专项训练卷(3)数学文化、跨学科与应用意识-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(人教版·新教材)

优蕾卷八年级上册数学·P A.∠BAC的平分线与AC边上中线的交点 8.(毕节威宁期末)“幻方”是一种中国传统游戏，如图①所示， 专项训练卷（三） B.∠BAC的平分线与AB边上中线的交点 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个 数学文化、跨学科与应用意识 C.∠ABC的平分线与AC边上中线的交点 顶点上的数字之和相等，现将7,6,4,3,2，一1，一2，一4填入 D.∠ABC的平分线与BC边上中线的交点 如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则(c十d-a)·的 一、选择题 值为 1.(东莞期末)如图所示，为估计池塘两岸A,B间的距离，晓 聪在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m, 5 那么AB间的距离可能是( 第4题图 第5题图 5.(盘锦大洼区期末)《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合 家具的设计图，如图所示为某蝶几设计图，其中△ABD和 第8题图 第9题图 △CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直 A.2 m B.30m C.28m D.20m 9.(重庆萧中区期末)如图所示是蜡烛的平面镜成像原理图， 角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线 2.某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度 以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直 DQ对称，连接CP,DP,若∠ADQ=25°，则∠DCP的度数 为0.0000963贝克/立方米.数据“0.0000963”用科学记 角坐标系.若火焰顶部点P的坐标是（一3,2），则对应虚像 为() 数法可表示为( 顶部Q点的坐标是 A.20 B.219 C.24 D.25 A.96.3×10-6 B.963×10-7 6.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年 10.(泸州龙马潭区期中)如图所示，下列图案是晋商大院窗格 C.9.63×10-5 D.0.963×10- 代创立的一门新的数学学科.分形是把整体以某种方式分 的一部分，其中“。”代表窗纸上所贴的剪纸： 3.如图所示，要在街道！设立一个牛奶站O,向居民区A,B提 0 成几个部分.按照如图①所示的分形规律(1个白圈分形为 00 供牛奶，下列设计图形中使OA十OB值最小的是( 2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白图2个黑圈)，可 ·B 第1个 第2个 第3个 得如图②所示的一个树形图，则第7行中黑图数量为( A. 用代数式表示第n个图中所贴剪纸“。”的个数为 …第1行 三、解答题 线 …第2行 11.最小刻度为0.2nm(1nm=10-m)的钻石标尺，可以测 …第3行 量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前 世界上刻度最小的标尺. A.363 B.364 C.365 D.366 (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：m). 二、填空题 (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度 7,(贵港覃塘区期中)科学研究表明：树叶在光合作用后产生 大约仅为4.5℃m,问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小 的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空 刻度的多少倍 4.(北烹东城区期末)东湖高新区为打造成“向往之城”，正建 气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国 设一批精品口袋公园.如图所示，△ABC是一个正在修建的 槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一年滞尘 经 口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路 1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需 AB,AC的距离相等，且使得S△AsH=S△BH,则凉亭H 的国槐树叶的片数相同.若设一片国槐树叶一年的平均滞 是() 尘量为xmg,则根据题意可得方程是 -33 12.数学模型学习与应用： 13.(绍兴柯桥区期末)定义：若分式M与分式N的差等于它14.【学科融合】如图①所示，物理学中把经过入射点O并垂直 白日登山望蜂火，黄昏饮马傍交河】 们的积，M一N=MN,则称分式N是分式M的“互联分 于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角 —《古从军行》唐·李顾 式如与，2因为h2红++四 1 11 叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角.由此可 模型学习：诗中隐含若一个有趣的数学问题，我们称之为 以归纳出如下的规律： 有×十2c++②所以十2是的“互联 1 1 “将军饮马”问题.关键是利用轴对称变换，把直线同侧两 在反射现象中，反射光线、人射光线和法线都在同一平面 点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离 内：反射光线、人射光线分别位于法线两侧：反射角等于入 分式” 射角.这就是光的反射定律(reflection law). 和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图①所 （④)判断分式是不是的互联分式，请说明理由。 【数学推理】如图②所示，有两块平面镜OM,ON,且OM⊥ 示：在直线1上存在点P,使PA十PB的值最小 作法：作点A关于直线1的对称点A',连接A'B,A'B与直 (2)小红在求分式 中的“互联分式”时，用了以下方法。 1 ON,人射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.由以 上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推 线【的交点即为点P,此时PA十PB的值最小 +y的“互联分式”为N十y一N= 1 得它们的余角也相等，即：∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的 模型应用： 设 条件下，求证：ABCD, (1)如图②所示，已知△ABC为等边三角形，高AH= 1 1 (+y+1)N 【尝试探究】两块平面镜OM,ON,且∠MON=a,入射光 8cm,P为AH上一动点，D为AB的中点， x2+y2 线AB经过两次反射，得到反射光线CD. ①当PD十PB的值最小时，在图中确定点P的位置（保留 (1)如图③所示，光线AB与CD相交于点E,则∠BEC= 作图痕迹，不写画法). ·N=z+y2+T ②PD十PB的最小值为 cm. 请你仿照小红的方法求分式十考的“互联分式 (2)如图④所示，光线AB与CD所在的直线相交于点E, 模型变式： (3)解决问题：仔细观察第(1)(2)小题的规律，请直接写出 ∠BED=B,求a与B之间满足的等量关系. (2)如图③所示，某地有块三角形空地AOB,已知 实数ab的值，使如二2是6士的互联分式。 N ∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO= bx+b"bx+a 人射光线人射角饭射角 10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形 反射面反射光线 0光的反射 花坛PQR,点Q,R分别是OA,OB边上的任意一点（不与 各边顶点重合)，求△PQR周长的最小值： 34AD=CD.AD=EF,..CD=EF, 【尝试探究】 10.65 :∠A=∠CBE, (1)180°-2a 11.证明：∠1=∠2， ∴.∠A=∠ECB=∠DCA=∠CBE (2)3=2a.理由如下： ∴.∠1+∠EBD=∠2+∠EBD, ADCE,DC∥BE, ,∠1=∠2，∠3=∠4 ·∠ABD=∠EBC. ∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB. ∴.∠ABC=180°-2∠2， 在△ABD和△EBC中， 在△DCE和△FEB中， ∠BCD=180°-2∠3， (∠ABD=∠EBC, '.∠BEC=∠ABC-∠BCD BD=BC. (CD-EF, 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10米， ∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB, =(180°-2∠2)-(180°-2∠3) ∠D=∠C A∠DCE=∠FEB CE=EB, ∠MON■2∠AOB=2×30°=60°， ■2（∠3-∠2）=3. .△ABD≌△EBC(ASA) ∴，△MON为等边三角形， :∠BOC=∠3-∠2=a, 12.30°或70°或80 ∴.△DCE≌△FEB(SAS), 即NM=ON=OP=10米. .8=2a. 13,解：(1)当两个三角形都为锐角（或钝角或直角）三 ..DE-BF 即△PQR周长的最小值为10米， 角形时，这两个三角形金等，如图①所示（以锐角 (2)∠BGE=2∠GBC,理由如下： 易错专项训练卷（一） 3 三角形为例) 由(I)可知：∠A=∠ECB=∠CBE=a,△DCE≌ 13.解：1)3 十2的“互联分式”，理由如下： 三角形和全等三角形中易错题常见类型 △FEB, 3 3 ∴·∠DEC=∠GBE. x+2x+5 1.D2.B3.C _3(z+5)-3(x+2) 4.解：(1)∠A=100, ∠GBE=∠CBE-∠GBC=a-∠GBC, (x+2)(x+5) ∴.∠B十∠C=80°. .∠DEC=a-∠GBC. ∠B-∠C=20°， ∠BGE+∠DEC+∠EFG=180°，∠ECB+ =(x+2)(x+5)1 ∴.∠B=50°，∠C=30 ∠GBC+∠CFB=180°， 已知：AB=A'B,BC=B'C',AD⊥BC,A'D'⊥ 3 3 (2)∠A:∠B:∠C=2:3￥4， B'C',且AD-A'D 又：∠EFG=∠CFB, x+2”x+5(x+2)(x+5 ∴.设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x 求证：△ABC≌△A'B'C ∴.∠BGE+∠DEC=∠ECB+∠GBC, 3 3 :∠A+∠B+∠C=180°， 证明：在Rt△ABD和Rt△A'BD'中 ∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC, +2+5+2 .2x+3.x+4x=180°， AB=A'B', ,∴.∠BGE=2∠GBC 3 3 解得x=20°， 小十5是，十2的“互联分式” AD=A'D', ∠A的度数为40 专项训练卷（三）数学文化、 所以Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL), 跨学科与应用意识 (2)设+2。 十5的“互联分式”为N, 8:∠A=号∠B-C. 所以∠B=∠B', 在△ABC和△AB'C'中， 0+5W-t+2 x+2 .设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x 1.D2.C3.D4.A5.A6.C 5XN, (AB-A'B' :∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠B', 7名9-空1成64 号+N- ∴.x+2x+3x-180°， BC=B'C', x+5 解得x=30°， 所以△ABC≌△A'B'C(SAS). 9.(3,2)10.3n+2 ∴.∠A的度数为30°，∠B的度数为60°，∠C的度 (2)当两个三角形不都是锐角（或钝角或直角）三 11.解：(1)0.2nm=0.2×10-9m=2×10-10m. N号 数为90°.∴这是一个直角三角形 角形时，这两个三角形不全等，如图②所示， (2),4.5cm=0.045m=4.5×10-*m, .(4.5×10-2)÷(2×10)=2.25×10 计号的互联分式”为 (4):∠B-∠A=∠C-∠B, 2x+71 .∠A+∠C=2∠B. 答：最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的 (@限银超意可行化十名加十名十山十。 又：∠A+∠C+∠B=180°， 2.25×10倍. .3∠B=180°， 12.解：(1)①如图①所示，点P即为所求的点 a .∠B=60 4 解得 5.C 2 3 6.解：甲的说法对，乙的说法不对，理由如下： 6= 已知：AB=A'B',BC=B'C,CD⊥AB,C'D'⊥ :当0取900时，900°=(n-2)×180°， A'B',且CD=CD',但△ABC与△A'BC明是 解得n=7: 不全等， 当8取800时，800°=(#-2)×180°， 14.解：【数学推理】证明：：OM⊥ON, 故两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形 ∠CON=90°， 解得n=5 9 不一定全等 ②④8 .∠2+∠3=909 ,拉为整数， (2)如图②所示，分别作点P关于OA,OB的对 易错专项训练卷（二）轴对称中易错题 .∠1=∠2，∠3=∠4， .0不能取800 称点M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,OB .∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 常见类型 甲的说法对，边数n是7，乙的说法不对， 于点Q,R,连接PR,PQ,此时△PQR周长的最 .∠DCB+∠ABC=180°， 7.A8.A 1.C 小值等于MN的长. ..AB//CD. 9.∠CAB=∠DAB(答案不唯一) 2.C