专题02 二次函数的图象与性质 十一类题型（专项训练）数学青岛版九年级下册

专题02 二次函数的图象与性质 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象和性质 1 题型二、y=ax2+k的图象和性质 2 题型三、y=a (x-h)2的图象和性质 2 题型四、y=a (x-h) ²+k的图象和性质 2 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 3 题型六、二次函数图象与各项系数符号 3 题型七、一次函数、二次函数图象综合判断 4 题型八、反比例函数、二次函数图象综合判断 5 题型九、已知抛物线上对称的两点求对称轴 8 题型十、y=ax2+bx+c的最值 8 题型十一、利用二次函数对称性求最短路径 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、y=ax2的图象和性质 1．点是抛物线上的一点，则 ． 2．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 3．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 4．已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 5．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 题型二、y=ax2+k的图象和性质 6．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 7．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 8．抛物线的顶点坐标是 ． 9．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 10．若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 题型三、y=a (x-h)2的图象和性质 11．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 12．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 13．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 14．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 15．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 题型四、y=a (x-h) ²+k的图象和性质 16．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 17．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 18．抛物线的最小值为 19．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 20．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 21．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．已知二次函数图象的开口方向 ．（填“向上”或“向下”） 23．抛物线的对称轴是直线 ． 24．二次函数图象经过三点，则从小到大依次排列为 25．点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 题型六、二次函数图象与各项系数符号 26．二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D．（为任意实数） 27．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 28．已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）其中正确的结论有 （填序号）． 29．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是___________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 30．如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是 题型七、一次函数、二次函数图象综合判断 31．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 32．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 33．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 34．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 35．在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A．B． C． D． 题型八、反比例函数、二次函数图象综合判断 36．反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 37．已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 38．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 39．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 40．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 题型九、已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 42．已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 43．火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的． 44．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 45．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是 ． … 0 1 … … … 题型十、y=ax2+bx+c的最值 46．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 47．已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 48．二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 49．二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型十一、利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 52．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 53．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 54．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 55．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 2．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 5．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 6．（2025·广东·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 9．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 10．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图象与性质 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象和性质 1 题型二、y=ax2+k的图象和性质 2 题型三、y=a (x-h)2的图象和性质 4 题型四、y=a (x-h) ²+k的图象和性质 5 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 6 题型六、二次函数图象与各项系数符号 8 题型七、一次函数、二次函数图象综合判断 12 题型八、反比例函数、二次函数图象综合判断 14 题型九、已知抛物线上对称的两点求对称轴 18 题型十、y=ax2+bx+c的最值 19 题型十一、利用二次函数对称性求最短路径 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、y=ax2的图象和性质 1．点是抛物线上的一点，则 ． 【答案】9 【详解】解：点是抛物线上的一点， ， 故答案为：9． 2．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 3．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 【答案】 抛物线 上 下 y轴 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，当时，开口向上，当时，开口向下，顶点坐标是，对称轴是y轴， 故答案为：抛物线，上，下，，y轴． 4．已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 【答案】开口向上． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴该函数图象的开口向上． 5．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 题型二、y=ax2+k的图象和性质 6．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 7．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知：抛物线的对称轴为直线，即y轴， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， ∵，，，且， ∴． 故选：A． 8．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 9．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数为顶点式， ∴其顶点坐标为． 故答案为：． 10．若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：的对称轴为直线，开口方向向上，顶点为． ∵对于开口向上的函数，距离对称轴越近，值越小，比离对称轴的距离近， ∴． 故答案为． 题型三、y=a (x-h)2的图象和性质 11．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 【答案】C 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 12．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 13．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 14．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【详解】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． 题型四、y=a (x-h) ²+k的图象和性质 16．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 故选：C. 17．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：D． 18．抛物线的最小值为 【答案】 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的最小值为， 故答案为： 19．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴； 故答案为： 20．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 21．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 22．已知二次函数图象的开口方向 ．（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【详解】解：抛物线中， 故抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 23．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【详解】解：对于抛物线， 其对应的二次函数为一般式，其中，，， 根据二次函数对称轴公式，将，代入得：． 故答案为：． 24．二次函数图象经过三点，则从小到大依次排列为 【答案】 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，有最小值． ∵， ∴是顶点，最小， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 25．点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵设抛物线的对称轴为直线，即， ∴， 故答案为：． 题型六、二次函数图象与各项系数符号 26．二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】B 【详解】解：A、由二次函数图像可知：， 对称轴， ， 而二次函数图像与y轴交点在y轴正半轴， ， ，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴可得， ， 故B选项错误，符合题意； C、当时，， 故C选项正确，不符合题意； D、当时，有最大值， 当时，， ， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 27．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 【答案】C 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 28．已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】②③④ 【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ，故②正确，符合题意； ③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下， 当时，， ， ∵， ， ∵， ， ，故③正确，符合题意； ④二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，取最大值，最大值为， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述：正确的结论有：②③④， 故答案为：②③④． 29．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是___________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ， ，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ，所以②正确； ∵时，， ， 当时，， ， ，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ， 时， 即， ，即，所以④错误． 故选A． 30．如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是 【答案】①②③ 【详解】解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 题型七、一次函数、二次函数图象综合判断 31．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 32．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、由二次函数的图象开口向上，， 一次函数的图象应经过一、二、三象限，故A、B选项错误，不符合题意； C、D、由二次函数的图象开口向下，， 一次函数的图象应经过二、三、四象限，故D选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意； 故选：． 33．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，二次函数判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 34．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过二、三、四象限，，故此选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，由直线可知，图象过一、二、三象限，，故此选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，，故此选项错误，不符合题意； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，三象限，即，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 35．在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当，二次函数的图像的开口方向是向上；一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当，二次函数的图像的开口方向是向下；一次函数的图像经过第二、三、四象限； 只有选项B符合条件， 故选：B． 题型八、反比例函数、二次函数图象综合判断 36．反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 37．已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由一次函数图象可知， 由反比例函数图象可知， ∴二次函数对称轴，排除B、D， 由图象可知一次函数和反比例函数图象无交点， ∴方程，即无实数根， 故二次函数与x轴没有交点， 故选：A． 38．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 39．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取，，，会发现最小值是取时，由此选项C，D错误；的绝对值越接近于0（如，或）时，每个图象两侧都是无限上升，可排除A， ∵直线经过和时，直线解析式为， 当时，x无解， ∴与没有交点， ∴B正确； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，平方根和绝对值大于等于0的性质，本题中求得直线与函数的交点时解题的关键． 40．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 题型九、已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 42．已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线， ∴设另一个交点的横坐标为，则根据对称性有，解得，即它与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 43．火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的． 【答案】9 【详解】解：∵此炮弹在第秒和第秒时的高度相等， ∴由对称性可知，此炮弹飞行第秒时的高度是最高的． 故答案为：． 44．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 45．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是 ． … 0 1 … … … 【答案】直线 【详解】解：由表格可知，当时和当时的函数值都为， ∴该函数的对称轴为直线， 故答案为：直线． 题型十、y=ax2+bx+c的最值 46．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 47．已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：函数， 对称轴为直线，函数图像开口向下， 则距离对称轴越远函数值越小， 当时，在时，该函数取得最小值，此时， 故选：A． 48．二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 49．二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵ ， ， ， ∴二次函数的最小值为2． 故选：B． 50．已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴或， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 题型十一、利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 52．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 53．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 54．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 55．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 3．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 4．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 6．（2025·广东·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 【答案】2 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 9．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 10．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $