专题04 二次函数的应用 十三类题型（专项训练）数学青岛版九年级下册

专题04 二次函数的应用 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题 1 题型二、图形运动问题 4 题型三、拱桥问题 9 题型四、销售问题 13 题型五、投球问题 17 题型六、喷水问题 21 题型七、增长率问题 25 题型八、线段周长问题 26 题型九、面积问题 35 题型十、角度问题 42 题型十一、特殊三角形问题 52 题型十二、特殊四边形 60 题型十三、相似三角形问题 72 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 2．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大值为800 【解析】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 3．在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)如果花园的面积为5平方米，求x的值； (2)如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是3米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），花园面积的最大值是多少？ 【答案】(1)1或5 (2)9平方米 【解析】（1）解：设米，则米， 根据题意得：． 解得，， 答：x的值为1或5； （2）解：设花园的面积为s， 则 ∵在P处有一棵树与墙、的距离分别是3米和1米， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值为， ∴花园面积的最大值是9平方米． 4．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)能围成面积为的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由． 【答案】(1)，自变量的取值范围是 (2)不能；理由见解析 【解析】（1）解：，垂直于墙的篱笆有段， 每段长， 长为的篱笆，两个各的门， 平行于墙的边， ， 墙的最大可用长度为，且为正数， ， 解得：或， 即：． （2）当时，代入得：， 移项化简后得：， ， 此一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的，不能围成面积为的花圃． 5．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ 【答案】(1)； (2)为，为 【解析】（1）解：由可知边所用篱笆为， ， ， 墙的长度不超过， ， ； （2）解：在中， 令，则， 解得（不合题意，舍去）， ， 当为为时，矩形场地的面积为； 题型二、图形运动问题 6．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 【点睛】 7．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【解析】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为． 综上，选项A的图象符合题意， 故选：A． 8．如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 【答案】(1)经过秒或秒时，的长为 (2)， (3)当点、的运动时间为秒时，的面积为 【解析】（1）解：在中，，， ， 设点、的运动时间为秒， 由运动知，，， ， 若时，则，即， 解得，， 经检验，均符合题意， 经过秒或秒时，的长为； （2）解：由知，，， ，的取值范围是； （3）解：由知，， 当时，， 即当点、的运动时间为秒时，的面积为． 9．如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 【答案】(1)运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． (2) (3)或 【解析】（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么． 由题意可得：，解得：或4． 所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解：根据题意，得， 所以． （3）解：由题意可得：，即， ∵， ∴或， ∴对于不等式，对应的方程的根为或， ∴的解集为或， ∵， ∴或． 10．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】(1) (2)当秒时,的长度等于 (3)①；②2；48． 【解析】（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 题型三、拱桥问题 11．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 【答案】B 【解析】解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 【答案】 【解析】解：如图，建立平面直角坐标系， ， 则由题意可知，，， 设该抛物线的解析式为，将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 若水面再下降，则有， 解得， ， 水面宽度为， 故答案为：． 13．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【解析】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 15．如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上． (1)求门拱所在抛物线的解析式； (2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）． 【答案】(1) (2)这两个钢笔造型的建筑的高度为 【解析】（1）解：由题意垂直平分，， ， ， 且 ， ∴， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； （2）∵， ∴对称轴为轴， 由题意，关于对称轴对称， ∴， 当时，； 故这两个 钢构造型的建筑的高度为． 题型四、销售问题 16．某种服装，平均每天可销售20件，每件利润是44元，经市场调查发现，该品牌服装在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件． (1)如果每件降价元，平均每天销售的服装为件，试写出与之间的函数关系式． (2)如果每天该服装销售的利润总金额记为元，当时，每件应降价多少元？ (3)每件降价多少元时，该服装每天销售的利润总金额最大？最大是多少元？ 【答案】(1) (2)每件应降价4元 (3)每件降价10元时，该服装每天销售的利润总金额最大，最大是2380元 【解析】（1）解：与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，可得， 整理得， 解得（不合题意，舍去） 答：每件应降价4元； （3）解：由题意得， ， ∴当时，随的增大而增大． ， ∴当时，有最大值，最大值为2380． 答：每件降价10元时，该服装每天销售的利润总金额最大，最大是2380元． 17．绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 【答案】(1) (2)售价为元时，利润最大，最大利润是万元 【解析】（1）解：设， 将，两点坐标代入该解析式得： ， 解得：， ∴ ∵成本为每盒60元的土特产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40% ∴，即 ∴与的函数关系式为； （2）解：设利润为，可得 ， 由于图像开口向下，对称轴为，取值范围在对称轴左侧，随得增大而增大， 所以当时，（万元）， 答：当售价为84元时，销售最大利润为864万元. 18．2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日．我市飞龙商贸城某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套，后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套，设这种纪念品每套售价降低元，平均每天可获利元 (1)写出与的函数关系式． (2)当该礼品店每套售价降低3元时，平均每天可获利多少元？ (3)该礼品店要想平均每天盈利2500元，可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)2210元 (3)不可能平均每天盈利2500元 【解析】（1）解：根据题意得； （2）解：当时，（元） 答：平均每天可获利2210元． （3）解：当时，， 整理得， ， 方程没有实数根， 即该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 方法二： ， 时，有最大值，最大值为2250， 又， 所以该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 19．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间含10元，14元浮动时，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶． (1)试求出每日的销售量瓶与每瓶售价元之间的函数关系式． (2)当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价格定为每件13元时，所得利润最大，最大利润为1280元 【解析】（1）解：由题意，设所求函数表达式为，再每瓶售价每增加元时，日均销售量减少40瓶；当售价为12元时，日均销售量为400瓶， ∴， 解得：， 所求函数表达式为：； （2）解：根据题意，得： ， ，， 当时，P有最大值，最大值为1280， 答：销售价格定为每瓶13元时，所得利润最大，最大利润为1280元． 20．为促进新旧动能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台，x是整数）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？ (3)获利最大时该设备的销售单价是多少，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)26万元/台 (3)获利最大时该设备的销售单价是万元/台或万元/台，最大利润是万元 【解析】（1）解：设y与x的函数关系式为， 依题意，得， 解得， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意，得， 解得：，， ∵此设备的销售单价不得高于28万元/台， ∴， ∴该设备的销售单价应是26万元/台． （3）解：设此设备的销售单价为x万元/台，利润为y万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意，得， 整理，得， ∴顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∴当时，y有最大值， ∵销售单价x是整数， ∴当或时，利润最大， 当时，， 当时，， ∴获利最大时该设备的销售单价是万元/台或万元/台，最大利润是万元． 题型五、投球问题 21．在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 【答案】8 【解析】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 22．在火热的苏超比赛中，某足球运动员起脚射门，球射向球门的路线（如图所示）呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方10米的处射门，当球飞行的水平距离为8米时，球达到最高点，此时球离地面4米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)足球不能射进球门 【解析】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 23．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】(1)；4 (2)不能，前进或后退 【解析】（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 24．如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【答案】(1)3；15 (2)或 【解析】（1）解：由图可知，对于第一段抛物线，其对称轴为， 故当米时，足球距离地面的高度最大； 对于第二段抛物线，其对称轴为， ∴当米时，足球第二次落地； 故答案为：3；15； （2）解：第一段抛物线的对称轴是，故其与x轴的另外一个交点横坐标为， 故可设第一段抛物线为，将代入得， ∴， ∴第一段抛物线为， 令，解得， 由图可知，对于第一段抛物线，当时，足球距离地面的高度小于2米； 由图可设第二段抛物线为， 将代入得， ∴， ∴第二段抛物线为， 令，解得， ∴对于第二段抛物线，当或时，足球距离地面的高度小于2米； 综上，当或时，足球距离地面的高度小于2米． 25．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【答案】(1)，不能射进球门 (2) 【解析】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 题型六、喷水问题 26．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 【答案】18 【解析】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 27．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】(1) (2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【解析】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． （2）解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 28．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 29．某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 30．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【解析】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 题型七、增长率问题 31．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：A． 32．某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：初始量为2000，增长了两次，所以可列出函数关系式， 故选：C． 33．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 34．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意， 故答案为：． 35．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【解析】解：由题意，得 ． 故答案为：． 题型八、线段周长问题 36．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 37．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 38．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为． 39．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，直线， (2)①点是线段的中点，理由见解析；② (3)或或 【解析】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∴，抛物线的对称轴为直线，点关于对称轴的对称点的坐标为； （2）①解：点是线段的中点，理由如下； 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点的坐标为， 当时，，即的坐标为， ∴点为线段的中点． ②解：设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最长， 将，代入得，，即， ∴当线段最长时，点的坐标为； （3）解：由平移可知为，为， ∴， ①当时，图象开口向下，顶点为， 当时，； 此时顶点在线段上，抛物线与线段只有一个交点，如图： 当时，，如图： 解得； 当时，，如图： 解得（舍）； ∴； 综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点； ②当时，图象开口向上， 当顶点在线段上时，同理①，（舍去）； 当时，，如图： 解得； 当时，， 解得（舍）， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式是解题的关键． 40．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 题型九、面积问题 41．如图，已知抛物线经过两点．若为该抛物线上一点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】解：由题意可知，该抛物线的函数表达式为． ， ． 设点的坐标为． ，即， ． 当时，解得，此时点的坐标为或； 当时，由抛物线的顶点坐标可知，方程没有实数解． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 42．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为， 设二次函数的解析为， 把代入解析式， 得， 解得， 所以，； （2）解：令，则， 解得或， ， ． 43．如图，抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，连接，其中点． (1)求抛物线的解析式； (2)第四象限抛物线上是否存在一点P，使得四边形的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为，四边形的面积最大值为12 【解析】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ； （2）解：过点P作轴于点H，交于点Q， 设所在直线表达式为，把代入， 得：， 解得：， ∴所在直线表达式为， 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，有最大值为12， 当时，， ， 综上所述，当点P坐标为时，四边形的面积最大值为12． 44．已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． (1)求直线和抛物线各自的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：设直线所表示的函数解析式为， ∵它过点和点， ， 解得， ∴直线所表示的函数解析式为， ∵抛物线过点， ， 解得， ∴抛物线所表示的函数解析式为； （2）解：解方程组， 解得：， ∴点坐标为； 又点坐标为点坐标为， ∴， ，， ， 设点的纵坐标为， 则， 把代入， 得， 又 ∵点在第一象限， ， ∴点坐标为． 45．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图①，过点B作，交抛物线于另一点D，求点D的坐标； (3)如图②，P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线于点E，连接，设点P的横坐标为m，的面积为S． （Ⅰ）求S关于m的函数解析式； （Ⅱ）若当时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为 (2)点D的坐标为 (3)（Ⅰ）；（ⅠⅠ） 【解析】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ； （2）解：设直线与轴交于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 解得，（舍去）， 时，， ； （3）解：①点的横坐标为，轴交直线于点， ， ，， 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，； ②当时， 对于，时， ； 对于，时，函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 当时， 解得或（舍去）， 综上所述，当时，有最大值，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是理解题意，做到数形结合，建立正确的方程，准确计算． 题型十、角度问题 46．如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】如图，过作交于， 根据题意， 抛物线，代入得， 若，由图易知为等边三角形， ，即， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 47．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 【答案】 或 【解析】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 48．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 49．抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【解析】（1）解：将点与点代入得： ， 解得：， （2）解：作轴交于点，如图所示： 由（1）可知：,； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，； ∴； ∴； 设点，则 ∴， ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； （3）解：作轴，如图所示： 设点， 则； ∵， ∴； ∴当时，； 由可得， ∴当点在轴上方时，， 解得：（舍去）； 当点在轴下方时，， 解得：（舍去）； ∴点的坐标为或； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积、三角函数的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． 50．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【解析】（1）解：令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为抛物线上一点，且满足， ∴点P在x轴的上方， 如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N， 则，四边形、、为矩形， ∴， ， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形、、为矩形， ∴，， ∴， ∴ 设直线的表达式为，代入，， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴ 解得，（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，如图所示， 则四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用几何性质列出方程是解题的关键． 题型十一、特殊三角形问题 51．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 【答案】 【解析】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 52．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【解析】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 53．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 54．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【解析】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 55．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 题型十二、特殊四边形 56．二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【解析】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、求线段的最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，解题的关键是综合运用上述知识，第3问难度较大，注意分类讨论，避免漏解． 57．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 58．如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，点的坐标为 (2)四边形是平行四边形，证明见详解 【解析】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交轴A，B两点，点的坐标为， ∴， ∴， 即点的坐标为． （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： 由（1）得抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴， 则， 由（1）得点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 即， ∵过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 59．已知抛物线∶，抛物线的顶点为． (1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示） (2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6． ①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围； ②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①顶点的纵坐标的取值范围为． ②存在，的值为． 【解析】（1）解：对于抛物线，顶点纵坐标公式为 已知，，，代入得： 故答案为：． （2）①解：∵抛物线与轴交于原点异侧的两点、， ∴，即，得； ∴，则， 代入得： ∵， ∴，即，解得； 结合，得 ∵，且 在上随增大而减小， 当时，； 当时，； 故顶点的纵坐标的取值范围为． ②解：点：抛物线与轴交点，令，得，故； 点：外接圆的圆心，、在轴上，故的横坐标为中点横坐标，设； 由（半径相等），得， 化简得，故； 点：与轴的另一交点，轴上、的中点纵坐标等于的纵坐标，即（为的纵坐标），解得，故； 点：抛物线顶点，故 四边形的对角线为与，若为平行四边形，则两对角线中点坐标相等． 中点横坐标：DP与CQ的中点横坐标均为，已相等； 中点纵坐标相等： 两边同乘消分母： 展开并化简：， 即 用求根公式（，，）， 得： 当时，，故，满足； 当时，，不满足，舍去． 故存在四边形为平行四边形，的值为． 答：存在，的值为． 60．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【解析】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 题型十三、相似三角形问题 61．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若将直线绕点A旋转90度后与抛物线交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3) 【解析】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式为，点， ∴， 联立，解得：或， ∴点， ∴的面积为； （3）解：设点P的坐标为，则，， ∵点， ， ∴， 过点P，C分别作轴于点D，轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 62．直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【解析】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，二次函数综合—相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 63．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． 【解析】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 64．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【解析】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 65．如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【解析】（1）解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组， 得，， ∴； （3）解：①如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 4．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ． 5．（2025·四川·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 6．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 7．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 9．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 10．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的应用 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、图形问题 1 题型二、图形运动问题 2 题型三、拱桥问题 4 题型四、销售问题 5 题型五、投球问题 7 题型六、喷水问题 8 题型七、增长率问题 10 题型八、线段周长问题 10 题型九、面积问题 12 题型十、角度问题 13 题型十一、特殊三角形问题 15 题型十二、特殊四边形 16 题型十三、相似三角形问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 3．在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)如果花园的面积为5平方米，求x的值； (2)如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是3米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），花园面积的最大值是多少？ 4．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)能围成面积为的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由． 5．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ 题型二、图形运动问题 6．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   8．如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 9．如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 10．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 题型三、拱桥问题 11．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 13．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为 ． 14．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 15．如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上． (1)求门拱所在抛物线的解析式； (2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）． 题型四、销售问题 16．某种服装，平均每天可销售20件，每件利润是44元，经市场调查发现，该品牌服装在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件． (1)如果每件降价元，平均每天销售的服装为件，试写出与之间的函数关系式． (2)如果每天该服装销售的利润总金额记为元，当时，每件应降价多少元？ (3)每件降价多少元时，该服装每天销售的利润总金额最大？最大是多少元？ 17．绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 18．2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日．我市飞龙商贸城某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套，后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套，设这种纪念品每套售价降低元，平均每天可获利元 (1)写出与的函数关系式． (2)当该礼品店每套售价降低3元时，平均每天可获利多少元？ (3)该礼品店要想平均每天盈利2500元，可能吗？为什么？ 19．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间含10元，14元浮动时，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶． (1)试求出每日的销售量瓶与每瓶售价元之间的函数关系式． (2)当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？ 20．为促进新旧动能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台，x是整数）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？ (3)获利最大时该设备的销售单价是多少，最大利润是多少？ 题型五、投球问题 21．在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 22．在火热的苏超比赛中，某足球运动员起脚射门，球射向球门的路线（如图所示）呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方10米的处射门，当球飞行的水平距离为8米时，球达到最高点，此时球离地面4米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 23．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 24．如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 25．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 题型六、喷水问题 26．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 27．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 28．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 29．某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 30．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 题型七、增长率问题 31．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 32．某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 33．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 34．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 35．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 题型八、线段周长问题 36．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 38．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 39．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 40．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 题型九、面积问题 41．如图，已知抛物线经过两点．若为该抛物线上一点，且，则点的坐标为 ． 42．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积． 43．如图，抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，连接，其中点． (1)求抛物线的解析式； (2)第四象限抛物线上是否存在一点P，使得四边形的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 44．已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． (1)求直线和抛物线各自的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． 45．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图①，过点B作，交抛物线于另一点D，求点D的坐标； (3)如图②，P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线于点E，连接，设点P的横坐标为m，的面积为S． （Ⅰ）求S关于m的函数解析式； （Ⅱ）若当时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围． 题型十、角度问题 46．如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为 ． 47．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 48．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 49．抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 题型十一、特殊三角形问题 51．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 52．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 53．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 54．抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 55．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型十二、特殊四边形 56．二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 57．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 59．已知抛物线∶，抛物线的顶点为． (1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示） (2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6． ①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围； ②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 60．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 题型十三、相似三角形问题 61．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若将直线绕点A旋转90度后与抛物线交于点P，求点P的坐标． 62．直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 63．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 64．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 65．如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 4．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 5．（2025·四川·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 6．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 7．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 9．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 10．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $