精品解析：北京市怀柔区第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

北京市怀柔区第二中学2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试 数学 考 生 须 知 1.本试卷共2页，分为三个部分.第一部分为选择题，共10小题（共50分）；第二部分为填空题，共5小题（共25分）；第三部分为解答题，共5小题（共75分） 2.考生务必在试卷与答题卡上认真填写姓名､班级信息； 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.作答时必须使用黑色字迹的签字笔作答； 4.考试结束时，立即停止答卷，监考人员将答题卡收回，考生保留试卷与草稿纸. 第一部分选择题 本部分共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项. 1. 面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2. 的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（ ） A B. C. 2 D. 3. 设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（ ） A B. C. D. 4. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，长方体中，，则线段的长是 A. B. C. 28 D. 6. 若有平面与，且，则下列命题中假命题为（ ） A. 过点P且垂直于的直线平行于 B. 过点P且垂直于l的平面垂直于 C. 过点P且垂直于的直线在内 D. 过点P且垂直于l的直线在内 7. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则 ②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则 其中正确的命题是 A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④ 9. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面 10. 下列四个正方体中，为所在棱中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 第二部分填空题 本部分共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 12. 如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 13. 球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的________倍． 14. 在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为__________；直线与直线所成的角的大小为__________；直线与直线所成的角的大小为__________.直线与平面ABCD所成角大小为__________；二面角的大小为__________； 15. 已知球是三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，平面，若三棱锥的体积为，则球的表面积为________. 第三部分解答题 本部分共5小题，共75分. 16. （1）如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点，求证：平面. （2）在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，求证：平面 17. 已知正四棱锥中，高是，底面的边长是. （1）求正四棱锥的体积； （2）求正四棱锥的表面积. 18. 已知平面是的直径，是上的任一点.求证： （1）. （2）平面平面. 19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，D，E，F分别是棱BC，CC1，B1C1中点．求证： （1）直线A1F∥平面ADE； （2）平面ADE⊥平面BCC1B1． 20. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市怀柔区第二中学2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试 数学 考 生 须 知 1.本试卷共2页，分为三个部分.第一部分为选择题，共10小题（共50分）；第二部分为填空题，共5小题（共25分）；第三部分为解答题，共5小题（共75分） 2.考生务必在试卷与答题卡上认真填写姓名､班级信息； 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.作答时必须使用黑色字迹的签字笔作答； 4.考试结束时，立即停止答卷，监考人员将答题卡收回，考生保留试卷与草稿纸. 第一部分选择题 本部分共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项. 1. 面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是圆柱，即求圆柱侧面积. 【详解】正方形的面积为2，则其边长为. 正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是以为底面半径及母线长的圆柱， 其侧面积. 故选： 2. 的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算． 【详解】原图形中，，， ∴． 故选：D. 【点睛】本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法规则是解题关键. 3. 设表示平面，表示直线，给出下列四个说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理逐一判断. 【详解】对于A：若，则与可能平行，也可能相交，也可能就在平面内，故A错误； 对于B：这是直线与平面垂直的性质定理：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B正确； 对于C：若，则可能在平面内，也可能与平行，故C错误； 对于D：若，则与可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直，也可能就在平面内，故D错误. 故选：B. 4. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】注意与平行这一特殊情况： 且，再结合充要条件分析即可 【详解】，是平面内的两条直线 且，反之，若，则且 所以“直线且”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 如图，长方体中，，则线段的长是 A. B. C. 28 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用体对角线公式直接计算即可. 【详解】，故选A. 【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题. 6. 若有平面与，且，则下列命题中的假命题为（ ） A. 过点P且垂直于的直线平行于 B. 过点P且垂直于l的平面垂直于 C. 过点P且垂直于的直线在内 D. 过点P且垂直于l的直线在内 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可 【详解】A中：在平面内作直线，则由面面垂直性质定理可知， 则过点且垂直于的直线一定平行于直线m，故A正确； B中：由题意和面面垂直的判定定理知，选项B正确； C中：由题意和面面垂直的性质定理知，选项C正确； D中：过点且垂直于的直线有可能在平面内，也可能与平面相交，D不正确； 故选：D． 7. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，易求出截面将圆锥分成的三部分的高、底面半径的关系，即可求出圆锥被分成的三部分的体积比. 【详解】 如图为圆锥的轴截面，设，由三角形相似关系可知， ，. 设圆锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的体积为， 由圆锥的体积公式，得， 则分成的三部分体积比为：. 故选：C. 8. 已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则 ②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则 其中正确的命题是 A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断. 解析： ①若，，且，则，正确. ，且，可得出或，又，故可得到. ②若，，且，则，不正确. 两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交. ③若，，且，则，不正确. 且，可得出，又，故不能得出. ④若，，且，则，正确. 且，可得出，又，故得出. 故选：C. 点睛：解决空间位置关系问题的方法 (1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决． (2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题． 9. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线，线面平行，线面垂直判定定理等进行逐一判断. 【详解】对于A：与都在平面内，不是异面关系，故A错误； 对于B：假设平面成立，则有, 而由题可知，即与不垂直， 因此假设不成立，故与平面不垂直，故B错误； 对于C：由题可知该三棱柱为直三棱柱，故平面,平面, . 在正三角形中，是的中点，故. 又平面, 平面又平面, 故C正确； 对于D：取的中点，连接，分别是的中点，故 又，. 因此四点共面，平面, 因此与平面不平行. 故D错误. 故选：C. 10. 下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接， 因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 第二部分填空题 本部分共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将该正三棱柱的侧面展开，结合展开图矩形的对角线长，进而求得最短距离. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如下图所示： 则质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短距离为上图矩形的对角线的长度， . 故答案为：. 12. 如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】侧棱垂直于底面，使用勾股定理即可. 【详解】 由正六边形的性质可知， 由正六棱柱的性质可知，侧棱垂直于底面，因此有平面, 又平面, 故 设侧棱长为,运用勾股定理，有, 计算得. 故答案为：. 13. 球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的________倍． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由可得，球的体积扩大为原来的倍. 考点：球的体积. 14. 在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为__________；直线与直线所成的角的大小为__________；直线与直线所成的角的大小为__________.直线与平面ABCD所成角大小为__________；二面角的大小为__________； 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. 【解析】 【分析】通过几何法求解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小. 【详解】 对于①：异面直线与所成角就是与所成角， 即, 故异面直线与所成角的大小为； 对于②：且,四边形为平行四边形，故. 因此直线与直线所成角即与所成角. 易知，在正方形中，, 故直线与直线所成角的大小为. 对于③：同前易证，因此直线与直线所成角就是直线与所成角，即. 易知为正三角形，因此. 故直线与直线所成角的大小为. 对于④：直线平面，平面, 故即为直线与平面所成角，易知. 故直线与平面所成角的大小为. 对于⑤：在正方体中，易知平面，故. 又为二面角的棱，平面，平面, 二面角的平面角为. 故二面角的大小为. 故答案为：①；②；③；④；⑤. 15. 已知球是三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，平面，若三棱锥的体积为，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式可求得高的长，然后把三棱锥补成正三棱柱，则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，球心为正三棱柱的中心，即上下底连心线的中点，从而易求出球半径得表面积． 【详解】∵三棱锥P﹣ABC的体积为2， ∴2， ∴PA＝2， 将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半， ∵△ABC是边长为2的正三角形， ∴△ABC外接圆的半径r＝2， ∴球的半径为， ∴球O的表面积为4π×5＝20π． 故答案为20π 【点睛】本题考查球表面积，解题关键是确定圆心位置，求出圆的半径，为此把三棱锥补成一个正三棱柱，则外接球的球心位置是正三棱柱的中心，半径易求．补形法是立体几何中的一种重要方法，把不规则几何体补成规则的几何体，有利于问题的解决． 第三部分解答题 本部分共5小题，共75分. 16. （1）如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点，求证：平面. （2）在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，求证：平面 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明出，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）取的中点连接，通过证明出，再根据线面平行的判定定理即可证出. 【详解】（1）连接，易知既是的中点，也是的中点. 在三角形中，分别是中点， . 又平面平面， 平面. （2）取的中点连接. 在平行四边形中，是的中点，且 在三角形中，分别是的中点，且. 因此且，故四边形为平行四边形，得. 又平面，平面， 平面. 17. 已知正四棱锥中，高是，底面的边长是. （1）求正四棱锥的体积； （2）求正四棱锥的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积； （2）计算正四棱锥侧面上的高，结合三角形的面积公式以及矩形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 解：正方形的面积为， 因此，四棱锥的体积为. 【小问2详解】 解：连接、，则，取的中点，连接， 由题意可知平面，、平面，则，， 且，由勾股定理可得， 因为为的中点，则，则， 因此，正四棱锥的表面积为. 18. 已知平面是的直径，是上的任一点.求证： （1）. （2）平面平面. 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【小问1详解】 是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . 【小问2详解】 由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，D，E，F分别是棱BC，CC1，B1C1的中点．求证： （1）直线A1F∥平面ADE； （2）平面ADE⊥平面BCC1B1． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明后可得线面平行； （2）证明AD⊥平面BCC1B1后可证得面面垂直． 【详解】证明：（1）连结DF，∵D，F为中点，∴， ∴四边形ADFA1为平行四边形，∴A1F∥AD， ∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADE． （2）∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵BC⊥AD（三线合一）， ∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCC1B1． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定理的条件要一一满足，缺一不可． 20. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面； （2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积 【详解】(1)证明：∵、分别为、的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； (2)证明：∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， 且平面，∴平面，又平面， ∴平面平面； (3)解：在等腰直角三角形中，， ∴，，∴等边三角形的面积， 又∵平面，∴三棱锥的体积， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $