专项训练卷(3)阅读理解、探究拓展与数学文化-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(沪科版·新教材)

优密卷人年级上册数学·☐ 3.在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从5.阅读理解 专项训练卷（三） 点(x,y)移动到点(x十2，y十1)称为一次甲方式移动；从点 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法。 阅读理解、探究拓展与数学文化 (x,y)移动到点(x十1，y十3)称为一次乙方式移动. 例如：在△ABC中，AB>AC(如图①所示)，怎样证明 (1)若原点O经过两次甲方式移动，得到点M:原点O经过 ∠C>∠B呢？ 两次乙方式移动，得到点N,设过点M,N的直线为l1,求 思路： 1.数学文化围棋，起源于中国，古代称为“弈”，如图所示的是某 证明：作AD平分∠BAC交BC于点 直线L1的表达式 把AC沿∠A的平分线AD 围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的， D,在AB上裁取AC-AC,连接CD. (2)若原点O连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移 霸折，如图②所示 棋盘上A,B两颗棋子的坐标分别为A(一2,4)，B(1,2). :AD平分∠BAC,∴.∠CAD 因为AB>AC, 动)，最终移动到点Q.试说明：无论每次按甲方式还是乙方 ∠CAD. (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系 所以点C落在AB上的点 式移动，最终点Q都落在一条确定的直线上，设这条直线为 又AD=AD.∴.△ACD2△ACD.(SAS (2)分别写出C,D两颗棋子的坐标 C处 2,请求出直线2的表达式。 ,∠ACD=∠C 于是，由∠AC'D>∠B 弥 (3)有一颗黑色棋子E的坐标为(3，一1)，请在图中画出黑 ∠AC'D>∠B,∴∠C>∠B. 可得∠C>∠B. 色棋子E. 解决问题 在△ABC中，∠B=2∠C,D为线段BC上一点 (1)如图③所示，当AD⊥BC时，求证：AB十BD=DC. (2)如图④所示，当AD平分∠BAC时，判断AB,BD和 AC的数量关系并证明。 封 4,在平面直角坐标系中，对于任意两点P:(x1,y1), 2.(宿州萧县期末)在△ABC中，若最大内角是最小内角的m P(x2y),给出如下定义：。 倍(n为大于1的整数)，则称△ABC为n倍角三角形.例 将点P1与P,的“变倍距离”记为d(P1,P), 如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则称 若x1一x≥|为-y:,则d(P1,P:)=5|x1-x2|+ △ABC为6倍角三角形 4yy:7 (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则△ABC为 若1x1-x<y1-y2|,则d(P1,Pz)=4|x1-x2|十 倍角三角形。 3ly-y:l. 线 (2)若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数： 例如：点M(-1,5)与N(2,4)的“变倍距离”d(M,N)=5× (3)如图所示，点E在DF上，BE交AD于点C,AB=AD, 3+4×1=19. ∠BAD=∠EAF,∠B=∠D=25°，∠F=75°，找出图中所 已知点A(2,0) (1)若点B(0,2),C(0,-3),则d(A,B)= d(A, 有的倍角三角形，并写出它是几倍角三角形， C)= (2)点D在y轴负半轴上，且d(A,D)=15,求点D的 坐标 -29 6.数学文化《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①所示）出现于「7.【问题情境】 8.问题提出： 汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①所示， 如图①所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA, 匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀 OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP 直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B作 速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小 垂足为C,延长AC交ON于点B,可根据 证明 BE⊥ED于点E,可得△BEC≌△CDA. 组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究 △AOC≌△BOC,则AO=BO,AC=BC(即点C为AB的 问题探究： 研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为 中点) 如图②所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=x十1的 120cm),得到如表： 【类比解答】 图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,以AB为腰在第二 供水时间xh 0 4 6 如图②所示，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点 E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可 象限作等腰直角△ABC,∠BAC=90°，求点C的坐标. 箭尺读数y/cm 6 18304254 求得∠DAE= 拓展应用： 【拓展延伸】 古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于 浮商漏示意图 (1)如图③所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD 2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运 箭尺 供水壶 平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究 营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在 18 BE和CD的数量关系，并证明你的结论： 修建中.如图③所示，地铁某线路原计划按OA一AB的方向 接水壶- 123456789M (2)如图④所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D 施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕 2 开此区域.经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针 (1)如图②所示，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间 在线段BC上，∠EDB= ∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与 方向旋转45至AC或AD方向，则可以绕开此区域.已知 x(h),纵轴表示箭尺读数y(cm),描出以表格中数据为坐标 AB相交于点F.线段BE与FD的数量关系为 OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千 的各点，并连线。 (直接写出) 米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线 (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的 y=一2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的 函数（填“正比例”或“一次”），通过计算我们发现该 表达式. 函数表达式为y=6x十b,请结合表格数据，求出b的值. (3)应用上述得到的规律计算 ①供水时间达到11h时，箭尺的读数为多少厘米？ , ②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺 读数为90cm时是几点钟？ 30“此时A种木盒的销售单价是36元，B种木盒的销售单 解得x=45, .AF=OC=y,D'F=QA=1, 价是18元，最大利润是3300元. 最小内角的度数为36成45， .D(-y-1,1), 18,解：(1)证明：：∠ACB=∠DCE一g, (3)∠BAD=∠EAF,∠BAE=∠DAF .∠ACD=∠BCE 在△BAE和△DAF中， CD的中点坐标为（仁，） 在△ACD和△BCE中， ∠BAE-∠DAF,AB-AD,∠B-∠D, CA-CB,∠ACD=∠BCE,CD-CE, 6.解：(1)描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图 ∴△BAE≌△DAF,(ASA)∴.AE=AF 由愿意可知(，士)在直线AB上， ∴△ACD△BCE,(SAS) ∠F=75,∠EAF=180°-76×2=30， 所示 .BE=AD. ∴.∠BAD=∠EAF=30°. 安-(-2x(）-2 2 (2)△ACD≌△BCE ∠B=25',.∠ACB-180-∠B-∠BAD=125 解得y=3, ∠CAD ∠CBE :125÷25=5,△ABC为5倍角三角形， ∴，C(0,3),D'(-4,1). :在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-a, ,∠D=25,∠DCE=∠ACB=125 设AC的表达式为y-1r+b1 ”,BAM+/ABM=1B0"- .∠CED= 180°-∠D DCE=30 “在△ABM中.∠AMB=180 (180°-a)=a, ,125°÷25=5，∴.△DEC为5倍角三角形. b=3, (3)△CPQ为等樱直角三角形. ∴.图中的m倍角三角形有△ABC和△DEC,它们都是5倍 ,y=3x+3 证明：由(1)，得BE一AD 角三角形 设AD的表达式为y=k:x十b:, :AD,BE的中点分别为点P,Q, 3.解：(1)原点O经过一次甲方式移动得到(2,1)，(2,1)经过 123456789n .AP=BQ. (2)一次 次甲方式移出指到M(4,2》 k:=一 ·AACDS2A月CF 原点0经过一次乙方式移动得到(1,3)，(1,3)经过一次乙 :所对应的函数表达式是y=6十b, ∴.∠CAP-∠CBQ ,.将〔0,6)代入，想5=6. 1=一4：+b2 方式移动得到N(2,6). 62= 在△ACP和△BCQ中 设直线MN的表达式为y=ex十b (3)由(2)知函数表达式是y=6x+8. CA=CB,∠CAP=∠CBQ,AP=BQ D当x=11时，y=6×11+6=72, y=- I-3 △ACPa△BCQ.(SAS) 1b=10, .供水时间达到11h时，箭尺的读数为72cm ..CP=CO,且∠ACP=∠CO ,直线1的表达式为 ②当y-90时，即6x+6-90. 又∠ACP+∠PCB=0°， (2)设原点O按甲方式移动舞次，则按乙方式移动(10 解得x=14, ∴∠BCQ+∠PCB-90', 脚经过14h,箭尺读数为g0cm, )次 ../PC0=90 原点O按甲方式移动次后得到点(2m,),点(2n,n按 本次实验记录的开始时阿是上午8：00 .△CPQ为等腰直角三角形 :当箭尺读数为90cm时是22：00. 乙方式移动(10一N)次后得到点Q(十10,30一2m), 19,解：(1)由题意得m-0,y-0, Z,解：【问题情境】ASA 设=W十10，=302相 ma=10,M-50..10l-50a,.1=5a =30 2( 100= 2x+50 【类比解答】26 易错专项训练卷（一） (2)由题意，得m一1000，y=50, ,无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在 【拓展延伸11)BE=一CD, ,.(10+1000)1-50(a十50)，.1011-5a=250, 条确定的直线￥ =2r+50上， 一次函数中易错题常见类型 01-5a=250.解得{-0.5， (3)由D(2)可得-5a .直线4的表达式为y=一2x+50, 证明，如图所示，延长BE,CA交 l=2.5. 点F，期∠BAF 1801 4.解：1)1817 1.C2.-42 (4)由(3)可知11-2,5，a=0.5, (2)设D(0,y),y<0, ∠BAC=90. :BE⊥CD 3.解：(1)根据一次函数的定义，得2一m一1 2.5(10+m)=50(0.5+yy=20m 当-2≤y<0时，2 y 餐得m=土】. .∠BED=90°=∠BAC d(A,D)=5×2十4×(-y)=15, 又，m一1≠0，即m≠1， ∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC (5)由(4)可知：y=20m当m=0时，则有y=0:当 y=一 ∠ABF=∠ACD. “.当m一一1，？为任意实数时，这个雨数是一次函数 (2》根据正比的数的定义，利2一：=】.W+40 m=100时，则有y=5:当m=200时，则有y=10:当m 当y<-2时，2<-y, 又AB=AC, 解得口士】。州=一4。 300村，有v=15斯网=4D0对，有v=20:当m=500 d(A,D)-4×2-3y-15, △ABF2△ACD,(ASA),BF-CD, 又：m一1≠0，即m≠1 时，则有y-25:当m-600时，则有y-30:当m-700时 由【问题情境】可知，BE一FE一 ∴，当m=一1，m=一4时，这个函数是正比例函数 则有y=35:当m=800时，则有y=40:当m=900时，则 y=- 3 BF.:BE-7CD. 4.解：(1)：y随x的增大而增大， 有y=45,当m=1000时，则有y=501 ∴1-2m>0 ,相邻刻线间的距离为5厘米 D(o.-5)成(0.-) (2)BE-FD 5.解：(1)证明：如图①所示，在DC上截取DE=BD,连 8.解：问愿探究 专项训练卷（三）阅读理解、探究拓展 接AE 与数学文化 y-5x+1 "'AD3C。,AB=AE。∠A月D=AED 当m<时，随x的增大而增大 当x=0时y=1山 1,解：(1)建立如图所示的直角坐标系 ,∠ABD=2∠C,∠AED=2∠C. (2):一次函数y=(1一2mx十m+1的图象经过第一 当y=0时时，里=一5： ,四象限 (2)点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为（一2，一1）. ∠AED=∠C+∠EAC,∠C=∠EAC 'E=AEAB。 .A(-5,0),B(0,1) (3)如图所示，点E即为所求 :1-2m<0, :.CD=EC+DE=AB+BD. ∴0A=5,0B-1 w+1>0, (2)AB+BD AC. 过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D,图略 证明：如图②所示，在AC上截取AF=AB,连接DF 可证得△AOB≌△CDA,(AAS) 解得m> 2 AD是∠BAC的平分线 .AD=0DB=1,CD=0A=5, ∴∠BAD=∠FAD. .0D■0A+DA=6. 六当m>2时，一次函数y=1一2m)x十m十1的象经 (AB-AF, ∴C(-6,5). 过第一，二、四象限 在△ABD和△AFD中 ∠BAD=∠FAD 拓晨应用： (3)一次函数y-(1一2m)x十m+1的图象与y轴的交 AD=AD. 由题意，得A(一1.0) 点在x轴的上方 2.解：(1)3 ∴，△ABD2△AFD,(SAS) ,射线AB与直线y=一2x平行， (2》设最小内角的度数为x°，则最大角为2x°， ∠AFD- ∠B-2∠C,BD-DF 设直线AB的表达式为y=一2x十 当量小角是等授三角形的顶角时。则底角为2x“, ,∠AFD=∠C+∠FDC, 则0=(-2)×（一1）+b,解得b=-2 得2x+2x十x-180 .∠FDC=C. 。V一27一2， 新得m>-1且m≠字 解得x-36. ∴FC-FD-BD 如图所示，延长AC交y轴于点C,瑶长AD至点D',使 ∴.AC=AF+FC=AB+BD. AD-AC',设C(0y),过点D作DF⊥x轴于点F 当m>一1且m≠时，一次函数y=(1一2m)x十m十1 当最小角是等腰三角形的底角时，测底角为x°， 得2x+x+x=180, 由问题费出可知△COA≌△AFD'(AAS), 的图象与y轴的交点在x轴的上方