精品解析：上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市华师大第一附属中学高三期中考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合．若，则a的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 2. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据共轭复数定义求，再利用复数模的性质求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 3. 若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由焦点落在轴上的双曲线方程渐近线为，即可得，即可求得的值. 【详解】由双曲线（）可知双曲线焦点在轴上，则，得. 故答案为：3. 4. 在 中， ， ， ，则 _____. 【答案】 或 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，可得，化简整理，根据角B的范围，即可得答案. 【详解】由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以或. 故答案为： 或 5. 抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则，先计算得点的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 6. 设，向量且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直求得，结合向量的模长公式运算求解. 【详解】因为，且， 则，解得， 可得，可得， 所以. 故答案为：3. 7. 刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系，求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解. 【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（）， 则由题意，所以，即， 因为，所以， 又，所以，即刘老师总共跑的圈数为8. 故答案为：8 8. 已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 ________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据辅助角公式，可得，根据，可得或，根据正弦型函数的图象与性质，分析可得与间的最小距离为一个周期，根据周期公式，即可得答案. 【详解】由题意得， 因为，且， 所以或， 所以与间的最小距离为一个周期，即， 所以2. 故答案为：2 9. 设函数，则使得成立的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到为奇函数，再利用导数得到在上为增函数，再根据单调性求解不等式即可. 【详解】，定义域为， 因为， 所以为奇函数. 因为，所以在上为增函数. 所以， 即，解得. 故答案为： 10. 等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式可得，由题意可知，令，利用导数求解即可. 【详解】由题意可得， 由题意可知， 令， 则， 由可得，由可得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又因，而， ， 因为，所以数列的最小值为. 故答案为： 11. 已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12. 已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数，_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，分析可得当时，满足要求的元素个数，可得的个数，根据组合数的性质，即可求得答案. 【详解】因为，所以P中元素是中满足且的元素， 对于，则， 所以满足要求的元素有，共有个元素， 所以在不考虑顺序的情况下，共有对， 故. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】直线l的斜率. 因为， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C 14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 15. 已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】依次举反例判断充分性、必要性不成立即可得解. 【详解】当时，满足函数和的定义域都为， 且图象都是连续不断的，也满足“和都是奇函数”， 所以， 又函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的， 所以函数定义域为，且图象是连续不断的， 所以函数是偶函数， 但因为函数，其函数值周期性出现， 于是函数的函数值在之间周期性震荡，如图所示， 所以“不存在最大值或存在最小值”，故充分性不成立； 当时，满足函数和的定义域都为， 且图象都是连续不断的，也满足存在最值， 但此时均不是奇函数，故必要性不成立. 所以“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的既不充分也不必要条件. 故选：D 16. 已知函数，若函数的零点均在区间[a，b]内，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数求和的单调性,，即在上单调递增，, 在上单调递减,再应用零点存在定理确定零点所在区间,根据图像平移即可求得结果. 【详解】由题知 , 所以，，则， 当时，， 当时，，； 当时，，， 当时显然成立， 所以，即在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点， 同理，， 所以，，当，， 所以在上单调递减， 又， ， 所以在有唯一的零点． 则的零点在区间内，的零点在区间内， 所以零点均在区间中的最大值为，的最小值为， 所以的最小值为． 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用导数判断函数的单调性，进而根据零点存在定理求得，的零点所长区间. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. 设 . （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在点处的切线方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解； （2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程. 【小问1详解】 要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 18. 已知椭圆的离心率为 （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程，可得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）设，将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，求出，代入面积公式，化简计算，可得答案. 【小问1详解】 由题意得： ， 所以，则 ， 所以的标准方程为： 【小问2详解】 由题意设 联立，消去 得， 则， 则， 可得， 又直线与轴的交点为 ，且，则， 故， 整理得， 解得（负值舍去）. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行从而得到线面平行，即证明. （2）先根据垂直关系，作出辅助线，找出与平面所成的角，然后根据线段关系求出该角的三角函数，进而求得该角的值. 【小问1详解】 连接交于，连接.如图： 因为底面是菱形，所以为的中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面. 【小问2详解】 如图： 作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 20. 在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为． （1）设数列为，，，，，写出，，的值． （2）若为等比数列，且，求的值． （3）若为等差数列，求出所有可能的数列 【答案】（1），，； （2）243； （3） 【解析】 【分析】（1）根据使得成立的的最大值，即可求得的值； （2）由题意可得，则能得到，，分组求和，即可得到答案； （3）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列 【小问1详解】 由题意可得，则；，则；，则； ∴，，； 【小问2详解】 ∵为等比数列，，，∴， 所以， ∵使得成立的的最大值为， ∴，，，， ，， ∴； 【小问3详解】 由题意得，结合条件，得， 又∵使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为， ∴，，， 设，则， 假设，即，则当时，； 当时，，∴，， ∵为等差数列，∴公差， ∴，其中， 这与矛盾，∴， 又∵，∴， 由为等差数列，得，其中， ∵使得，由，得 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是抓住新定义中使得成立的n的最大值为，可将问题迎刃而解；对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 21. 已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. （1）判断，是否具有性质，不需说明理由； （2）已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 【答案】（1）具有性质 ，不具有性质； （2）（i）； (ii) 若是周期函数，设是 的一个周期， 则 ，这与 矛盾， 所以不是周期函数； （iii）因为具有性质，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾， 令 ， 以下证是以为周期的周期函数，是 的周期， ， 假设存在 ，使得 ， 则 ，矛盾， 所以 所以 ， 所以 具有性质 ，即证. 【解析】 【分析】（1） 根据函数具有性质的定义分别对，进行判断即可； （2）（i）由所给条件直接得出；（ii）假设函数为周期函数，推出矛盾可证明函数不是周期函数；（iii）证明函数具有性质转化为证明为周期函数，再由函数周期的性质化简即可得证. 【小问1详解】 因为 ，其中为周期函数，所以具有性质， 若具有性质，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数， 又由二次函数性质知当且仅当时，取最小值， 这与是周期函数矛盾，所以不具有性质； 【小问2详解】 （i）由，，，可得 ； （ii）略 （iii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市华师大第一附属中学高三期中考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合．若，则a的最大值为_______． 2. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 ______. 3. 若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______． 4. 在 中， ， ， ，则 _____. 5. 抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______． 6. 设，向量且，则______． 7. 刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为_____. 8. 已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 ________. 9. 设函数，则使得成立的的取值范围是__________. 10. 等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 11. 已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 12. 已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数，_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 15. 已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知函数，若函数的零点均在区间[a，b]内，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. 设 . （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在点处的切线方程 18. 已知椭圆的离心率为 （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角. 20. 在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为． （1）设数列为，，，，，写出，，的值． （2）若为等比数列，且，求的值． （3）若为等差数列，求出所有可能的数列 21. 已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. （1）判断，是否具有性质，不需说明理由； （2）已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $