专题08 计数原理与概率统计6大高频考点（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题08 计数原理与概率统计 9大高频考点概览 考点01 统计 考点02 统计案例 考点03 概率 考点04 计数原理 考点05 随机变量及其分布列 考点06 概率与其他知识综合压轴问题 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于表示经济活动扩张，低于表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为：，，则这10个数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把这10个数据按照从小到大的顺序排列，即； 又，所以分位数是第8个数据．故选：D． 2．（24-25高三上·广东·期末）已知样本的标准差为2，平均数为3，则值为（   ） A．35 B．77 C．49 D．91 【答案】D 【详解】由题意，，所以， 又由， 所以， 解得，故选：D 3．（24-25高三上·广东汕头·期末）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知，， 解得，对于A，月均用水量在的频率为， 月均用水量在的频率为， 所以100户居民的月均用水量的中位数在，故A错误； 对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2的用户的频率为 ， 所以100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例为，故B错误； 对于C，由图知，极差的最大值为，最小值为， 所以100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间，故C正确； 对于D，100户居民的月均用水量的平均值为 t，故D错误.故选：C. 二、多选题 4．（24-25高三上·广东·期末）某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（    ） A．极差小于4 B．一定不会出现6 C．众数可能为1 D．中位数可能为3 【答案】BC 【详解】设数据为，且， 因为平均数，方差，可得. 对于选项AC：例如数据为1，1，1，2，5，则，符合题意， 但极差为，众数为1，故A错误，C正确； 对于选项B：假设出现6，由平均数可知其余4个数据均为1，但，这与题意相矛盾， 假设不成立，所以一定不会出现6，故B正确； 对于选项D：假设中位数为3，则， 可得，这与题意相矛盾， 假设不成立，所以中位数不为3，故D错误；故选：BC. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 则（    ） A．销量的极差为3.6 B．销量的第60百分位数为13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为，则 【答案】AC 【详解】将销量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3， 对于A，销量的极差为，A正确； 对于B，由，得销量的分位数是第4位数13.8，B错误； 对于C，销量的平均数， 销量的中位数，则销量的平均数与中位数相等，C正确； 对于D，月份的平均数，回归方程过样本中心点， 即，解得，D错误. 故选：AC 6．（24-25高三上·广东湛江·校考期末）某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（    ） A．这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B．这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C．这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D．这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 【答案】ABC 【详解】对于A，这50位教师12月份的日均得分在的人数为， 日均得分在的人数为， 因此这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25，A正确； 对于B，这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例为： ，B正确； 对于C，这50位教师12月份日均得分的极差属于，C正确； 对于D，这50位教师12月份的日均得分的平均值为： ，D错误．故选：ABC 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知样本数据，其中，由这组数据得到新样本数据，，则（    ） A．两组样本数据的极差一定相等 B．两组样本数据的平均数一定相等 C．两组样本数据的第80百分位数一定相等 D．两组样本数据的方差可能相等 【答案】BD 【详解】对于选项A：例如原数据为，则极差为2， 新数据为，极差为，两者不相等，故A错误； 对于选项B：原数据的平均数为， 新数据的平均数为，所以两组样本数据的平均数一定相等，故B正确； 对于选项C：因为，可知第80百分位数为第4位数， 例如原数据为，则第80百分位数为， 新数据为，则第80百分位数为，两者不相等，故C错误； 对于选项D：例如原数据为，则新数据为， 两组数据完全相同，故方差相同，故D正确；故选：BD. 8．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（    ） 年龄 45 40 36 32 29 28 人数 1 2 1 3 2 1 A．中位数是34 B．众数是32 C．第25百分位数是29 D．平均数为34.3 【答案】BCD 【详解】把10个人的年龄由小到大排列为， 这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确； 由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确； 这组数据的平均数，D正确.故选：BCD 9．（23-24高三上·广东深圳·期末）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确； B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则，解得， ，则这组数据的方差是，B正确； C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C错误； D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误．故选：AB 三、非选择题 10．（24-25高三上·广东·期末）某上市互联网科技公司为节省开支采用了裁员的手段，统计得到近7个月内每月的裁员人数如下：1，2，2，3，4，5，6，则该组样本数据的上四分位数是 ． 【答案】5 【详解】由，可知该组样本数据的上四分位数是5．故答案为：5 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】(1)(2)90（人）(3)众数为，平均数，中位数为. 【详解】（1）根据题意，， 解得. （2）运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） （3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 地 城 考点02 统计案例 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·期末）我们研究成对数据的相关关系，其中，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由可知前9个点在直线上. ∵，∴要使相关性最强，应更接近10，四个选项中最接近.故选：B. 2．（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 【答案】B 【详解】由表可知：，， 因样本中心点必在线性回归直线上，故有， 代入得：，解得.故选：B. 二、多选题 3．（24-25高三上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为13.5 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 【答案】AC 【详解】选项A，因为随机变量X服从正态分布，， 所以，故A正确； 选项B，这组数据总共有10个数，由于，因此第60百分位数为，故B错误； 选项C，因为经验回归方程为，样本中心为， 所以，解得，故C正确. 选项D，因为，当越小时，越小，此时两个变量的相关性越小，故D错误.故选：AC. 三、非选择题 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）某同学收集了变量，的相关数据如下： x 0.5 2 3 3.5 4 5 y 15 为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ． 【答案】69 【详解】因为线性回归方程经过样本点，所以. 因为：，所以. 所以：. 故答案为：69 5．（24-25高三上·广东潮州·期末）“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数，变量，线性相关程度很高，求关于的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据： 【答案】(1)；(2)分布列见解析；. 【详解】（1）由题意，， ，， 故求关于的经验回归方程为. （2）由（1）可列表 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 20.2 17 13.8 10.6 7.4 0.2 1 1.2 1.4 1.4 故可知这5个成对数据中有2个 “次数据”，故的可能值为0，1，2， ，，，故的分布列为 0 1 2 期望为：. 6．（24-25高三上·广东广州·期末）一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 【答案】(1)应选择模型②，理由见详解； (2)①；②第12年活动当日营销成本的预测值最大. 【详解】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残差平方和，所以应选择模型②. （2）（i）对于模型②：，令，可得， 则， 可得，所以关于的经验回归方程为； （ⅱ）由（i）可得：，整理可得， ，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以当时，取到最大值，即取得最大值，所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 7．（24-25高三上·广东广州·期末）治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． (1)补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 (2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；(2)分布列见解析， 【详解】（1）根据已知数据补全列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好， 所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好； （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名， 所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访， 用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有， 则，，所以服从超几何分布列，即 ，故分布列为： 5 6 7 所以． 8．（23-24高三上·广东汕头·期末）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：①男生所占比例为；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人. (1)完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？ 性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 女 合计 (2)（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值. （ⅱ）对于随机事件，，，试分析与的大小关系，并给予证明 参考公式及数据：，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；有关联 (2)（ⅰ），；（ii），证明见解析 【详解】（1）因为男生所占比例为，所以男生有人， 因为不喜欢体育锻炼的学生所占比例为，所以不喜欢体育锻炼的学生有人， 则喜欢体育锻炼的学生有人，又喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人， 所以喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人， 所以列联表如下： 性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 假设：是否喜欢体育锻炼与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立. 即认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联. （2）（ⅰ）依题意，随机抽取的20名学生中，喜欢体育锻炼的男生有人，不喜欢体育锻炼的男生有人， 喜欢体育锻炼的女生有人，不喜欢体育锻炼的女生有人， 事件表示：“在至少有2名男生的条件下，至少有2名男生喜欢体育锻炼”， 事件表示：“2男生1女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少两人喜欢体育锻炼”， 所以，； （ⅰⅰ）对于随机事件，，， 有，证明如下： . 地 城 考点03 概率 一、单选题 1．（23-24高三上·广东佛山·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取出1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件A表示“从第一箱中取出1个零件”，事件B表示“取出的零件是次品”， 则．故选：D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【详解】根据全概率公式可得小张一家去游乐园的概率为．故选：D. 3．（24-25高三上·广东·期末）已知一组数据0，7，2，1，从1到10中的整数里随机选择1个数加入这组数据，则得到的新数据与原数据极差相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数据0，7，2，1的极差为； 从1到10中的整数里随机选择1个数共有10种可能，要使加入数据后其与原数据极差相同，则该数需要小于或等于7，故有7种可能，故概率为；故选：B． 4．（24-25高三上·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种， 质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次； 向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左； 所以质点位于原点左侧共5种移动情况，由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，故选：A. 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故．故选：B 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择， 所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案， 当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案； 当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案； 所以满足要求的不同选择种数为； 所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.故选：C. 二、多选题 7．（24-25高三上·广东·期末）某地质考察队在一片区域内发现了五处具有研究价值的地质构造点，依照初步判断的研究价值高低，分别标记为1，2，3，4，5号点位，每次考察时，随机选择一处地质构造点进行深入研究，选择各点位的概率与该点标记的序号成正比，比例系数为k，设随机变量G表示选择的地质构造点编号，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意可得选择各点位的概率与该点标记的序号成正比， 故，，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，，故D正确．故选:ACD． 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东广州·校考期末）袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 . 【答案】 【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球， 若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为；综上，袋中剩下2个小球的概率为.故答案为： 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）设，，，是圆周上的个等分点，从这个点中任选个，两两相连后得到的三角形是直角三角形的概率为 . 【答案】/ 【详解】由已知个点中选个，可组成直径的有，，共条，则任选个，共有个， 可组成直角三角形的需要为直径的两端点即剩余四点中的一个，共有个， 故概率为，故答案为：. 10．（24-25高三上·广东湛江·期末）袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为 . 【答案】 【详解】设第一次摸到红球为事件,第二次摸到红球为事件, 则,, 所以.故答案为:. 11．（23-24高三上·广东深圳·期末）为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是 . 【答案】 【详解】从这7项项目中随机抽取3项的情况有种， 抽取的3项属同一类的情况有种，抽取的3项包含三类的情况有种， 则符合条件的情况有种，所以所求概率为.故答案为： 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 . 【答案】 【详解】，可得， 若从中任选2个构成两位数，且数，且， 则有共6个， 则十位数字与个位数字不相等的有共5个， 所以的十位数字与个位数字不相等的概率为. 故答案为：. 地 城 考点04 计数原理 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，其他人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种.故选：D. 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【答案】D 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种．故选：D. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法，所以共有种站法，故选：B 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（   ） A．36种 B．60种 C．96种 D．180种 【答案】D 【详解】城东去1人，不同安排方法为（种）； 城东去2人，不同安排方法是（种），所以不同的安排方法共有（种）.故选：D 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】A 【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为 ． 而 的展开式中，通项公式为， 令，求得 ，可得展开式中的系数为， 故选：A． 6．（24-25高三上·广东梅州·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由解得：，则， 所以展开式中的常数项为.故选：D 二、多选题 7．（24-25高三上·广东潮州·期末）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 【答案】AC 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，通项公式为，令可得， 令可得，故，故B错误； 对于C，令可得，令，可得， ，故C正确； 对于D，当时， 所以除以8的余数是1，故D错误．故选：AC 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 【答案】BCD 【详解】A选项：取．有，A错， B选项：展开式二项式系数和为，B对， C选项：由， 则时即为第5项为，C对， D选项：由C选项可知恒成立，D对，故选：BCD. 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为 . 【答案】15 【详解】令，得展开式中各项的系数和为，解得， 则.当时，，所以展开式中含项的系数为.故答案为： 10．（24-25高三上·广东广州期末）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 【答案】401 【详解】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有1种， 所以不同的走法共有（种）. 故答案为：401 11．（23-24高三上·广东潮州·期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答） 【答案】 【详解】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法， 若两个盒子中均放个球，则有种放法， 综上可得一共有种放法. 故答案为： 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】-10 【详解】由题意在中，前面取4个一个2，后面取一个，即可产生含的项， 所以的系数为. 故答案为：-10. 13．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知的展开式中． 的系数为80， 则m的值为 ． 【答案】 【详解】要产生这一项，只能第一个括号中选且第二个括号中选两个和三个， 否则，若第一个括号中选，要保证有，则第二个括号中选三个和两个，但的指数为2，不为4，由题意的系数为，即，解答.故答案为：. 14．（23-24高三上·广东湛江·期末）某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有 种. 【答案】60 【详解】由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种， 因此该套餐的供餐方案共有种.故答案为：60 地 城 考点05 随机变量及其分布列 一、多选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知某市18岁男性市民的身高（单位：cm）近似服从正态分布，且，则（   ） A．该市18岁男性市民的平均身高为172cm B．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过172cm的概率为0.5 C．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为0.7 D．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等 【答案】ABD 【详解】因为正态分布，所以平均数，即A正确； 由正态分布的对称性可判断B正确； 易知，又，所以， 即从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为，C错误； 又因为，所以D正确．故选：ABD． 2．（24-25高三上·广东·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（   ） A．X的分布列为 B．X的方差 C． D． 【答案】BCD 【详解】对A：由题意：随机变量服从超几何分布，即， 所以.故A错误；对B：根据超几何分布的方差的计算公式： ，可得.故B正确； 对C：根据全概率公式，，故C正确； 对D：根据条件概率，可得.故D正确.故选：BCD 3．（24-25高三上·广东广州·校考期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 【答案】AC 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误.故选：AC. 4．（23-24高三上·广东潮州·校考期末）下列说法中正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由，则，即， 则，故B正确； 对于C，因为，则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.故选：BC. 三、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为，且随机变量的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则 ， ． 【答案】 2 2 【详解】将数据1，1，2，3，5，2，1按照从小到大的顺序排列为1，1，1，2，2，3，5， 因为，所以故答案为：2；2. 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． (1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【详解】（1）由题可得小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． （2）由题可知的所有可能取值为20，60，120． 的分布列为 20 60 120 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为1 【详解】（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率为； （2）设小明全家中奖的次数为，则，， ，， ，则的分布列为 0 1 2 3 所以． 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表： 男生 女生 只喜欢羽毛球 0.3 0.3 只喜欢乒乓球 0.25 0.2 既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15 (1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率； (2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析，24. 【详解】（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球， 事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球， 则，， 所以所求的概率. （2）由（1）知从该地中学生中随机抽取1人， 被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率， 因此，所以的分布列为， 期望为. 9．（23-24高三上·广东深圳·期末）在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析；(2)方法2更优(3) 【详解】（1）由题意可知：随机变量， 若，则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 可得． （2）方法1：3个样本需要试验次数为3次； 方法2：以实验次数为随机变量，则的可能取值为1或4， 且，所以， 因为，所以方法2更优． （3）采用方法2，设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量， 则的可能取值为1或4，且， 由已知得解之得．所以的取值范围为． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）用红、黄、蓝、绿、紫五种不同颜色中的若干种给正四棱锥的五个顶点着色，要求相邻两个顶点的颜色不同． (1)记“给顶点A、C涂不同的颜色”为事件M，“完成全部顶点的着色用了4种不同的颜色”为事件N，求． (2)设完成全部顶点的着色所用的颜色种数为X，求X的概率分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）计算事件N的情况数：先从5种颜色里选4种颜色有，设所选的4种颜色为，设顶点P有4种涂法，假设涂a，顶点A有3种涂法，假设A涂b,顶点B有2种涂法， 假设B涂c，顶点C有2种涂法（因为不能与A同色且能与B同色），顶点D有1种涂法 （因为不能与C同时且不能与P同色）. 根据分步计数原理，事件N的情况数为种情况.计算事件的情况数：设所选的4种颜色为，设顶点P有4种涂法， 假设涂a，顶点A有3种涂法，假设A涂b,顶点B有2种涂法，假设B涂c， 顶点C有1种涂法（因为不能与A同色），顶点D有1种涂法（因为不能与C同时且不能与P同色）. 根据分布计数原理，事件的情况数为种情况. 所以 （2）由题至少用三种颜色才能完成涂色，即可得到X的可能取值为， 当涂3种颜色时，一共种情况,当涂4种颜色时， 由（1）知共240种情况，当涂5种颜色时，有种情况. 一共有种情况. ， 所以分布列为 X 3 4 5 P 故数学期望为 11．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】(1)(2)分布列见解析，(3) 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，，∴. 12．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且. (1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率； (2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值. 【答案】(1)(2)2001 【详解】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且， 所以，则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为. （2）因为，所以， 依题意可得，所以， 因为，所以，又为正整数，所以的最小值为2001. 13．（23-24高三上·广东深圳·期末）某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． (1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性； (2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由． 参考数据：． 【答案】(1)，说明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以， 所以，， 所以， 由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的. （2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000， 则，，所以， 若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000， 则，，所以， 所以， 则当时，，应先检测乙部件；当时，，先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件. 地 城 考点06 充分、必要条件的关系求参数 一、多选题 1．（24-25高三上·广东潮州·校考期末）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 【答案】ACD 【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 二、非选择题 2．（24-25高三上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 【答案】 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为： 甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能，2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果，所以概率是， 记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，，， 则， 于是得，即， 而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是，故答案为：；. 3．（24-25高三上·广东·期末）绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局.  现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利.  已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为.  记甲赢得整个比赛的概率为.  若则 ，若则当 时，最大. 【答案】 【详解】当时，甲乙比赛四局，则甲要赢3局或4局才能获胜， 计算， 时，甲乙比赛二局，则甲要赢2局，计算，所以； 在局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局 故 所以 1).前局，甲胜局，后2场甲2胜，概率为； 2).前局，甲胜局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为； 3).前局，甲至少胜局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为； 所以，； 所以，即得，所以， 计算得，即，所以当时，最大.故答案为：，. 4．（24-25高三上·广东·期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字． (1)若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和； (2)若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列； (3)若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)． 【详解】（1）因为是公差为1的等差数列中的第4项，所以， 因为，所以，的个位数字为， 因为，所以是一位数，且能被10整除， 所以，． （2）因为，所以， 所以为的个位数字，当或5时，，当或8时，， 当或6时，，当或9时，，当或7时，，所以的分布列为 0 2 4 6 8 （3）因为，所以， 因为的取值分别为， 所以， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为0， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为，所以的概率为． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动.小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的.小路同学第一天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为．而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为，选择打乒乓球的概率为，如此往复．记小路同学第天选择打羽毛球的概率为． (1)小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为，求的分布列和数学期望． (2)求； 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3 ，，， 的分布列为 0 1 2 3 （2）设“第一天打乒乓球”，“第一天打羽毛球”，“第二天打乒乓球”，“第二天 打羽毛球”，则，，，． 由题意得：故 可得 易知，故是以为首项，为公比的等比数列． 所以，故 6．（24-25高三上·广东·期末）记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. (1)若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； (2)若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若的“数列”为，记，从，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 【答案】(1)；(2)20个.(3) 【详解】（1）因为，所以， 当时，，当时，，所以， 所以，当时，， 所以数列的“数列”所有项组成的集合为； （2）①若，则有1个， ②若且，则有种可能，有3个， ③若且，则两者相同有种， 两者不同，则共有种，所以共有种可能，有6个. ④若均不为1，则三者全相同， 共有种，三者有2个相同，因为顺序确定， 共有种，三者全不相同，因为顺序确定，有种，共有种可能，有10个， 综上，符合条件的共有，综上得符合条件的有20个； （3）由题意得，所以， 所以，，所以，能被4整除， ，为奇数，不能被2整除， ， 能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有个， ， . 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. (1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，的可能取值为， 在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，， 依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，，易知， 的分布列为： 1 2 3 的数学期望. （2）证明：当时，不难知道， ， ， 由（1）可知，又，， .即. 8.（23-24高三上·广东东莞·期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）15 【详解】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布， 则，， ， ， 所以，. （2）（ⅰ）由（1）可知， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 由题意可知：，则，所以，； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，则， 则， 由题意可知：，解得，且，则， 所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15. 9．（23-24高三上·广东佛山·期末）某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立． (1)若，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数； (2)若，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用． 参考数据及公式：（）． 【答案】(1)，506；(2)10，7200（元）. 【详解】（1）每人血样化验的次数为X， 若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则， 所以， 则. 令，即， 易得在上单调递减，在上单调递增， 因为，且，， 所以当时，取得最小值，为0.1265. 即按16人一组，每人血样化验次数的数学期望最小，此时化验总次数为. （2）设每组k人，每组化验总费用为Y元， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则， 且， 所以， 则每人血样化验的费用为 ， 当且仅当，即时取等号， 即10个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小，此时化验总费用为（元）． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，(2)(3)是， 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 9大高频考点概览 考点01 统计 考点02 统计案例 考点03 概率 考点04 计数原理 考点05 随机变量及其分布列 考点06 概率与其他知识综合压轴问题 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于表示经济活动扩张，低于表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为：，，则这10个数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·期末）已知样本的标准差为2，平均数为3，则值为（   ） A．35 B．77 C．49 D．91 3．（24-25高三上·广东汕头·期末）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 二、多选题 4．（24-25高三上·广东·期末）某同学投掷一枚骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列正确的有（    ） A．极差小于4 B．一定不会出现6 C．众数可能为1 D．中位数可能为3 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 则（    ） A．销量的极差为3.6 B．销量的第60百分位数为13.2 C．销量的平均数与中位数相等 D．若销量关于月份的回归方程为，则 6．（24-25高三上·广东湛江·校考期末）某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（    ） A．这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B．这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C．这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D．这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知样本数据，其中，由这组数据得到新样本数据，，则（    ） A．两组样本数据的极差一定相等 B．两组样本数据的平均数一定相等 C．两组样本数据的第80百分位数一定相等 D．两组样本数据的方差可能相等 8．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（    ） 年龄 45 40 36 32 29 28 人数 1 2 1 3 2 1 A．中位数是34 B．众数是32 C．第25百分位数是29 D．平均数为34.3 9．（23-24高三上·广东深圳·期末）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 三、非选择题 10．（24-25高三上·广东·期末）某上市互联网科技公司为节省开支采用了裁员的手段，统计得到近7个月内每月的裁员人数如下：1，2，2，3，4，5，6，则该组样本数据的上四分位数是 ． 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 地 城 考点02 统计案例 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·期末）我们研究成对数据的相关关系，其中，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 2．（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 二、多选题 3．（24-25高三上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为13.5 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 三、非选择题 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）某同学收集了变量，的相关数据如下： x 0.5 2 3 3.5 4 5 y 15 为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ． 5．（24-25高三上·广东潮州·期末）“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（元） 3 4 5 6 7 产品销量件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数，变量，线性相关程度很高，求关于的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据： 6．（24-25高三上·广东广州·期末）一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 7．（24-25高三上·广东广州·期末）治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． (1)补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 (2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 8．（23-24高三上·广东汕头·期末）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：①男生所占比例为；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人. (1)完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？ 性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 女 合计 (2)（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值. （ⅱ）对于随机事件，，，试分析与的大小关系，并给予证明 参考公式及数据：，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 地 城 考点03 概率 一、单选题 1．（23-24高三上·广东佛山·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取出1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 3．（24-25高三上·广东·期末）已知一组数据0，7，2，1，从1到10中的整数里随机选择1个数加入这组数据，则得到的新数据与原数据极差相同的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·广东·期末）某地质考察队在一片区域内发现了五处具有研究价值的地质构造点，依照初步判断的研究价值高低，分别标记为1，2，3，4，5号点位，每次考察时，随机选择一处地质构造点进行深入研究，选择各点位的概率与该点标记的序号成正比，比例系数为k，设随机变量G表示选择的地质构造点编号，则（   ） A． B． C． D． 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东广州·校考期末）袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 . 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）设，，，是圆周上的个等分点，从这个点中任选个，两两相连后得到的三角形是直角三角形的概率为 . 10．（24-25高三上·广东湛江·期末）袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为 . 11．（23-24高三上·广东深圳·期末）为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是 . 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 . 地 城 考点04 计数原理 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．（24-25高三上·广东湛江·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（   ） A．36种 B．60种 C．96种 D．180种 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．20 6．（24-25高三上·广东梅州·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·广东潮州·期末）设，则（   ） A． B． C． D．当时，除以8的余数是7 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为 . 10．（24-25高三上·广东广州期末）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 11．（23-24高三上·广东潮州·期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答） 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 13．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知的展开式中． 的系数为80， 则m的值为 ． 14．（23-24高三上·广东湛江·期末）某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有 种. 地 城 考点05 随机变量及其分布列 一、多选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知某市18岁男性市民的身高（单位：cm）近似服从正态分布，且，则（   ） A．该市18岁男性市民的平均身高为172cm B．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过172cm的概率为0.5 C．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为0.7 D．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等 2．（24-25高三上·广东·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（   ） A．X的分布列为 B．X的方差 C． D． 3．（24-25高三上·广东广州·校考期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 4．（23-24高三上·广东潮州·校考期末）下列说法中正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 三、非选择题 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为，且随机变量的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则 ， ． 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． (1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． (1)求顾客中奖的概率； (2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 8．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表： 男生 女生 只喜欢羽毛球 0.3 0.3 只喜欢乒乓球 0.25 0.2 既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15 (1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率； (2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望. 9．（23-24高三上·广东深圳·期末）在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）用红、黄、蓝、绿、紫五种不同颜色中的若干种给正四棱锥的五个顶点着色，要求相邻两个顶点的颜色不同． (1)记“给顶点A、C涂不同的颜色”为事件M，“完成全部顶点的着色用了4种不同的颜色”为事件N，求． (2)设完成全部顶点的着色所用的颜色种数为X，求X的概率分布列及数学期望． 11．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 12．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且. (1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率； (2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值. 13．（23-24高三上·广东深圳·期末）某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． (1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性； (2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由． 参考数据：． 地 城 考点06 概率与其他知识综合压轴问题 一、多选题 1．（24-25高三上·广东潮州·校考期末）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 二、非选择题 2．（24-25高三上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 3．（24-25高三上·广东·期末）绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局.  现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利.  已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为.  记甲赢得整个比赛的概率为.  若则 ，若则当 时，最大. 4．（24-25高三上·广东·期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字． (1)若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和； (2)若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列； (3)若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，教育部提出阳光体育一小时活动.小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼的目的.小路同学第一天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为．而如果前一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为，选择打羽毛球的概率为；如果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为，选择打乒乓球的概率为，如此往复．记小路同学第天选择打羽毛球的概率为． (1)小路同学在网上看到了3款乒乓球拍和5款羽毛球拍，他想从中选择3款球拍进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为，求的分布列和数学期望． (2)求； 6．（24-25高三上·广东·期末）记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. (1)若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； (2)若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若的“数列”为，记，从，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. (1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 8.（23-24高三上·广东东莞·期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 9．（23-24高三上·广东佛山·期末）某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立． (1)若，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数； (2)若，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用． 参考数据及公式：（）． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $