精品解析：上海市青浦高级中学2025-2026学年高三上学期期中质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2025学年第一学期期中质量检测 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 设集合，，则______． 2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________． 3. 不等式解集______． 4. 在二项展开式中，第四项是常数项，则______． 5. 已知点，，则在方向上的数量投影为_____________. 6. 已知，且是第四象限的角，则的值为______. 7. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则_________. 8. 已知，，且，则的最小值为______. 9. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于_______. 10. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 12. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角最小值为__________．（用反三角表示） 二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分） 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 14. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 15. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 三、解答题（本大题共5题，14+14+14+18+18，共78分） 17. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 （1）求证；平面，并求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 18. 已知函数. （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 19. 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求值； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 20. 已知椭圆方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2025学年第一学期期中质量检测 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集定义，求出两个集合的交集即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 复数z的虚部为，所以. 故答案为： 3. 不等式解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式化，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出通项，再令可解. 【详解】展开式的通项为，， 因为第四项是常数项， 所以当时，， 所以 故答案为：6. 5. 已知点，，则在方向上的数量投影为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义结合已知条件直接求解即可 【详解】因为，， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为： 6. 已知，且是第四象限的角，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由利用同角三角函数平方关系得，进而得，最后利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为，且是第四象限角， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 7. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则_________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用集合的非空子集个数求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可. 【详解】若一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有个. 因为集合，所以 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 若集合的所有非空子集的元素之和是40， 则集合的所有元素和为， 则. 故答案为：5. 8. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算得，然后利用基本不等式中“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】因为，所以，又，， 则， 当且仅当，即当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 9. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，计算圆锥的母线长为，圆锥的底面半径，高，再计算体积得到答案. 【详解】如图，设圆锥的母线长为l，高为h，半径为r，则由题意知，所以 所以圆锥的底面周长，所以该圆锥的底面半径，高， 所以该圆锥的体积. 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力. 10. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 【答案】130 【解析】 【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解. 【详解】①只有男队长，没有女队长： 种， ②只有女队长，没有男队长： 种， ③男、女队长都有， 种， 所以共有46+56+28=130种. 故答案为：130. 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 12. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分） 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 14. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 15. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案. 【详解】对于①，，为偶函数，定义域为， 对于任意实数对， 则存在，满足，集合M是“垂直对点集”； 对于②，，取实数对 假设存在，使成立，则，与矛盾， 即不是“垂直对点集”； 对于③，,作出函数的图象如图， 图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 对于④，作出函数的图象如图， 图象向左向右无线延伸， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 故集合M是“垂直对点集”的有3个， 故选：D 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得出，再利用累加法即可得解. 【详解】由，可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 则， 所以． 故选：A 三、解答题（本大题共5题，14+14+14+18+18，共78分） 17. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 （1）求证；平面，并求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得，结合正四棱锥的特征可由线线垂直得线面垂直；再根据锥体体积公式计算即可； （2）作出二面角的一个平面角，利用等积法及余弦定理计算解三角形即可. 【小问1详解】 由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； 【小问2详解】 如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 18. 已知函数. （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 【答案】（1）时，最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值. 【小问1详解】 解：由函数 ， 当时，即，此时函数取得最大值. 【小问2详解】 解：由函数， 因为，即，即， 又因为，可得，可得，解得， 因为成等差数列，可得， 又因为，可得，所以， 又由余弦定理可得， 即，所以. 19. 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 【答案】（1） （2） （3）平均数为79，方差为84 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）利用排列组合，结合古典概型的概率公式求解， （3）由平均数和方差的计算公式即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 【小问2详解】 和的人数之比为， 故从和抽取的人数分别为2人，3人，3人， 2人中有来自组的学生的概率为, 【小问3详解】 剩余8个成绩的平均数为， ， 故剩余8个成绩的方差为 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【小问1详解】 由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 【小问2详解】 由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 【小问3详解】 由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ， 为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”. （1）若函数存在“相关点”，求的值； （2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值： （3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解； （2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解； （3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 函数的对称轴为， 且函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极值点， 因为函数存在“相关点”， 由题意可得，，解得. 【小问2详解】 由，则 ， 由题意可得，，即，即， 设，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以方程存在唯一实数根1，即，即， 此时，则， 令，即；令，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”， 所以. 【小问3详解】 由，得，即， 设，为函数的“2相关点”，则， 另一方面，，所以， 所以且，解得，，， 故，则， 因为过点存在3条直线与曲线相切， 设其中一个切点，则， 整理得， 设，且函数有三个不同的零点， 则， 令，则；令，则或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $