第27章 圆（单元测试·基础卷）数学华东师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 2．（本题3分）如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 3．（本题3分）如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．（本题3分）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦． 12．（本题3分）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 14．（本题3分）如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 17．（本题8分）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 18．（本题8分）如图，已知圆，弦、相交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 19．（本题9分）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 20．（本题9分）如图，内接于，为直径，平分B交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 21．（本题10分）如图，是的外接圆，是的切线，切点分别为， (1)求证：； (2)连接，与交于点，连接．若，求的值． 22．（本题11分）综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 23．（本题13分）【问题情境】如图，P是外的一点，直线分别交于点A、B．小明认为线段是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点A的点C，连接，则有，即，由得，即，从而得出线段是点P到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点P到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】如图3，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值______． 【深度运用】如图，已知点C在以为直径，O为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是关键．设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，可表示扇形的面积，根据二次函数的性质即可判定选项C满足题意． 【详解】解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为，则扇形的面积为： S， ， 由二次函数的图象与性质可知，当时，扇形面积取到最大值， ． 故选：C． 2．（本题3分）如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，学会利用垂径定理和勾股定理求线段的长度是解题的关键． 先利用垂径定理得到的长，再设圆的半径为x米，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出x的值即可解答． 【详解】解：由题意得，且过圆心O， ∴米， 设圆的半径为x米，则米， 在中，， ∴ 解得， ∴圆的半径为米． 故选：B． 3．（本题3分）如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、直径所对圆周角的性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据圆的切线性质、直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形的性质来逐一分析选项即可得到解答． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴ ，即，故A项正确，不符合题意． ∵ 是过点的切线，是直径， ∴ ，即，故B项正确，不符合题意． ∵ ，，， ∴ ，但，，所以，故C项错误，符合题意． ∵， ∴ ，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 4．（本题3分）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的度数，由圆的内接四边形对角互补可得，又由可得，从而可得的度数． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形求角度，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ． 故选：B． 5．（本题3分）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 6．（本题3分）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（本题3分）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 8．（本题3分）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 9．（本题3分）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接， 则：为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 12．（本题3分）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 【答案】 【分析】首先确定点的坐标，再根据旋转推导出4次一个循环，再计算经过第2024次旋转后点的坐标即可；本题考查了正多边形的性质，规律型问题，旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点重合，轴， ∴， ∴， ∴; ∵每次旋转，， ∴4次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理． 过点作,画出内切圆，利用切线长定理表示出相等的线段，假设，利用列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作,画出内切圆， 根据切线长定理得，， 又∵， ∴， 即， 假设，则,， ∴， 解得， ， 故答案为：7． 15．（本题3分）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 17．（本题8分）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为，所以，即．结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 18．（本题8分）如图，已知圆，弦、相交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查三角形相似的判定，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等，证明，进而即可得到结论； （2）连接并延长，连接，，证明，再利用等量关系即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 即． （2）解：连接并延长，交圆于点、，连接，， ，， ， ． 19．（本题9分）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 20．（本题9分）如图，内接于，为直径，平分B交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、圆周角定理、勾股定理以及扇形和三角形面积的计算，解题的关键是利用角平分线的性质得到弧的关系，结合平行线的性质证明切线，再通过直角三角形的边长求出圆的半径，进而计算阴影部分面积． （1）连接半径利用角平分线性质得出等弧，进而得到圆心角；结合推出，证明垂直于半径从而判定为切线． （2）由为直径可知，用勾股定理求出的长，得到圆的半径；根据（1）中，用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，              又∵是半径， ∴为的切线． （2） 解：由题意可得：， ∴，    ∵， ． 21．