 L1∩L2=点P； (2) 直线 l1，l2平行可表示为 L1∩L2=∅； (3) 直线 l1，l2重合可表示为 L1∩L2=L1=L2. 例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求 解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以： ={4，5，6，7，8}， = {1，2，7，8}． 例6 设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，。 解：根据三角形的分类可知 A∩B=∅, 是锐角三角形或钝角三角形}，是直角三角形}. 四、课堂小结 （1）并集、交集、补集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}， A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩，A∪＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 五、课后作业 1. 教科书P13练习第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $