4.3.2等比数列的前n项和公式（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3等比数列 2 等比数列的前n项和 第4章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 印度国际象棋发明者的故事 请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。 国王能满足要求吗？ 情境引入 思考：这个故事蕴含着一个怎样的数学问题呢？ 等比数列的前项和公式 一般化 263 1 21 22 23 设国王一共应该给的麦粒颗数为，则有 . a1=1 , q=2 n 1 2 3 4 5 ...... Sn ...... 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32 2n ...... 猜想公式 小组合作 新知探究 新知探究 首项为1，公比为 的等比数列的前n项和 首项为，公比为的等比数列的前n项和 猜想公式 新知探究 ① - ②作差，得到： 一般地，首项为1，公比为的等比数列的前项和 ① ② 消除相同项 乘公比 证明公式 错位相 减法 当 时，得到： 当 时，得到： 新知探究 两式作差得： 等比数列的前项和公式： 2.注意辨别： 1.乘公比，错位减； 一般地，首项为，公比为的等比数列的前项和 证明公式 新知探究 分析公式 请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？ 同乘 向前错位 作差消项 新知探究 请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？ 同乘 : 向后错两位 分析公式 新知探究 还有没有其它方法来证明等比数列的前项和公式？ 古埃及 提取公因式法 欧几里德法(Euclid) 拉克洛瓦(Lacroix) 已知量 求和公式 首项a1、公比 q（q≠1）与项数n 首项a1、末项an与 公比q（q≠1） 首项a1、公比q＝1 Sn＝na1 如何选择公式能让运算过程更简便呢？ 你能发现等比数列前项和公式的函数特征吗？ +++++ 问题解决 回归故事情境，总共要多少粒麦粒？ 应用公式 问题解决 回归情境 据已有资料，1000粒麦子的质量为40克，麦粒的总质量超过7000亿吨； 按2023年世界小麦年产量7.9亿吨计算，是连续880多年的产量总和. 假想凑齐小麦，则可装满一个长10米、宽8米、高从地球到太阳距离大小的“巨仓”.（地球到太阳的距离大约1.5亿千米） 粮食凑不够 棋盘放不下 指数爆炸式增长的“威力”！ 国王做不到 例1.已知数列是等比数列. (1)若,,求. 典例分析 解： 例1.已知数列是等比数列. 解： 例1.已知数列是等比数列. 解： 由本道例题思考，对于等比数列的相关量,已知几个量就可以确定其他量? 问题解决 例2.已知等比数列的首项为-1，前项和为，若=, 求公比. 注意：一定不要忽略的情况 解法一： 不符合题意。 解法二： 例2.已知等比数列的首项为-1，前项和为，若=, 求公比. =-， 例3.已知等比数列的公比,前n项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比. 证明：当 成等比数列，公比为1. 例3.已知等比数列的公比,前n项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比. 证明：当 成等比数列,公比是 若等比数列的公比，前n项和为S则成等比数列,其中公比为. 等比数列的性质： 练习1.在等比数列中， （1）已知，，求前10项和； （2）已知，求前项和. 解 分析：根据已知条件选择合适的求和公式计算即可. 课堂练习 练习2.等比数列则公比 由题意得 解： 23 解： 问题解决 练习4.我国明代数学家程大位撰写的《算法统宗》中这样一个问题: 三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关， 要见次日行里数，请公仔细算相还。 全程378里路 翻译：一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，这个人第二天走的里程数是多少？ 已知等比数列{an} 中，Sn=378 ， ， ，求a2 . 实际问题 数学问题 问题解决 解得： 注意：Sn , q, n , a1 , an 知三求二 已知等比数列{an} 中，Sn=378， 求 a2 . 解法1： 练习5.已知等比数列 (1) (2) (3) 解法2： 成等比数列 得 将代入式可得 小结作业 错位相减法 公式1 公式2 等比数列的前 项和公式 n 课堂小结 小结作业 作业 1.将古今中外与等比数列求和有关的证明方法制作成一幅手抄报. 必做题 选做题 本节课后练习题. 2.体会“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题中等比数列求和公式的极限思想. 课后作业 感谢聆听! 当时，是一个特殊的指数型函数. 当时，是关于n的一次函数； Lavf58.20.100 (1)，， 所以 (2)由，，可得． 即． 又由，得． 所以． (2)若，，，求； (3)把，，，代入， 得．整理，得．解得． (3)若，，，求． 当时，； 当时，； 当且时, 综上，. 练习3.求和： 记 $