（本题10分）如图，是的外接圆，是的切线，切点分别为， (1)求证：； (2)连接，与交于点，连接．若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要利用相似三角形的性质和切线的性质来证明相似性和求解线段比例，其中还会用到等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想以及平行线的性质，掌握相似三角形的性质和切线的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，由点O为外心得，由切线性质可得，通过平行线的性质和等腰三角形的性质可推出即可得到； （2）过点作，交于点，过作，交延长线于点，根据题目条件，，设，，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质和勾股定理可以表示出，且，最后根据相似三角形性质表示出长度求比值即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点是的外心，， ， 是的切线， ， ． ， ， ， 即， ； （2）解：过点作，交于点，过作，交延长线于点， ， ， ∴， ， 设，则，， 是的切线， 垂直平分，即是的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 22．（本题11分）综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 【答案】[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]： 【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可； [实践探索]同理可得结论； [迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答． 【详解】[素材] 解：如图1，设交圆于点C，连接， ∵， ∴； [实践探索] 证明：如图2，设交于C， ∵， ∴， ∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时； [迁移应用] 解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接， 由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时， ∵点，点， . ∴， ∴.， ∵ ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线． 23．（本题13分）【问题情境】如图，P是外的一点，直线分别交于点A、B．小明认为线段是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点A的点C，连接，则有，即，由得，即，从而得出线段是点P到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点P到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值______． 【深度运用】 如图，已知点C在以为直径，O为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】【问题情境】：正确，理由见解析；【直接运用】：；【构造运用】：；【深度运用】： 【分析】本题考查了三角形三边关系、勾股定理、折叠性质、菱形的性质、解直角三角形相关计算、圆周角定理、等边三角形性质、全等三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． ①【问题情境】：在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可． ②【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； ③【构造运用】：结合折叠性质可得到点都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上， 过点作于点，利用菱形的性质、解直角三角形相关计算、勾股定理求出，即可解题； ④【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，利用圆周角定理、等边三角形性质、全等三角形性质和判定推出点在以为直径的半圆上，再结合勾股定理与三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：①【问题情境】：小红的说法正确， 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴，即． ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； ②【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ， ∴的最小值为：， 故答案为：． ③【构造运用】：由折叠知， ∵是的中点， ∴点都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为4的菱形中，为的中点， ， ； ④【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∵和都是等边三角形， ， 即， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第章 (参考答案) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 3 4 5 6 8 9 10 C B B A D B D A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.②③ 12.6 13.(1,5) 14.7 15.10 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题7分) 【详解】(1)解：如图，△AB1C1即为所求： 5 3 2 B +1 5432-19 C(3,-4), 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到C1(3+1,-4+5),即C1(4,1); (2)解：如图，△A2BC2即为所求，C2(-1,4); 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 3 卫 B 5-4-3-2-10 3 (3)解：0C1=V12+4=17, 点C1旋转到点C,的过程中，所经过的路径长为。票=乎 2π 17.(本题8分) 【详解】(1)证明：AB=CD, AB=CD' AB+AD CD +AD' 即BD=AC ∴AC=BD: (2)连接OB、OC、BC,并作直线E0, A AB=CD, AB=CD' ∴∠ACB=∠DBC, ∴EB=EC, ×0B=0C, E、O都在BC的垂直平分线上， ∴EO⊥BC 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(本题8分) 【详解】(1)解：：∠A=∠C,∠D=∠B, ÷△ADM∽△CBM 器=器， 即AM·MB=CM·MD. (2)解：连接OM并延长，交圆O于点E、F,连接AF,BE '∠A=∠E,∠F=∠B, .△AFM△EBM ·器=器， :AM·MB=EM·MF=(3-2)×(3+2)=5. B M F 19.(本题9分) 【详解】(1)解：r=20cm,h=20W15cm. 流Rt△AOB中，由与散定，得数1=+乎-202+2oW可-c S回骏全=πr2+πrl=202π+20×80π=2000元(cm2: (2)解：设扇形的圆心角为n.由(1)知，1=80cm, 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为2πr=2×20π=40π， 0=40m, 解得n=90,即△EAA是等腰直角三角形. 在Rt△AEA中，由勾股定理，得AA=VAE2+AE2=V802+802=802(cm, 蚂蚁爬行的最短距离为80y2cm: 3/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B h 20.(本题9分) E D :CD平分∠ACB, ÷∠ACD=∠BCD, AD=BD' LA0D=∠B0D=专∠A0B=青X180°=90°， 又DE‖AB, ∠0DE=∠B0D=90°， DE⊥OD, 又~OD是半径， ∴DE为⊙O的切线 (2) 解：由题意可得：AB=VAC2+BC=V⑧2+6=10， 0D=0A=AB=5, ∠A0D=90°， S明s=SA0p-SA0D=29%器-专×5×5=孕π-2空， 360 21.(本题10分) 4/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：连接AO并延长交BC于点E, E 点O是△ABC的外心，AB=AC, ·AE⊥BC, :DA,DC是⊙O的切线， ·AE⊥AD,DA=DC, ·ADBC,∠DAC=∠DCA. ÷∠DAC=∠ACB, AB=AC, ÷∠B=∠ACB, 即∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA, ·△ABC△DAC: (2)解：过点P作PF⊥BC,交BC于点F,过D作OMLBC,交BC延长线于点M, :△ABC∽△DAC, …能-形， ∴AC2=BCCD, :器=， :设CD=3x,则BC=4x,AB=AC=2W3x,AD=CD=3x, :DA,DC是⊙O的切线， :OD垂直平分AC,即P是AC的中点， ÷PA=PC=V3x, 5/10 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :DM⊥BCAE⊥AD,AE⊥BC, ∠DME=∠DAE=∠AEM=90o, :四边形AEMD是矩形， ÷EM=AD=3x,AE=DM, :AE⊥BC,AB=AC, :.BE=EC=BC=2x, .CM=EM-EC=x.DM=AE=AC2-EC2=22x. ·BM=BE+EM=5x BD=DM2+BM2=33x, :PF⊥BC, ÷∠PFC=90°=∠AEC, :∠PCF=∠ACE, ·△PCFM△ACE, …器=影=彤， :P是AC的中点， .AC=2AP, EC=2FC,AE=2PF, :.FC=x,BF=3x,PF=2x. :BP=VPF2+BF2=V11x. “器=V=, 故答案为：车。 22.(本题11分) 【详解】[素材灯 解：如图1，设PB交圆于点C,连接CQ, 6/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B 图1 ~∠PAQ=∠PCQ,∠PCQ=∠PBQ+∠BQC>∠PBQ, ∠PAQ>∠PBQ: [实践探索] 证明：如图2，设PM交⊙0于C, 图2 ~∠PAQ=∠PCQ,∠PCQ=∠PMQ+∠MQC>∠PMQ, ∠PAQ>∠PMQ, 线段PQ为弦作⊙O,恰与直线1相切，切点为A, 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时∠PAQ>∠PMQ; [迁移应用] 解：如图3，以PQ为弦作⊙M,过点M作MN⊥PQ于N,连接MAMP, 图3 [实践探索]可知：当⊙M与y轴相切，且切点为A时，∠PAQ最大，此时∠OAM=90°， 点P(2,0),点Q(6,0),. 0P=2,0Q=6, .PQ=4, 7110 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MN⊥PQ .PN=NQ=2, '∠A0N=∠ONM=∠OAM=90° 四边形AONM是矩形， ∴AM=0N=2+2=4=PM, 由勾股定理得：MN=V42-2=2V5, 点4的坐标为0,23】 【点晴】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的 性质，勾股定理，矩形的判定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线 23.(本题13分) 【详解】解：①【问题情境】：小红的说法正确， 在圆0上任意取一个不同于点B的点C,连接0C、OP, 图1 ~在△P0C中，OP+OC>PC,OB=0C, OP+OB>PC,即PB>PC 线段PB是点P到圆O上各点的距离中最长的线段， 小红的说法正确： ②【直接运用】：取半圆的圆心O,连接0A交半圆于点M,则当P与点M重合时，PA最小， D B 图3 :∠ACB=90°，AC=BC=4, :0C=2,0C2+AC2=0A3 ·0A=22+42=25, 8/10 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 PA的最小值为：AM=0A-0M=25-2, 故答案为：25-2. D D M 0 图4 图5 ③【构造运用】：由折叠知AM=AM, “M是AD的中点， ÷MA=MA=MD, ∴点A,AD都在以AD为直径的圆上.如图，以点M为圆心，MA为半径画⊙M,连接MC 当AC长度取最小值时，点A在MC上， 过点M作MH⊥DC于点H, D B ~在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD的中点， ·2MD=AD=CD=4,∠HDM=60°， +∠HMD=30°， :HD=专MD=1, :HM=VDM2-DH2=3,HC=5, :MC=VHM2+HC=2W万 ÷AC=MC-MA=2V7-2: ④【深度运用】：如图，在AB的上方作等边△ABH,连接DH,取BH的中点G连接DG 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D “AB是半圆的直径， :∠ACB=90°， ~△ABH和△BCD都是等边三角形， :AB=BH=AH=6,BD=BC=DC∠ABH=∠CBD=60°， 即∠ABC+∠CBH=∠CBH+∠HBD, ·∠ABC=∠HBD, ·△ABC≌△HBD, ·∠BDH=∠ACB=90°， ∴点D在以BH为直径的半圆上， G是BH的中点，AB=AH=BH=6, ·AG⊥BH,BG=DG=HG=3 AG=VAB2-BG2=V62-32=35, ~根据三角形的两边之和大于第三边可得AD的最大值为AG+DG=3V3+3, 故答案为：3V3+3. 10/10 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第27章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）如果用定长为的线段围成一个扇形，且使得这个扇形的面积最大，方法应为（    ） A．使扇形的圆心角为 B．使扇形的圆心角为 C．使扇形所在圆的半径等于 D．使扇形所在圆的半径等于 2．（本题3分）如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 3．（本题3分）如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．（本题3分）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）．①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦． 12．（本题3分）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 14．（本题3分）如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 17．（本题8分）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 18．（本题8分）如图，已知圆，弦、相交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 19．（本题9分）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 20．（本题9分）如图，内接于，为直径，平分B交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 21．（本题10分）如图，是的外接圆，是的切线，切点分别为， (1)求证：； (2)连接，与交于点，连接．若，求的值． 22．（本题11分）综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 23．（本题13分）【问题情境】如图，P是外的一点，直线分别交于点A、B．小明认为线段是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点A的点C，连接，则有，即，由得，即，从而得出线段是点P到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点P到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】如图3，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值______． 【深度运用】如图，已知点C在以为直径，O为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $