第04讲 用二次函数解决问题（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏科版）数学九年级下册重难点讲义与测试

第04讲 用二次函数解决问题（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用二次函数解实际问题 知识点02：建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题 典例分析 （举三反三） 考点1：利用二次函数解决生活中最大面积问题 考点2：利用二次函数解决生活中最大利润问题 考点3：利用二次函数解决抛物线形的实际问题 考点4：利用二次函数解决动态问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】用二次函数解实际问题 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图像和性质去解决问题. 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【知识点02】建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题 生活中常见的拱桥洞、涵洞、隧道等都呈抛物线形状，解决这些问题往往构建二次函数模型，借助二次函数的性质进行计算. 1. 解决抛物线型问题的一般步骤 (1)根据题目给出的数据建立恰当的直角坐标系； (2)根据建立的坐标系，结合条件确定图像上点的坐标； (3)根据点的坐标特点设出函数表达式，再运用待定系数法确定函数表达式； (4)根据二次函数的性质解决问题. 2. 在解答这类问题时，建立恰当的坐标系非常重要，基本原则是尽量选取抛物线的顶点为原点，尽量选取抛物线的对称轴为y轴. 【题型一】利用二次函数解决生活中最大面积问题 【典例1-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）用一根长的铁丝： (1)能否围成面积是的矩形？ (2)能否围成面积是的矩形？ (3)用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． (1)试用x的代数式表示菜园的面积y； (2)求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地 ，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为x米，则_____米（用含x的代数式表示）； (2)当x为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)能围成的菜地最大面积是多少？ 【题型二】利用二次函数解决生活中最大利润问题 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 132 92 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只种书挂袋、2只种书挂袋需要110元，购买5只种书挂袋、4只种书挂袋需要200元． (1)求文具店种、种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店两种书挂袋的进货价分别为16元和18元．目前正在对种书挂袋进行促销活动：购买种书挂袋数量在10只以内（包括10只）时，不优惠；购买种书挂袋数量超过10只时，每超过1只，购买的所有种书挂袋单价均降低0.1元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？ 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）超市销售某品牌书包，进价为每个80元，在销售过程中发现，月销量y个与销售单价x元之间满足一次函数关系（其中，且x为整数），当每个书包售价为110元时，每月销售量为80个；当每个书包售价为120元时，每月销售量为40个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当该品牌书包的售价定为多少元时，超市销售该品牌书包月销售利润最大，最大利润是多少元? 【变式2-3】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 【题型三】利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【典例3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24九年级上·江苏南通·期中）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为 m． 【典例3-3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）． (1)选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系． (2)求水管长度的取值范围． 【题型四】利用二次函数解决动态问题 【典例4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【典例4-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的的中点，弦为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数关系式为 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？    【变式4-1】（22-23九年级上·江苏·期末）如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）将一根长为的铁丝首尾相接围成矩形，则该矩形面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·江苏·专题练习）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，用一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），若围成的菜园面积最大为18平方米，则l的值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边作正方形，连接，设，则面积 ．（用x的代数式表示） 10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 ．    11．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 14．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． (1)求喷头A的高度； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 用二次函数解决问题（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用二次函数解实际问题 知识点02：建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题 典例分析 （举三反三） 考点1：利用二次函数解决生活中最大面积问题 考点2：利用二次函数解决生活中最大利润问题 考点3：利用二次函数解决抛物线形的实际问题 考点4：利用二次函数解决动态问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】用二次函数解实际问题 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图像和性质去解决问题. 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【知识点02】建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题 生活中常见的拱桥洞、涵洞、隧道等都呈抛物线形状，解决这些问题往往构建二次函数模型，借助二次函数的性质进行计算. 1. 解决抛物线型问题的一般步骤 (1)根据题目给出的数据建立恰当的直角坐标系； (2)根据建立的坐标系，结合条件确定图像上点的坐标； (3)根据点的坐标特点设出函数表达式，再运用待定系数法确定函数表达式； (4)根据二次函数的性质解决问题. 2. 在解答这类问题时，建立恰当的坐标系非常重要，基本原则是尽量选取抛物线的顶点为原点，尽量选取抛物线的对称轴为y轴. 【题型一】利用二次函数解决生活中最大面积问题 【典例1-1】（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设花圃的宽为，面积为，得到关于的函数表达式，根据实际意义得到，再结合二次函数图像与性质，得到二次函数图像开口向下，当时，面积最大为． 【详解】解：设花圃的宽为，面积为，则 关于的函数表达式为： ∵， ∴， ∵二次函数中，，二次函数图像开口向下， ∴当时，面积最大为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质解实际应用题，读懂题意，准确得出二次函数表达式，利用二次函数图像与性质求出最值是解决问题的关键． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 【答案】小明同学说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确列出函数解析式是解答本题的关键．方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为，列出二次函数解析式并求出最大值；方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为，列出二次函数解析式并求出最大值；比较两个最大值得出结论即可． 【详解】解：小明同学说法不正确，理由如下： 方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为， ， ， ∴当时，有最大值为， 此时，满足题意； 方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为， ， ， ∴当时，有最大值为， ∴两种方案最大面积相等，小明同学说法不正确． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）用一根长的铁丝： (1)能否围成面积是的矩形？ (2)能否围成面积是的矩形？ (3)用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 【答案】(1)用一根长的铁丝能围成面积是的矩形 (2)不能围成面积是的矩形 (3) 【分析】本题考查了矩形的面积、一元二次方程的应用和二次函数的性质及应用． （1）设这个矩形的一边长为，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）同（1）列出方程，由判别式，即可得出结果； （3）设当矩形的一边长为时，面积为，由矩形的面积公式列出方程，整理配方得，根据二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设这个矩形的一边长为，则另一边长为， 根据题意得， 解得：，， 当时，； 当时，， 即能围成面积是的矩形，此时长和宽分别为； （2）根据题意得：， 整理得， ， 方程无解，因此不能围成面积是的矩形； （3）设当矩形的一边长为时，面积为， 由题意得：， 整理得， 当时，n有最大值， 故这根铁丝围成的矩形最大面积是． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． (1)试用x的代数式表示菜园的面积y； (2)求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，菜园面积最大，最大面积是 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用． （1）确定长方形的另一条边长，根据长方形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意， 长方形的另一条边长为， ∴菜园的面积为， 即用x的代数式表示菜园的面积为； （2）解：， 根据题意得：， ∵， ∴当时，菜园面积最大，最大面积是． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地 ，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙，墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为x米，则_____米（用含x的代数式表示）； (2)当x为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)能围成的菜地最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)200平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，结合篱笆总长为39米列式求解即可； （2）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设围成的菜地的面积为S平方米，根据矩形面积计算公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为192平方米； （3）解：设围成的菜地的面积为S平方米， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， 当时，，符合题意， ∴当时，S有最大值，最大值为200， 答：能围成的菜地的最大面积为200平方米． 【题型二】利用二次函数解决生活中最大利润问题 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题意，得， ∵每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 132 92 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(，且是整数) (2)() (3)定价41元/张或42元/张时，每天获利最大，最大利润是4888元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）根据表格数据，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据利润为票房收入减去运营成本，得到二次函数解析式； （3）通过二次函数的性质，在自变量取值范围内求最大利润． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格数据，当时，；当时，， 得方程组： 解得： 所以与之间的函数关系式为 (，且是整数)； （2）解：由题意得， 所以与之间的函数关系式为 ()； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点横坐标， ∵，且是整数， ∴当或时，最大，， ∴最大利润为4888元． 答：该影院将电影票售价定为41元或42元时，每天获利最大，最大利润是4888元． 【典例2-3】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只种书挂袋、2只种书挂袋需要110元，购买5只种书挂袋、4只种书挂袋需要200元． (1)求文具店种、种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店两种书挂袋的进货价分别为16元和18元．目前正在对种书挂袋进行促销活动：购买种书挂袋数量在10只以内（包括10只）时，不优惠；购买种书挂袋数量超过10只时，每超过1只，购买的所有种书挂袋单价均降低0.1元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元 (2)当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键． （1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可． （2）设B为m只时，文具店获利最大，则A为只，分两种情况计算：①当只时，计算文具店的利润；②当只时，计算文具店的利润，最后比较得出答案． 【详解】（1）解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得： ， 解得：． 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元． （2）设B种书挂袋为m只，则A种书挂袋为只，根据题意可知： ①当只时，文具店的利润为： ， ∴当只时，利润最大为190元； ②当只时，文具店的利润为w： ， ∵， ∴当只时，文具店的最大利润为200元，此时A为20只． ∵， ∴A、B两种书挂袋均取20只． 答：当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元． 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)应将售价定为元 (3)该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． （1）根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润（元售量每千克利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）超市销售某品牌书包，进价为每个80元，在销售过程中发现，月销量y个与销售单价x元之间满足一次函数关系（其中，且x为整数），当每个书包售价为110元时，每月销售量为80个；当每个书包售价为120元时，每月销售量为40个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当该品牌书包的售价定为多少元时，超市销售该品牌书包月销售利润最大，最大利润是多少元? 【答案】(1)，且为整数． (2)当该品牌书包的售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数解析式的求解方法和二次函数的性质（利用对称轴求最值）是解题的关键． （1）设，利用给定的两组售价与销量的对应值，代入可得到关于、的方程组，解方程组就能求出函数关系式． （2）先根据利润 =（售价 进价） 销量，列出利润关于售价的函数表达式，这是一个二次函数，再根据二次函数的性质（的正负确定开口方向，结合自变量取值范围）求出最大值． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． ∵ 当时，；当时，， ∴ ， 用第一个方程减去第二个方程得：， 即， ， 解得． 把代入得：， ， ， ∴， ∵即， ∴， ∴ 与之间的函数关系式为，且为整数． （2）解：设月销售利润为元． ∵ 利润，， ∴ ， 展开得， ． 对于二次函数，，抛物线开口向下，对称轴为． ∵ ，且为整数， ∴ 当时，有最大值． 把代入得： ． ∴ 当该品牌书包的售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 【变式2-3】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)32000 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于800件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； （3）解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 【题型三】利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【典例3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 【典例3-2】（23-24九年级上·江苏南通·期中）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案． 【详解】解：如图，    根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为； 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 令得：， 水管的高度应为． 故答案为：． 【典例3-3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【答案】(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， ∵水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 依据题意，根据图象得到抛物线的顶点坐标是，再利用顶点式求解析式即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得． ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）． (1)选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系． (2)求水管长度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是利用顶点式求出解析式． （1）以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为，将顶点坐标为代入得，分别将，代入求得a值，再令时得的y值即为水管的长，然后求出d的取值范围． 【详解】（1）解：以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，如图： （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线解析式为， 当水柱落地点为时，， 抛物线的解析式为：， 当时，； 当水柱落地点为时，， 抛物线的解析式为：， 当时，； 的取值范围是：． 【题型四】利用二次函数解决动态问题 【典例4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于，   ∵四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 【典例4-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的的中点，弦为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用，二次函数的实际应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．首先延长交于G，根据垂径定理的知识，可得，并可求得的值，由勾股定理可得，即可求得．注意分类讨论． 【详解】解：延长交于G， ∵是的的中点 ∴， ∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴， 综上：； 故答案为：． 【典例4-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？    【答案】当时，的面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的最大值． 设运动的时间为，则，，根据题意可得的面积的表达式，求最大值即可． 【详解】解：，， ∴当时，到达点，到达点， 设运动的时间为，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为． 【变式4-1】（22-23九年级上·江苏·期末）如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，， ，图象为直线的一部分， ∵，点运动时间为秒 当时，点在上，如图所示， ∴，，，， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ． 【答案】 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 【答案】(1)不存在时间t，使得直线平分的面积，理由见解析 (2)经过后，四边形的面积最小，最小是 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题）： （1）假设存在时间t，使得直线平分的面积，根据，列出方程，即可求解； （2）根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：不存在时间t，使得直线平分的面积，理由如下： 假设存在时间t，使得直线平分的面积， 根据题意得：， ∴， ∵直线平分的面积，即， ∴， ∴， 整理得：， 此时， ∴该方程无解， 即不存在时间t，使得直线平分的面积； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是， 即经过后，四边形的面积最小，最小是． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）将一根长为的铁丝首尾相接围成矩形，则该矩形面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，则另一边长为，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，则另一边长为，根据题意，得： ， ∴当时，． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴C坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度为． 故选：B． 3．（2025九年级上·江苏·专题练习）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，需要根据抛物线的解析式求出铅球飞行的水平距离，解题核心在于求解二次方程的根，并理解水平距离的最大值对应抛物线与x轴的正根，关键在于将实际问题转化为数学问题，正确解方程并排除负数解． 【详解】解：令，则， 整理得：， 解得（舍去），， ∴巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：当时，点P，Q在上；当时，点在上，点在上；当时，点，在上．利用矩形的性质和三角形的面积公式求得的面积随时间变化的函数解析式，再利用函数的图形的性质解答即可． 【详解】解：当时，点P，Q在上， 连接，如图， 四边形为矩形， ，， 是的中点， ∴，，， ， ，两点分别沿着和方向从点，点同时出发，且都以的速度运动， ∴ ， ； 当时，点在上，点在上， 连接，过点作于点，如图， 四边形为矩形， ，， ， ， ∴， ， 由题意得：，，，， ． 当时，点，在上， 过点作于点，如图， 此时，， ． 综上，的面积随时间变化的图象分为三部分， 当时，，图象为平行于轴的线段， 当时，图象为顶点为的抛物线的一部分， 当时，图象为平行于轴的线段， 与的面积随时间变化的图象最接近的是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，分类讨论的思想方法，函数的图象，熟练掌握三角形的面积公式和二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，用一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），若围成的菜园面积最大为18平方米，则l的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的应用，设垂直墙的一边长为x米，面积为y平方米，根据题意，得，根据二次函数的性质求得当时，y有最大值，进而由求解即可． 【详解】解：设垂直墙的一边长为x米，面积为y平方米，则平行墙的一边长为米， 根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值， ∵围成的菜园面积最大为18平方米， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 以所在直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于的一元二次方程，解得的值，用较大的值减去较小的值即可得出答案． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ， 则由题意可知，，， 设该抛物线的解析式为，将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 若水面再下降，则有， 解得， ， 水面宽度为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边作正方形，连接，设，则面积 ．（用x的代数式表示） 【答案】 【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，，则，继而根据三角形的面积公式可得． 【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于， ，，， ， ， ∵， 即， ， 在中，， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为 ．    【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质．根据点A到点O的距离为4，得到，代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：点A到点O的距离为4， ， 把代入得 ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 【答案】4或32/32或4 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出与之间的函数关系式是，设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当： ，解得：（舍）或当时，，解得： ． 【详解】解：当，设解析式为：， 把和代入得：， 解得：． ． 当时，， 故与之间的函数关系式是； 设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得： 当：， 由上得， ∴， 化简得： 解得：（舍）或 当时，， 由上得， 解得： ， 故答案为：4或32． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． (1)求点火后，该火箭的高度是多少？ (2)求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 【答案】(1)点火后，该火箭的高度是 (2)火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）把代入函数表达式中即可求解； （2）把配方得，可求得最大值时的时间，此时的最大值． 【详解】（1）解：当时，； 答：点火后，该火箭的高度是； （2）解：函数配方得：， 由于二次项系数为负， 则当时，火箭达到最高点为，此时降落伞打开； 答：火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设（，为常数）， 将点，代入得：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为元， 由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． (1)求喷头A的高度； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 【答案】(1) (2)喷头A应该向上调整 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标，经过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，令，进而可求解； （2）根据题意，设平移后的函数表达式为，将点代入求得h值即可求解． 【详解】（1）解：由题意，该抛物线的顶点坐标，经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数表达式为， 当时，，则， 即喷头A的高度为； （2）解：设调整后的抛物线的函数表达式为， 根据题意，将代入，得， 解得， 答：喷头A应该向上调整． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式． 设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，代入，，设，则，再将和点坐标分别代入拋物线解析式求解即可． 【详解】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵中间被4根栏杆五等分，， ∴，， 设抛物线解析式为：， 将代入得：， 设， 则， 将点和点坐标分别代入拋物线解析式得：， 解得． 米． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），且，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，求四边形面积的最大值时相应点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的解析式求出点、的坐标，代入抛物线求得、的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据四边形面积最大值时，点到直线的距离最远，即此时直线与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线解析式，使该方程判别式为即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 令，则，令，则， 点坐标为，点的坐标； ， 代入抛物线得：， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， 设直线的表达式为， 将代入直线即可求得， 直线， 设过点与直线平行的直线：， ∵四边形面积最大值时，点到直线的距离最远， 即此时直线与抛物线只有一个交点， 令， 化简得①， 由得：， 方程①的解为， 四边形面积最大值时相应点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据图②的面积，可得矩形的长和宽； （2）由题意得，，根据三角形的面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （3）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得t的值． 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， ∵四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理得运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强． 1 学科网（北京）股份有限公司 $