专项训练卷(2)几何直观与空间观念-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(人教版·新教材)

优密卷八年级上册数学·P 6.如图所示，在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形，|二、填空题 专项训练卷（二） 且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有() 11.(梅州梅县区期末)在平面直角坐标系中，点A(一3,4)和点 几何直观与空间观念 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B(3,4)关于 轴对称 12.一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形 的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形 一、选择题 13.如图所示，把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放 1.古典园林花窗通常利用对称构图，体现对称美，下面四个花 置，若∠1=55°，则∠2的度数为 窗图案是轴对称图形的是( 第6题图 第7题图 7.如图所示，将一边长为α的正方形（最中间的小正方形）与 -9 四块边长为b的正方形（其中b>a)拼接在一起，则四边形 第13题图 第14题图 ABCD的面积为( 14.如图所示，若要拼一个长为3a十b、宽为2a十2b的长方形， 2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( A.a'+2ab B.a?+6 。则需要C类纸片 张， C.(bta)* D.6-a)+6 15.(深圳南岗区期末)在一节数学活动课上，小敏同学用火柴 人 8.(张家口宣化区期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由 棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示.按照这种方 古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等 式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成， 个三角形. 3.应用意识如图所示，要想知道黑板上两直线a,b所夹锐角 两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD= 的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了 DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=78°，则∠CDE的 间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a,b所 度数是( 0 夹锐角的度数为( A.30° B.409 C.50° D.609 第15题图 第16题图 16.如图所示，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E, 121 AD⊥CE于点D,下面四个结论：①∠ABE=∠BAD: A.52 B.66° C.76° D.78 ②△CEB≌△ADC;③AB=CE:④AD-BE=DE.其中 线 测得∠1=120 L2=100 9.如图所示，在锐角三角形ABC中，∠BAC=45°，点B到AC CH- 正确的是 ,(填序号) 第3题图 第5题图 的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是 三、解答题 AD和AB上的动点，则BM十MN的最小值是( 4.已知平面直角坐标系中，某图形上各点的横坐标保持不变， 17,抖空竹是我国的传统民间游艺活动，也是国家级非物质文 A.1 B.1.5 C.2 D.3 纵坐标变为原来的相反数，则所得图形与原图形的位置关 化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制 系是() 作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹 在民间流行的历史至少有600年以上，通过观察抖空竹发 A.关于x轴对称 现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图所示， B.沿x轴向右平移1个单位长度 C.关于y轴对称 AB∥CD,∠BAE=94°，∠E=28,求∠DCE的度数， 第9题图 第10题图 D.沿y轴向下平移1个单位长度 孙 10.如图所示，点C,D在线段AB的同侧，CA=4,AB=12, 5.如图所示是一个4×4的正方形网格图.根据图中标示的各 BD=9,M是AB的中点，∠CMD=120°，则CD长的最大 点位置，在下列三角形中，与△ABC全等的是() 值是() A.△ABDB.△ABE C.△ABFD.△ABG A.16 B.19 C.20 D.21 -31 18.如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐「21.（天津河西区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=60°， 8 标分别为A(-2,1),B(一4,5)，C(-5,2) BC=12.点M在BC边上，且MC=4BC,射线CD⊥BC 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一儿何体的 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B,C:,其中，A,B,C 体积，也可以得到一个恒等式 的对应点分别为A1,B1,C. 于点C,点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一 (2)根据图③，写出一个代数恒等式： (2)直接写出点A,B1,C1的坐标：A :B 动点. (1)线段MP+NP是否存在最小值？ .(填“是” (3)已知a十6=3，ab=1,利用上面的规律求0十b 的值」 C (3)求△A,BC1的面积. 或“否”) (2)如果线段MP+NP存在最小值，请求出BN的长：如 果不存在，请说明理由。 19.(辽源东辽期末)如图所示，在△ABC中，D是BC延长线 上一点，满足CD=BA,过点C作CE∥AB,且CE=BC 连接DE并延长，分别交AC,AB于点F,G (1)求证：△ABC≌△DCE. (2)若BD=12,AB=2CE,求BC的长度. 优密卷 23.(湖坊潍城区期中)如图所示，点C为线段AB上一点，分 别以AC,BC为底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和 等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点 F,使EF=AD,连接BF,DE. (1)如图①所示，判断DE与BF的数量关系，并说明理由， (2)如图②所示，若∠A=a,延长BF交DE于点G,探究 ∠BGE与∠GBC的关系，并说明理由. 20.(深圳光明区期末)如图所示，已知点D,E分别在AB和 AC上，DE∥BC,BD=DE (1)求证：BE平分∠ABC (2)若∠A=50°，∠EBC=30°，求∠ACB的度数 22.【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面 积，可以得到一个恒等式， 例如：如图①所示是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图 中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按如图②所示的 形状拼成一个正方形 请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2： 由此可以得出(a十b)2,(a一b)2,ab之间的等量关系 -32.甲工厂每天能加工16件新产品，乙工厂每天能 AG=AC, (2)AB=CD,BC=CE,AB=2CE, 加工24件新产品. a-1 ∠GAD=∠CAD, ∴.CD=2BC. (2)甲，乙两个工厂合作.理由：甲工厂单独加工完成 1 需要960÷16=60（天），费用为60×(80+10)= 当a=3时，原式=3方-2 1 AD=AD. BD=12, ∴.△ADG≌△ADC(SAS), 5400(元)： 21.解：(1)ab-a-b+1=(aba)-(b-1)= .CD=GD,∠AGD=∠ACD, ∴BC=5BD=4. 乙工厂单独加工完成需要960÷24=40（天），费 (a-1)(0-1). .∠ACB=∠FGD 20.解：(1)证明：，DE∥BC, 用为40×(120+10)=5200（元）： (2)4-x2+4xy-4y2=4-(x-4xy+4y2)= ∠ACB-2∠B, .∠DEB=∠EBC. 甲，乙两个厂合作完成需要960÷(16十24) 4-(x-2y)2=(2-x+2y)(2+x-2y). ,∠FGD=2∠B BD=DE. 24(天)，费用为24×(120十80+10) (3)x2-y2-2y+2x=(x-y2)+(2x-2y) 又∠FGD=∠B+∠GDB, ∴.∠DEB=∠DBE 5040(元). (x-y)(x+y+2). ∴.∠B=∠GDB, .∠EBC=∠DBE 既省时又省钱的加工方案是甲，乙两个工厂 将x+y=7,x一y=5代人上式，得原式=5× ∴.BG=DG=DC, ∴.BE平分∠ABC. 合作。 (7+2)=45. .AB=BG-AG=CD-AC. (2)由(1)可知：∠EBC=∠DBE. 23.解：【解决问题5 22.解：(1)36 ∠EBC=30°， 专项训练卷（二）几何直观与空间观念 .∠EBC=∠DBE=30°， (2)①，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 【拓展应用冷=一==a,则x=3ay= ∴.∠ABC=∠EBC十∠DBE=60° 0.54元， 0X93 L.B2.D3.B4A5.C6.C7.D8.C ∠A=50, -2a,=4a =0.54 .∠ACB=180°-（∠A+∠ABC)=180° 原式-r-y23a+2a)125a'25 aa 9.C10.B11.y12.直角 13.14514.8 (50°+60)=70° Gy+2z)(-2a+8a)36a-36 解得a=600, 15.2016.①②④ 21.解：(1)是 经检验，a=600是原分式方程的解 17.解：如图所示，延长DC交AE于点F, (2)存在，如图所示，作点M关于直线CD的对称 专项训练卷（一）运算能力与模型观念 ÷89-06元-06元. ABCD,∠BAE=94°， 点M',过M'作M'N⊥AB于点N,交CD于点 .∠DFE=∠BAE=94 P,此时，MP+PN的值最小 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车 :∠DCE是△CEF的外角， 1.C2.A3.B4.A5.B6.D7.C8.C 的每千米行驶费用为0.06元. .∠DCE=∠E+∠DFE-28°+94°-122° :BC=12,MC=4BC。 9A10.Bl.-1012.313.14.7 ②设每年行驶里程为x千米， ∴.CM'=CM=3, 由题意，得0.6.x+4800>0.06x十7500. 15.216.(1)4(2)200 ∴.BM'=BC+CM=12+3=15. 解得x>5000. 17.解：，a,b,e是△ABC的三边长， ,∠B=60°，∠BNM=90°， 答：当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源 a+c>ba+b>c ∴.∠M'=30°， 车的年费用更低 18.解：(1)如图所示，△A,B1C1即为所求 ,.a-b十c>0,b-c-a<0,a-c十b>0, 23.解：(1)AB=AC十CD. .la-b+cl-18-c-al-la-c+bl 证明：，AD为∠BAC的平分线， =a-b+c-[-(b-c-a)]-(a-c+b) ·∠EAD=∠CAD, =a-b+c+b-c-a-a+c-b 在△ADE和△ADC中， =c-a-b. AE-AC, 18.解：(1)3a3-6ab+3b ∠EAD=∠CAD =3(a-2ab+b2) AD-AD. =3(a-b) .△ADE2△ADC(SAS). (2)x(m一2)十y*(2-m） ∴∠AED=∠C,ED=CD 22.解：(1)(a-b)2(a+b)2-4ab =(m-2)(x3-y) 又，∠ACB=2∠B, (a+b)-(a-b)°=4ab =(m-2)(x+y)(x-y). ∠AED=2∠B, (2)(2,1)(4,5)(5,2) (2)(a十b)3=a3+b3+3a2b+3ab 19.解：(1)10.2×9.8 ∴∠B=∠BDE, (3)由(2)知：(a+b)=a+b3+3a2b+3ab, =(10+0.2)×(10-0.2) (③)56-3X4-号X1X3-2×4×2 .BEDECD .a3+b2=(a+b)'-(3ab+3ab2)=(a十6)2 =102-0.22 ..AB=AE+BE=AC+CD. 3ab(a+b). =100-0.04 (2)AB-CD+AC. 2×1×3=5, ,a十b=3,ab=1, =99.96. (3)AB=CD一AC,理由如下 19.解：(1)证明：，CE∥AB, .a3+b3-32-3×1×3-18, (2)(y+2)(y-2)-(y-1) ,∠B=∠ECD 在AF上截取AG=AC,连 在△ABC与△DCE中， :0+6 =9. =y2-4-(y2-2y+1) 接DG,如图所示. =y2-4-y2+2y-1 AB=DC. 23.解：(1)DE=BF,理由如下： ,AD为∠FAC的平分线 =2y-5. ∠B=∠ECD, ,△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等 20.解：原式=十1二2.a十1=a-1, .∠GAD=∠CAD a+1 BC=CE, 在△ADG和△ADC中， 腰三角形， a+1 a-1)-a+1(a-1) ∴.△ABC≌△DCE(SAS). ∴∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE, AD=CD.AD=EF,..CD=EF, 【尝试探究】 10.65 :∠A=∠CBE, (1)180°-2a 11.证明：∠1=∠2， ∴.∠A=∠ECB=∠DCA=∠CBE (2)3=2a.理由如下： ∴.∠1+∠EBD=∠2+∠EBD, ADCE,DC∥BE, ,∠1=∠2，∠3=∠4 ·∠ABD=∠EBC. ∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB. ∴.∠ABC=180°-2∠2， 在△ABD和△EBC中， 在△DCE和△FEB中， ∠BCD=180°-2∠3， (∠ABD=∠EBC, '.∠BEC=∠ABC-∠BCD BD=BC. (CD-EF, 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10米， ∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB, =(180°-2∠2)-(180°-2∠3) ∠D=∠C A∠DCE=∠FEB CE=EB, ∠MON■2∠AOB=2×30°=60°， ■2（∠3-∠2）=3. .△ABD≌△EBC(ASA) ∴，△MON为等边三角形， :∠BOC=∠3-∠2=a, 12.30°或70°或80 ∴.△DCE≌△FEB(SAS), 即NM=ON=OP=10米. .8=2a. 13,解：(1)当两个三角形都为锐角（或钝角或直角）三 ..DE-BF 即△PQR周长的最小值为10米， 角形时，这两个三角形金等，如图①所示（以锐角 (2)∠BGE=2∠GBC,理由如下： 易错专项训练卷（一） 3 三角形为例) 由(I)可知：∠A=∠ECB=∠CBE=a,△DCE≌ 13.解：1)3 十2的“互联分式”，理由如下： 三角形和全等三角形中易错题常见类型 △FEB, 3 3 ∴·∠DEC=∠GBE. x+2x+5 1.D2.B3.C _3(z+5)-3(x+2) 4.解：(1)∠A=100, ∠GBE=∠CBE-∠GBC=a-∠GBC, (x+2)(x+5) ∴.∠B十∠C=80°. .∠DEC=a-∠GBC. ∠B-∠C=20°， ∠BGE+∠DEC+∠EFG=180°，∠ECB+ =(x+2)(x+5)1 ∴.∠B=50°，∠C=30 ∠GBC+∠CFB=180°， 已知：AB=A'B,BC=B'C',AD⊥BC,A'D'⊥ 3 3 (2)∠A:∠B:∠C=2:3￥4， B'C',且AD-A'D 又：∠EFG=∠CFB, x+2”x+5(x+2)(x+5 ∴.设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x 求证：△ABC≌△A'B'C ∴.∠BGE+∠DEC=∠ECB+∠GBC, 3 3 :∠A+∠B+∠C=180°， 证明：在Rt△ABD和Rt△A'BD'中 ∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC, +2+5+2 .2x+3.x+4x=180°， AB=A'B', ,∴.∠BGE=2∠GBC 3 3 解得x=20°， 小十5是，十2的“互联分式” AD=A'D', ∠A的度数为40 专项训练卷（三）数学文化、 所以Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL), 跨学科与应用意识 (2)设+2。 十5的“互联分式”为N, 8:∠A=号∠B-C. 所以∠B=∠B', 在△ABC和△AB'C'中， 0+5W-t+2 x+2 .设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x 1.D2.C3.D4.A5.A6.C 5XN, (AB-A'B' :∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠B', 7名9-空1成64 号+N- ∴.x+2x+3x-180°， BC=B'C', x+5 解得x=30°， 所以△ABC≌△A'B'C(SAS). 9.(3,2)10.3n+2 ∴.∠A的度数为30°，∠B的度数为60°，∠C的度 (2)当两个三角形不都是锐角（或钝角或直角）三 11.解：(1)0.2nm=0.2×10-9m=2×10-10m. N号 数为90°.∴这是一个直角三角形 角形时，这两个三角形不全等，如图②所示， (2),4.5cm=0.045m=4.5×10-*m, .(4.5×10-2)÷(2×10)=2.25×10 计号的互联分式”为 (4):∠B-∠A=∠C-∠B, 2x+71 .∠A+∠C=2∠B. 答：最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的 (@限银超意可行化十名加十名十山十。 又：∠A+∠C+∠B=180°， 2.25×10倍. .3∠B=180°， 12.解：(1)①如图①所示，点P即为所求的点 a .∠B=60 4 解得 5.C 2 3 6.解：甲的说法对，乙的说法不对，理由如下： 6= 已知：AB=A'B',BC=B'C,CD⊥AB,C'D'⊥ :当0取900时，900°=(n-2)×180°， A'B',且CD=CD',但△ABC与△A'BC明是 解得n=7: 不全等， 当8取800时，800°=(#-2)×180°， 14.解：【数学推理】证明：：OM⊥ON, 故两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形 ∠CON=90°， 解得n=5 9 不一定全等 ②④8 .∠2+∠3=909 ,拉为整数， (2)如图②所示，分别作点P关于OA,OB的对 易错专项训练卷（二）轴对称中易错题 .∠1=∠2，∠3=∠4， .0不能取800 称点M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,OB .∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 常见类型 甲的说法对，边数n是7，乙的说法不对， 于点Q,R,连接PR,PQ,此时△PQR周长的最 .∠DCB+∠ABC=180°， 7.A8.A 1.C 小值等于MN的长. ..AB//CD. 9.∠CAB=∠DAB(答案不唯一) 2.C