第26章 二次函数（单元测试·基础卷）数学华东师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 4．（本题3分）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 6．（本题3分）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 7．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：， ，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图所示，在中，，动点在折线段上沿方向以每秒个单位的速度运动，过垂直于的直线交边于点如果，，点运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象的大致形状是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）抛物线与y轴交点位于x轴下方，则 ． 12．（本题3分）已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 13．（本题3分）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 14．（本题3分）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 15．（本题3分）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 17．（本题8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 18．（本题8分）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 19．（本题9分）已知二次函数的图象经过点和且对称轴为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点C，使的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题9分）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 21．（本题10分）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． (1)求函数的零点值； (2)已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 22．（本题11分）二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 23．（本题13分）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 4．（本题3分）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 6．（本题3分）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 7．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：， ，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图所示，在中，，动点在折线段上沿方向以每秒个单位的速度运动，过垂直于的直线交边于点如果，，点运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象的大致形状是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）抛物线与y轴交点位于x轴下方，则 ． 12．（本题3分）已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 13．（本题3分）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 14．（本题3分）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 15．（本题3分）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 17．（本题8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 18．（本题8分）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 19．（本题9分）已知二次函数的图象经过点和且对称轴为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点C，使的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题9分）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 21．（本题10分）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． (1)求函数的零点值； (2)已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 22．（本题11分）二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 23．（本题13分）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章二次函数 (参考答案) 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 3 4 5 6 > 8 9 10 A D D D A B B 马 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-4 12.2023 13.40 14.9 15.8 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题7分) 【详解】(1)解：y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4 故P(1,4) 点C在y轴上 C(0,3) 故答案为：(1,4)，(0,3) (2)如图： -3-2101245x (3)二次函数y=-x2+2x+3的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则：y=-(x-1+1)2+4+3=-x2+7 1/7 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 故答案为：y=-x2+7; (4):0≤y≤3，由图像可得：-1≤x≤0或2≤x≤3； 故答案为：-1≤x≤0或2≤x≤3 17.(本题8分) 【详解】(1)解：由题意知，抛物线顶点为(4,2)， 设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+2, 将(0,0.4)代入得：0.4=16a+2, 解得a=品， :y=-品(x-4)2+2=-品x2+x+号， :抛物线的表达式为y=~品x2+x+: (2)解：当y=1.6时，品x2+x+号=1.6， 解得x=2或x=6, 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为2<x<6, 18.(本题8分) 【详解】解：如图， 设AC=X, :AC+BD=10, .BD=10-AC=10-x, :S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =ACBM+专AC·DM =专AC(BM+DM) =专AC·BD =x(10-x) 217 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-3x2+5x =-(x-5)2+罗， :-克<0， 当x=5时，S四边形ABcD=(x-5)2+罗≤空， :四边形ABCD的面积最大值为孕 19.(本题9分) 【详解】(1)解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 把A(3,2)、B(0,-1)和对称轴x=1代入解析式得， (2=9a+3b+c 1a=1 -1=c b=-2 贵=1 ,解得 (c=-1 :抛物线解析式为y=x2-2x-1; (2)解：：点C在抛物线上， .设C(t,t2-2t-1), :△B0C的面积等于2， ∴S△Boc=支0Bxc=克×1×|t=2, 解得t=士4， 当t=4时，t2-2t-1=16-8-1=7, 当t=-4时，t2-2t-1=16+8-1=23, .C点坐标为(4,7)或(-4,23). 20.(本题9分) 【详解】(1)解：如图， D G D E AF 由题意得：顶点E的坐标为(0,1)，点C的坐标为(6,9)， 3/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+1, 将点C(6,9)代入抛物线对应的函数表达式得：36a十1=9， 解得：a=号， :抛物线对应的函数表达式为：y=x2+1: (2)解：将碗中盛汤，当汤的深度ET为6cm时，即y=7, 号x2+1=7,解得：x1=35,x2=-3V3, “PQ=63, 即汤面的直径PQ长为63cm. 21.(本题10分) 【详解】(1)解：当y=x2-4x+3=0时， 解得x=3或x=1· :.二次函数y=x2-4x+3的零点值为1和3： (2)解：①令y=kx2-(4k+1)x+3k+3=0, 根据题意：[-(4k+1)]2-4×k×(3k+3)>0,即4k2.4k+1>0, 则(2k-1)2>0, 2k-1≠0，解得≠， :y=kx2-(4k+1)x+3k+3是关于x的二次函数， k≠0， 综上，k≠号且k≠0： ②当y=kx2-(4k+1)x+3k+3=0时，(kx-k-1)(x-3)=0, 解得：X=3或x=笑， 二次函数y=kx2-(4k+1)x+3k+3的两个零点都是整数， :x=尝=1+卡是整数， k=士1， 由①可知k≠麦且k≠0： .k=士1. 4/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 22.(本题11分) 【详解】(1)解：：二次函数图象的顶点在原点0， ·设二次函数的解析式为y=ax2, 将点A1,)代入y=ax2得：a=青， “二次函数的解析式为y=寺x2, (2)证明：设P(m寺m习)， :F0,1), PF=m-02+(保m2-12-V3m2+1)2-am2+1, :过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M, :PM⊥HM,且点M在直线y=-1上， .PM=7m2+1, :PF=PM: (3)解：由题意得：H(0,-1), :F0,1), FH=2: :∠HFM=60°， ∠FMH=30°， 由(2)知PM⊥HM,FP=MP; .∠PMF=∠PFM=60°， .∠FPM=60°， :△FPM是等边三角形， :PF=PM=FM, 在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4, :x2+1=4, 解得：x=±23， ：x2=子×12=3， ÷满足条件的点P的坐标为(2W3,3)或(-2W5,3) 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(本题13分) 【详解】(1)解：将A(-1,0),B(3,0)代入抛物线解析式，得： (0=9a+3b+3 (0=a-b+3 解得：a=-1,b=2: (2)解：①由(1)可知，抛物线解析式为：y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3, C(03), 设直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0)， 将B(3,0)代入，得： 3k+3=0, 解得：k=-1, .kBc=-1, :直线川BC, 设1的表达式为：y=-x十m, 联立直线1与抛物线y=-x2+2x+3,得： y=-x2+2x+3 y=-x+m 整理，得：x2-3x十m-3=0, :直线1与抛物线只有一个交点， .△=9-4(m-3)=0, 解得：m=妥， :直线的表达式为：y=-x+安： ②存在，点P的坐标为(，)或()或(-，-)， 理由如下： 设直线！与抛物线的交点为D, (y=-x+ （y=-x2+2x+3 x= 解得： .15 y=军 6/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :D(3) A(-1,0),C(0,3), 直线AC的解析式为：y=3x+3, ·D不在直线AC上， P一定存在， 设P(S,t),然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形ACDP为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，CP和AD互相平分， 又：A(-1,0),C(0,3),D(3) 学-举，举=4 2 :s=,t=, P(3): 第二种情况：当四边形CADP为平行四边形时，CD和AP互相平分， 毕=学，哔=学， :s=易，t=Y, P(3翠)： 第三种情况：当四边形ADCP为平行四边形时，AC和DP互相平分， 梦=学，岁=， “s=-,t=-, P(--): 综上所述，点P的坐标为(，)或(，平)或(-，-) 717 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了二次函数 (a，b，c为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，a和b决定对称轴位置，c决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质判断即可． 【分析】解：∵抛物线， ∴，开口向上， ∴与其开口方向相同、形状相同，位置不同． 故选：A． 2．（本题3分）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，代数式求值．掌握抛物线上点的坐标满足其解析式是解题关键． 由点在抛物线上，可得出，即．再将其代入中即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点． 故选：D． 4．（本题3分）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：C． 5．（本题3分）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 6．（本题3分）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 8．（本题3分）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：， ，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 9．（本题3分）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（本题3分）如图所示，在中，，动点在折线段上沿方向以每秒个单位的速度运动，过垂直于的直线交边于点如果，，点运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象的大致形状是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 分点D在上、点D在上运动时两种情况，分别求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，． 当点D在上，即时，， ∴在中，， ， ∴， 即，该函数为开口向上的抛物线； 当点D在上，即时，，   ， ∴， ∴，， ∴在中，， ， ∴， ∴， 即，该函数为开口向下的抛物线 综上所述，B选项的图象符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）抛物线与y轴交点位于x轴下方，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及抛物线与轴交点的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．先根据抛物线的定义确定的取值范围，再根据抛物线与轴交点的位置进一步确定的值． 【详解】解：∵函数是抛物线， ∴且． 由，得，即或； 由，得． 当时，， ∵抛物线与轴交点位于轴下方， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 13．（本题3分）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 14．（本题3分）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 15．（本题3分）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) (4)或； 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， （2）如图： （3）二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； （4）∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 17．（本题8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 18．（本题8分）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，二次函数的最值问题，三角形的面积，熟练根据题意列出四边形的面积关于的函数关系式是解题的关键．设，则，利用得出，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 19．（本题9分）已知二次函数的图象经过点和且对称轴为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点C，使的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，C点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把、和对称轴代入解析式组成方程组求解即可； （2）根据抛物线解析式设，根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 把、和对称轴代入解析式得， ，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点C在抛物线上， ∴设， ∵的面积等于2， ∴， 解得， 当时，， 当时，， ∴C点坐标为或． 20．（本题9分）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）由题意可得顶点的坐标为，点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，将点代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； （2）把代入（1）解析式可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 21．（本题10分）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． (1)求函数的零点值； (2)已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 【答案】(1)和3 (2)①且；② 【分析】本题考查了二次函数相关知识及一元二次方程，理解零点值的定义、掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）令，求解二次方程即可得到二次函数的零点值； （2）①令，根据函数有两个不重合的零点时，即有两个不相等的实数根，对应一元二次方程的判别式大于0，列出不等式求解，再结合二次函数的定义即可解答；②令，对得到的二次方程进行因式分解，求出两个根，根据两根是整数即可求出k的值． 【详解】（1）解：当时， 解得或． ∴二次函数的零点值为和3； （2）解：①令， 根据题意：，即， 则， ∴，解得， ∵是关于x的二次函数， ∴， 综上，且； ②当时，， 解得：或， ∵二次函数的两个零点都是整数， ∴是整数， ∴， 由①可知且； ∴． 22．（本题11分）二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟悉基本知识，数形结合． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，设点的坐标为；推导出是等边三角形，进而得到，可得关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 二次函数的解析式为； （2）证明：设， ， ， 过点作轴的垂线与直线交于点， ，且点在直线上， ， ； （3）解：由题意得：， ， ． ， ， 由（2）知，； ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 解得：， ， 满足条件的点的坐标为或． 23．（本题13分）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $