第17讲：双曲线的标准方程【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第17讲：双曲线的标准方程】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数（记为2a，且2a<|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。 常数2a：双曲线上点到两焦点距离差的绝对值，a>0。 两焦点间距2c：c>0，且c>a（保证轨迹为双曲线，而非射线或无轨迹）。 二、标准方程的两种形式 1.焦点在x轴上 方程：（a>0，b>0） 核心特征：中心在原点，焦点坐标为(±c,0)，且满足。 2.焦点在y轴上 方程：（a>0，b>0） 核心特征：中心在原点，焦点坐标为(0,±c)，同样满足。 三、关键参数与性质 a的几何意义：实半轴长，双曲线上顶点到中心的距离（顶点坐标：x轴焦点时为±a,0；y轴焦点时为0,±a）。 b的几何意义：虚半轴长，用于确定渐近线斜率，无直接“长度”对应，仅满足。 离心率e：，e>1（双曲线离心率恒大于1，e越大双曲线开口越开阔）。 渐近线方程：x轴焦点时为；y轴焦点时为。 四、特殊情况：等轴双曲线 定义：a=b的双曲线，离心率。 方程：（焦点在x轴）或（焦点在y轴）。 渐近线：（相互垂直）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据双曲线的定义求方程】 【解题策略】 一、定义核心公式 两焦点：设F₁(x₁,y₁)、F₂(x₂,y₂)，焦点间距离（） 轨迹条件：动点P(x,y)满足（，且，即） 无轨迹/射线条件：若，则轨迹不存在（时为以F₁、F₂为端点的两条射线） 二、标准方程规范形式 1.焦点在x轴上（中心在原点） 前提：两焦点F₁(-c,0)、F₂(c,0)（连线平行于x轴，中点为原点） 完整轨迹（双曲线两支）：（，） 单支轨迹（右支）：（） 单支轨迹（左支）：（） 2.焦点在y轴上（中心在原点） 前提：两焦点F₁(0,-c)、F₂(0,c)（连线平行于y轴，中点为原点） 完整轨迹（双曲线两支）：（，） 单支轨迹（上支）：（） 单支轨迹（下支）：（） 三、核心参数关系公式 基本关系：（推导） 离心率：（，双曲线专属性质） 渐近线方程： 焦点在x轴： 焦点在y轴： 四、中心非原点的平移公式（拓展） 若两焦点中点（中心）为(h,k)，焦点连线平行于x轴： （，） 若两焦点中点（中心）为(h,k)，焦点连线平行于y轴： （，） 例题精选 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到为等腰三角形，从而，进而得到的轨迹是一条双曲线，求出，，从而得到轨迹方程. 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【答案】 【分析】 利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案. 【详解】 由题意可知，点在线段的垂直平分线上， 所以， 又点是圆上一动点， 所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得， 所以的轨迹的方程为． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【题型2：判断方程是否表示双曲线】 【解题策略】 一、核心判断条件（基础公式） 1.方程一般形式 （注：、不同时为0，且，时非双曲线） 2.双曲线核心判定条件 （、一正一负，异号是双曲线的本质特征） 3.非双曲线排除条件（对比公式） 条件 公式形式 轨迹类型 系数同正 椭圆（为圆） 系数其一为0 抛物线或两条直线 常数项为0 两条相交直线 二、标准形式转化公式（中心在原点） 情况1：焦点在x轴上 前提条件：，， 转化步骤：两边同除以，使右边为1 简化记法（令，，，）： 情况2：焦点在y轴上 前提条件：，， 转化步骤：两边同除以，使右边为1 简化记法（令，，，）： 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 【例题2】【多选】（24-25高二下·福建福州·期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断；C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率；D选项，C上的点到焦点的最短距离为. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆， C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】【多选】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 【相似题2】【多选】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 【题型3：双曲线上的点到焦点的距离与最值】 【解题策略】 一、距离计算核心策略 1.定义法（核心方法） 公式依据：双曲线上任意一点满足（为两焦点，为实轴长）。 适用场景：已知其中一个焦点距离（如），求另一个距离（如）。 注意符号： 若在右支（焦点在x轴），则。 若在左支（焦点在x轴），则。 2.第二定义法（离心率法） 公式依据：双曲线上任意一点到焦点的距离=离心率到对应准线的距离（）。 准线方程（中心在原点）： 焦点位置 左焦点对应准线 右焦点对应准线 x轴上 y轴上 适用场景：已知的坐标，直接计算到焦点的距离（避免根号运算）。 二、最值求解核心策略 1.最值结论（关键！） 最小值：双曲线上点到焦点的距离最小值为，在靠近该焦点的顶点处取得。 例：焦点在x轴时，右焦点对应的最小值点为右顶点，。 无最大值：双曲线上的点可无限远离焦点，距离趋于无穷大。 2.最值推导（辅助理解） 由第二定义，准线到焦点的距离为。 双曲线上点到准线的最小距离为顶点到准线的距离（，取绝对值），代入得。 三、易错点提醒 混淆“对应准线”：左焦点只能对应左准线，右焦点对应右准线，不可交叉使用。 忽略点所在分支：用定义法时，需先判断在左支还是右支，否则符号错误。 误判最值点：最值仅在顶点处，而非双曲线其他位置（如渐近线附近）。 四、典型例题解析 例1：已知双曲线（，，），点在右支上，且，求。 解：右支上满足，故。 例2：求上述双曲线右支上点到左焦点的最小值。 解：右支上点到的最小值在右顶点处，（补充：单支上到另一焦点的最小值为）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A.    【例题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 【答案】12 【分析】根据双曲线定义求解. 【详解】由双曲线，得，，， 设其左右焦点为，， 则由双曲线的定义，得， 可设，则有(舍去或12， 故P在左支上，P到另一个焦点的距离为12. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【答案】4或12 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设点到它的左焦点的距离是， 由可知，，即， 则由双曲线定义，解得或， 故答案为：4或12 【题型4：利用定义求双曲线中线段的和差最值】 【解题策略】 一、核心工具：双曲线定义的灵活转化 定义公式：双曲线上任意点满足（为两焦点，为实轴长）。 转化方向： 1.右支上的点：（消去）或（消去）。 2.左支上的点：（消去）或（消去）。 核心逻辑：将“线段和差”转化为“两点间距离”（利用“两点之间线段最短”或“三角形两边之和/差关系”）。 二、线段和的最值解题策略 1.适用场景：求的最值（为定点，为焦点） 2.解题步骤： 1.用定义替换其中一个焦点距离（优先替换与定点同侧的焦点）。 2.转化为“定点到另一焦点的距离”问题，当在“定点与另一焦点连线”上时取最值。 3.分情况公式与结论： 点所在分支 转化方式（以为右焦点，为右方定点为例） 最值结论 右支 最小值：（在连线上） 左支 最小值：（在连线上） 注意：线段和无最大值（远离焦点时，距离趋于无穷大）。 4.典型例题： 已知双曲线（，，，），定点，求右支上点满足的最小值。 转化：右支上，故原式=。 最值：最小值为，总最小值=（为连线与右支交点）。 三、线段差的最值解题策略 1.适用场景：求或的最值（为定点，为焦点） 2.解题步骤： 1.用定义转化线段（消去多余焦点距离），将差转化为“两点间距离的差”。 2.利用“三角形两边之差的绝对值≤第三边”，当在“定点与焦点连线的延长线”上时取等号。 3.分情况公式与结论： 目标表达式 转化方式（以在右支为例） 最值结论 最大值：；最小值：（需保证在右支） 直接用三角形性质 最大值：（在延长线上）；无最小值（趋于负无穷） 注意：若表达式为，右支上恒为（定值，无最值）。 4.典型例题： 沿用上述双曲线，定点，求右支上点满足的最大值。 由三角形性质：。 计算，故最大值为5（在延长线与右支交点）。 四、易错点排查 1.忽略点所在分支：转化时必须明确在左支还是右支，否则定义符号错误（如左支不能用）。 2.忘记“三点共线”条件：最值仅在“定点-焦点-共线”时取得，而非任意位置。 3.混淆“和/差”转化方向：和最值优先“凑两点连线”，差最值优先“用三角形性质” 例题精选 【例题1】（25-26高二上·重庆·阶段练习）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9    【例题2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【相似题2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 【题型5：双曲线中实轴虚轴焦距的关系】 【解题策略】 一、核心概念与公式 1.参数与几何量对应 几何量 定义 参数表示 长度关系 实轴 双曲线两顶点间的线段 （实半轴） 实轴长= 虚轴 与实轴垂直的辅助轴 （虚半轴） 虚轴长= 焦距 两焦点间的线段 （半焦距） 焦距= 2.核心关系公式（重中之重） 变形公式（按需推导）： （已知c、b求） （已知a、c求） （已知a、b求） 二、常见题型解题策略 题型1：已知两个量，求第三个量 解题步骤： 1.明确已知量对应的参数（如“实轴长6”→→；“焦距10”→→）。 2.代入核心公式变形求解。 示例：已知双曲线实轴长8，虚轴长6，求焦距。 解：→；→。 由→，故焦距。 题型2：结合离心率求参数 核心关联：离心率（），联立求解。 解题步骤： 1.由得。 2.代入，结合已知条件求解。 示例：已知双曲线离心率，实轴长6，求虚轴长。 解：→；。 →，故虚轴长。 题型3：结合标准方程求几何量 解题步骤： 1.从标准方程中提取（如→→，→）。 2.用核心公式求，再计算实轴长、虚轴长、焦距。 注意：焦点在y轴上的方程（如），参数关系不变，仍用。 题型4：与定义结合求参数 解题逻辑：双曲线定义中（），结合验证或求解。 示例：已知双曲线上点到两焦点距离差的绝对值为4（），焦距为6（），求虚轴长。 解：，，→，虚轴长。 三、易错点排查 1.混淆“参数”与“长度”：是实半轴（不是实轴长），才是实轴长，同理是虚轴长、是焦距。 2.颠倒a、b关系：核心公式是（最大），切勿写成（椭圆的公式，易混淆）。 3.忽略参数正负：a、b、c均为正数，求解后需取正根。 4.离心率范围记错：双曲线离心率，若计算出，则参数求解错误。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）已知双曲线的焦点分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，进而根据双曲线的几何性质可得，解方程即可. 【详解】由题知，双曲线的焦点分别为，， 所以双曲线焦点在轴上，，且， 所以，解得. 故答案为： 【例题2】 （24-25高一下·上海奉贤·期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，， 故答案为：4． 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 【相似题2】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值. 【详解】由焦距为，， 则，解得：， 故m的值为1. 故选：C. 【题型6：双曲线中焦点三角形的问题】 【解题策略】 一、焦点三角形核心定义与前提 定义：设双曲线（），两焦点（），双曲线上任意一点，则为焦点三角形。 基础条件： 1.（双曲线定义） 2.（焦距） 3.（保证双曲线存在） 二、常见结论（规范公式+直接用） 1.边长关系结论 设，，则： （平方变形，适配余弦定理） 三角形三边满足：（三角形不等式+双曲线定义） 2.角的结论（设顶角，底角为） 顶角的范围：（为顶点处的角，即在顶点时，） 余弦定理核心式： 结合边长平方变形，推导得：（高频变形公式） 3.面积结论（3种常用公式，按需选择） 公式1（基础版）：（两边及夹角面积公式） 公式2（双曲线专属版）：（核心结论，无需求m、n，已知直接用） 推导：由得，代入公式1，结合三角恒等变换、，化简得此式。 公式3（底高版）：（为点纵坐标绝对值，已知坐标时用） 4.离心率与角的关系 由及（均值不等式），推导得：（较少用） 简化结论：（适配已知时求） 三、解题策略（分题型，步骤清晰） 题型1：求焦点三角形面积 解题步骤： 1.已知（顶角）：直接用公式。 2.已知m、n（两边长）：用公式（需先由余弦定理求）。 3.已知（点坐标）：用公式。 示例：已知双曲线（），焦点三角形顶角，求面积。 解：直接用公式。 题型2：求顶角或底角 解题步骤： 1.由双曲线定义得，平方得。 2.代入余弦定理，解方程求，进而得。 示例：已知双曲线（），在右支上，，，求。 解：，，。 代入余弦定理：，故。 题型3：求离心率 解题步骤： 1.由余弦定理和双曲线定义联立，消去m、n，保留a、c。 2.化简得的表达式，代入已知条件求解。 示例：焦点三角形顶角，且，求离心率。 解：由？修正：（矛盾，换示例）。 正确示例：已知，，求。 解：由（符合），再由。 又，代入余弦定理。 因，故（需补充a、b关系，此处仅展示步骤）。 题型4：求（边长） 解题步骤： 1.设，，列方程组： （双曲线定义） （余弦定理） 2.解方程组求m、n。 示例：双曲线（），焦点三角形顶角，求m、n。 解：，。 由。 解得，（或反之）。 四、易错点排查 1.混淆双曲线与椭圆的面积公式：双曲线是，椭圆是，切勿颠倒“tan”与“cot”。 2.忽略的绝对值：若未明确所在分支，需保留绝对值；明确分支后（如右支），直接用。 3.误将当焦距：焦距是，余弦定理中边长为，而非。 4.三角恒等变换错误：推导面积公式时，需熟练掌握、。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理及双曲线定义求得，进一步求出面积即可. 【详解】由，可得，，， ， 又因为，所以，即， 由余弦定理得，解得, 所以， 故答案为： 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，设，，，根据同角三角函数关系求得，，由正弦定理可得，，，由得，，，从而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】如图： 由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，则得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，，由，得， 则，，，， 由双曲线的定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理和双曲线定义可求得，采用面积法可构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：，    在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 故答案为：. 【相似题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|= . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程得到，从而得到的关系，然后用向量表示，根据可求得. 【详解】由双曲线C：知：，所以. 设双曲线C上存在一点P，满足，则整理得. 中，点是的中点，所以，所以 所以. 故答案为：. 【题型7：双曲线方程中的其他最值问题】 【解题策略】 一、题型1：双曲线上点到定直线的距离最值 核心策略 优先几何法（找平行公切线），无公切线用代数法。 解题步骤 1.设与定直线平行的直线：。 2.联立双曲线与平行线，令判别式，求D。 3.用两平行线距离公式得最值。 关键公式 两平行线距离： 判别式：（联立后方程） 示例 双曲线，求到直线的最小距离： 1.设平行线，联立得。 2.令（无解，用代数法）。 3.设，距离，由双曲线消元得最小值。 二、题型2：双曲线上点的代数式最值（等） 核心策略 消元法或参数方程法，转化为单变量/三角函数求最值。 解题步骤 1.消元法：用双曲线方程消一个变量，代入代数式得函数，结合定义域求最值。 2.参数方程法：焦点在x轴时，、，代入转化为三角函数。 关键公式 参数方程：， 辅助角公式： 示例 双曲线，求最大值： 1.参数方程：、。 2.代入得，求导得最大值3。 三、题型3：过定点直线与双曲线相交的斜率最值（范围） 核心策略 联立方程，用“二次项系数≠0+判别式≥0”求解。 解题步骤 1.设直线，联立双曲线得方程。 2.二次方程：需（避渐近线）且，解k的范围。 3.一次方程：单独判断是否有交点。 关键条件 二次方程：且 渐近线斜率：焦点在x轴时，y轴时 示例 过定点与相交，求k的范围： 1.联立得。 2.令且。 3.解得：。 四、题型4：双曲线上点到非焦点定点的距离最值 核心策略 代数法（距离平方转化为单变量函数）。 解题步骤 1.设、定点，得。 2.用双曲线方程消元，得。 3.结合双曲线定义域（x轴焦点）求最值。 关键公式 距离平方： 定义域：（x轴焦点）或（y轴焦点） 示例 双曲线，求到的最小值： 1.，代入。 2.得，配方得最小值2。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若点O和点F分别为双曲线的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先将的表达式列出来，然后根据的范围求出最小值即可. 【详解】设，点为双曲线上的一点，所以满足，即. 由题知，则，， 所以， ， 所以当时，最小. 故选：C.    【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，且， 则有，得， 将点代入双曲线中得，所以  ①． 因为，即同向， 所以，所以， 将①代入上式并整理得， 即，则，等号能取到， 所以． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由双曲线方程可知： 可知双曲线方程的左、右焦点分别为， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，则 可得 ， 当且仅当为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30． 故选：B． 【相似题2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值. 【详解】当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的椭圆在第一象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分， 当时，，方程无解，不表示任何图象， 作出图形如图所示，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆+=1的一部分， 可看成是点到直线的距离的倍. 由图可知，点在椭圆上时，距离最大. 设，则， 其中，则，当时取到等号， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于分情况去绝对值得到方程所表示的曲线，结合图象利用三角代换可求最大值. 【题型8：双曲线中的其他三角形问题】 例题精选 【例题1】（2025·四川南充·模拟预测）已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【答案】4 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 【例题2】（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件用表示出，在中，利用余弦定理建立等式，找到，再在中，利用余弦定理及找到，设，结合，，利用斜率公式表示出与的斜率之积即可求解． 【详解】解：由双曲线定义可知： ，且， 不妨设， 所以，， 则，， 在中，， 由余弦定理得 ， 即， 即， 解得，舍去负值， 在中，由余弦定理得 ， 即， 即，结合， 即得， 故得，即， 设， 则，， 而， ． 故选：． 相似练习 【相似题1】（2025·贵州黔东南·三模）已知点P是双曲线上第一象限的点，C的左、右焦点分别为，若是面积为的等边三角形（O为坐标原点），则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，根据等边三角形的面积，求出的长度，求出和的坐标，求出直线方程. 【详解】 设焦点， ，解得， 可知，在中，根据勾股定理， 所以，，可得直线方程为，化简得. 故选：B. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 4．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·山东淄博·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 10．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆·期末）记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 12．（2020·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 13．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．平面上存在定点P，使得为定值 C．的最大值为64 D．点Q到直线距离的最大值为4 三、填空题 14．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 15．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 四、解答题 16．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A A A C B A D 题号 11 12 13 答案 ACD BC ABD 1．D 【分析】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D 2．A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 3．D 【分析】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【详解】由题意，，， 故选：D． 4．A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 5．A 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 6．A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 7．C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 8．B 【分析】根据题意，焦点在轴上，且，，进而得，再求椭圆的离心力即可. 【详解】解：在双曲线中，焦点在轴上，且满足， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以在椭圆中，焦点在轴上，， 所以，即， 所以在椭圆中，长轴长为，焦距为， 所以椭圆的离心率为 故选：B 9．A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 10．D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 11．ACD 【分析】易知当时，曲线为圆，即A正确，假设曲线为等轴双曲线，但方程无解，可得假设不成立，即B错误；再根据双曲线标准方程定义可判断C正确，又利用椭圆标准方程可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，即时，曲线方程为， 也即，表示圆，即A正确； 对于B，若曲线可能为等轴双曲线可知，显然此方程无解， 因此曲线不可能为等轴双曲线，即B错误； 对于C，若，可知，方程可化为， 此时为焦点在轴上的双曲线，即C正确； 对于D，若，可得，且， 所以为焦点在轴上的椭圆，即D正确. 故选：ACD 12．BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 13．ABD 【分析】根据题意可得，所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为，设点，则，可得其最大值判断A；由圆的性质可判断B，D；利用基本不等式判断C. 【详解】根据题意，双曲线方程，则， 因为恒有，，则有，， 解得，所以：，：， 又，所以， 所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为， 设点， 则 当，上式取最大值为，所以的最大值为，A正确； 平面上存在定点P（原点O），使得为定值4，B正确； 又因为，所以， 当且仅当点Q为圆与轴的交点时成立，C错误； 点Q到直线距离的最大值为圆的半径4，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据题意发现，从而点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为是解题关键. 14． 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 15． 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 16．(1) (2) 【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标，设双曲线方程，结合题意列式求解即可； （2）结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程． 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第17讲：双曲线的标准方程】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数（记为2a，且2a<|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。 常数2a：双曲线上点到两焦点距离差的绝对值，a>0。 两焦点间距2c：c>0，且c>a（保证轨迹为双曲线，而非射线或无轨迹）。 二、标准方程的两种形式 1.焦点在x轴上 方程：（a>0，b>0） 核心特征：中心在原点，焦点坐标为(±c,0)，且满足。 2.焦点在y轴上 方程：（a>0，b>0） 核心特征：中心在原点，焦点坐标为(0,±c)，同样满足。 三、关键参数与性质 a的几何意义：实半轴长，双曲线上顶点到中心的距离（顶点坐标：x轴焦点时为±a,0；y轴焦点时为0,±a）。 b的几何意义：虚半轴长，用于确定渐近线斜率，无直接“长度”对应，仅满足。 离心率e：，e>1（双曲线离心率恒大于1，e越大双曲线开口越开阔）。 渐近线方程：x轴焦点时为；y轴焦点时为。 四、特殊情况：等轴双曲线 定义：a=b的双曲线，离心率。 方程：（焦点在x轴）或（焦点在y轴）。 渐近线：（相互垂直）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据双曲线的定义求方程】 【解题策略】 一、定义核心公式 两焦点：设F₁(x₁,y₁)、F₂(x₂,y₂)，焦点间距离（） 轨迹条件：动点P(x,y)满足（，且，即） 无轨迹/射线条件：若，则轨迹不存在（时为以F₁、F₂为端点的两条射线） 二、标准方程规范形式 1.焦点在x轴上（中心在原点） 前提：两焦点F₁(-c,0)、F₂(c,0)（连线平行于x轴，中点为原点） 完整轨迹（双曲线两支）：（，） 单支轨迹（右支）：（） 单支轨迹（左支）：（） 2.焦点在y轴上（中心在原点） 前提：两焦点F₁(0,-c)、F₂(0,c)（连线平行于y轴，中点为原点） 完整轨迹（双曲线两支）：（，） 单支轨迹（上支）：（） 单支轨迹（下支）：（） 三、核心参数关系公式 基本关系：（推导） 离心率：（，双曲线专属性质） 渐近线方程： 焦点在x轴： 焦点在y轴： 四、中心非原点的平移公式（拓展） 若两焦点中点（中心）为(h,k)，焦点连线平行于x轴： （，） 若两焦点中点（中心）为(h,k)，焦点连线平行于y轴： （，） 例题精选 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【题型2：判断方程是否表示双曲线】 【解题策略】 一、核心判断条件（基础公式） 1.方程一般形式 （注：、不同时为0，且，时非双曲线） 2.双曲线核心判定条件 （、一正一负，异号是双曲线的本质特征） 3.非双曲线排除条件（对比公式） 条件 公式形式 轨迹类型 系数同正 椭圆（为圆） 系数其一为0 抛物线或两条直线 常数项为0 两条相交直线 二、标准形式转化公式（中心在原点） 情况1：焦点在x轴上 前提条件：，， 转化步骤：两边同除以，使右边为1 简化记法（令，，，）： 情况2：焦点在y轴上 前提条件：，， 转化步骤：两边同除以，使右边为1 简化记法（令，，，）： 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【例题2】【多选】（24-25高二下·福建福州·期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 相似练习 【相似题1】【多选】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【相似题2】【多选】（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【题型3：双曲线上的点到焦点的距离与最值】 【解题策略】 一、距离计算核心策略 1.定义法（核心方法） 公式依据：双曲线上任意一点满足（为两焦点，为实轴长）。 适用场景：已知其中一个焦点距离（如），求另一个距离（如）。 注意符号： 若在右支（焦点在x轴），则。 若在左支（焦点在x轴），则。 2.第二定义法（离心率法） 公式依据：双曲线上任意一点到焦点的距离=离心率到对应准线的距离（）。 准线方程（中心在原点）： 焦点位置 左焦点对应准线 右焦点对应准线 x轴上 y轴上 适用场景：已知的坐标，直接计算到焦点的距离（避免根号运算）。 二、最值求解核心策略 1.最值结论（关键！） 最小值：双曲线上点到焦点的距离最小值为，在靠近该焦点的顶点处取得。 例：焦点在x轴时，右焦点对应的最小值点为右顶点，。 无最大值：双曲线上的点可无限远离焦点，距离趋于无穷大。 2.最值推导（辅助理解） 由第二定义，准线到焦点的距离为。 双曲线上点到准线的最小距离为顶点到准线的距离（，取绝对值），代入得。 三、易错点提醒 混淆“对应准线”：左焦点只能对应左准线，右焦点对应右准线，不可交叉使用。 忽略点所在分支：用定义法时，需先判断在左支还是右支，否则符号错误。 误判最值点：最值仅在顶点处，而非双曲线其他位置（如渐近线附近）。 四、典型例题解析 例1：已知双曲线（，，），点在右支上，且，求。 解：右支上满足，故。 例2：求上述双曲线右支上点到左焦点的最小值。 解：右支上点到的最小值在右顶点处，（补充：单支上到另一焦点的最小值为）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【例题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 相似练习 【相似题1】（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 【相似题2】（24-25高二上·广东江门·期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【题型4：利用定义求双曲线中线段的和差最值】 【解题策略】 一、核心工具：双曲线定义的灵活转化 定义公式：双曲线上任意点满足（为两焦点，为实轴长）。 转化方向： 1.右支上的点：（消去）或（消去）。 2.左支上的点：（消去）或（消去）。 核心逻辑：将“线段和差”转化为“两点间距离”（利用“两点之间线段最短”或“三角形两边之和/差关系”）。 二、线段和的最值解题策略 1.适用场景：求的最值（为定点，为焦点） 2.解题步骤： 1.用定义替换其中一个焦点距离（优先替换与定点同侧的焦点）。 2.转化为“定点到另一焦点的距离”问题，当在“定点与另一焦点连线”上时取最值。 3.分情况公式与结论： 点所在分支 转化方式（以为右焦点，为右方定点为例） 最值结论 右支 最小值：（在连线上） 左支 最小值：（在连线上） 注意：线段和无最大值（远离焦点时，距离趋于无穷大）。 4.典型例题： 已知双曲线（，，，），定点，求右支上点满足的最小值。 转化：右支上，故原式=。 最值：最小值为，总最小值=（为连线与右支交点）。 三、线段差的最值解题策略 1.适用场景：求或的最值（为定点，为焦点） 2.解题步骤： 1.用定义转化线段（消去多余焦点距离），将差转化为“两点间距离的差”。 2.利用“三角形两边之差的绝对值≤第三边”，当在“定点与焦点连线的延长线”上时取等号。 3.分情况公式与结论： 目标表达式 转化方式（以在右支为例） 最值结论 最大值：；最小值：（需保证在右支） 直接用三角形性质 最大值：（在延长线上）；无最小值（趋于负无穷） 注意：若表达式为，右支上恒为（定值，无最值）。 4.典型例题： 沿用上述双曲线，定点，求右支上点满足的最大值。 由三角形性质：。 计算，故最大值为5（在延长线与右支交点）。 四、易错点排查 1.忽略点所在分支：转化时必须明确在左支还是右支，否则定义符号错误（如左支不能用）。 2.忘记“三点共线”条件：最值仅在“定点-焦点-共线”时取得，而非任意位置。 3.混淆“和/差”转化方向：和最值优先“凑两点连线”，差最值优先“用三角形性质” 例题精选 【例题1】（25-26高二上·重庆·阶段练习）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【例题2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【相似题2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【题型5：双曲线中实轴虚轴焦距的关系】 【解题策略】 一、核心概念与公式 1.参数与几何量对应 几何量 定义 参数表示 长度关系 实轴 双曲线两顶点间的线段 （实半轴） 实轴长= 虚轴 与实轴垂直的辅助轴 （虚半轴） 虚轴长= 焦距 两焦点间的线段 （半焦距） 焦距= 2.核心关系公式（重中之重） 变形公式（按需推导）： （已知c、b求） （已知a、c求） （已知a、b求） 二、常见题型解题策略 题型1：已知两个量，求第三个量 解题步骤： 1.明确已知量对应的参数（如“实轴长6”→→；“焦距10”→→）。 2.代入核心公式变形求解。 示例：已知双曲线实轴长8，虚轴长6，求焦距。 解：→；→。 由→，故焦距。 题型2：结合离心率求参数 核心关联：离心率（），联立求解。 解题步骤： 1.由得。 2.代入，结合已知条件求解。 示例：已知双曲线离心率，实轴长6，求虚轴长。 解：→；。 →，故虚轴长。 题型3：结合标准方程求几何量 解题步骤： 1.从标准方程中提取（如→→，→）。 2.用核心公式求，再计算实轴长、虚轴长、焦距。 注意：焦点在y轴上的方程（如），参数关系不变，仍用。 题型4：与定义结合求参数 解题逻辑：双曲线定义中（），结合验证或求解。 示例：已知双曲线上点到两焦点距离差的绝对值为4（），焦距为6（），求虚轴长。 解：，，→，虚轴长。 三、易错点排查 1.混淆“参数”与“长度”：是实半轴（不是实轴长），才是实轴长，同理是虚轴长、是焦距。 2.颠倒a、b关系：核心公式是（最大），切勿写成（椭圆的公式，易混淆）。 3.忽略参数正负：a、b、c均为正数，求解后需取正根。 4.离心率范围记错：双曲线离心率，若计算出，则参数求解错误。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）已知双曲线的焦点分别为，，则 . 【例题2】 （24-25高一下·上海奉贤·期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·广西·阶段练习）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【相似题2】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【题型6：双曲线中焦点三角形的问题】 【解题策略】 一、焦点三角形核心定义与前提 定义：设双曲线（），两焦点（），双曲线上任意一点，则为焦点三角形。 基础条件： 1.（双曲线定义） 2.（焦距） 3.（保证双曲线存在） 二、常见结论（规范公式+直接用） 1.边长关系结论 设，，则： （平方变形，适配余弦定理） 三角形三边满足：（三角形不等式+双曲线定义） 2.角的结论（设顶角，底角为） 顶角的范围：（为顶点处的角，即在顶点时，） 余弦定理核心式： 结合边长平方变形，推导得：（高频变形公式） 3.面积结论（3种常用公式，按需选择） 公式1（基础版）：（两边及夹角面积公式） 公式2（双曲线专属版）：（核心结论，无需求m、n，已知直接用） 推导：由得，代入公式1，结合三角恒等变换、，化简得此式。 公式3（底高版）：（为点纵坐标绝对值，已知坐标时用） 4.离心率与角的关系 由及（均值不等式），推导得：（较少用） 简化结论：（适配已知时求） 三、解题策略（分题型，步骤清晰） 题型1：求焦点三角形面积 解题步骤： 1.已知（顶角）：直接用公式。 2.已知m、n（两边长）：用公式（需先由余弦定理求）。 3.已知（点坐标）：用公式。 示例：已知双曲线（），焦点三角形顶角，求面积。 解：直接用公式。 题型2：求顶角或底角 解题步骤： 1.由双曲线定义得，平方得。 2.代入余弦定理，解方程求，进而得。 示例：已知双曲线（），在右支上，，，求。 解：，，。 代入余弦定理：，故。 题型3：求离心率 解题步骤： 1.由余弦定理和双曲线定义联立，消去m、n，保留a、c。 2.化简得的表达式，代入已知条件求解。 示例：焦点三角形顶角，且，求离心率。 解：由？修正：（矛盾，换示例）。 正确示例：已知，，求。 解：由（符合），再由。 又，代入余弦定理。 因，故（需补充a、b关系，此处仅展示步骤）。 题型4：求（边长） 解题步骤： 1.设，，列方程组： （双曲线定义） （余弦定理） 2.解方程组求m、n。 示例：双曲线（），焦点三角形顶角，求m、n。 解：，。 由。 解得，（或反之）。 四、易错点排查 1.混淆双曲线与椭圆的面积公式：双曲线是，椭圆是，切勿颠倒“tan”与“cot”。 2.忽略的绝对值：若未明确所在分支，需保留绝对值；明确分支后（如右支），直接用。 3.误将当焦距：焦距是，余弦定理中边长为，而非。 4.三角恒等变换错误：推导面积公式时，需熟练掌握、。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ． 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【相似题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|= . 【题型7：双曲线方程中的其他最值问题】 【解题策略】 一、题型1：双曲线上点到定直线的距离最值 核心策略 优先几何法（找平行公切线），无公切线用代数法。 解题步骤 1.设与定直线平行的直线：。 2.联立双曲线与平行线，令判别式，求D。 3.用两平行线距离公式得最值。 关键公式 两平行线距离： 判别式：（联立后方程） 示例 双曲线，求到直线的最小距离： 1.设平行线，联立得。 2.令（无解，用代数法）。 3.设，距离，由双曲线消元得最小值。 二、题型2：双曲线上点的代数式最值（等） 核心策略 消元法或参数方程法，转化为单变量/三角函数求最值。 解题步骤 1.消元法：用双曲线方程消一个变量，代入代数式得函数，结合定义域求最值。 2.参数方程法：焦点在x轴时，、，代入转化为三角函数。 关键公式 参数方程：， 辅助角公式： 示例 双曲线，求最大值： 1.参数方程：、。 2.代入得，求导得最大值3。 三、题型3：过定点直线与双曲线相交的斜率最值（范围） 核心策略 联立方程，用“二次项系数≠0+判别式≥0”求解。 解题步骤 1.设直线，联立双曲线得方程。 2.二次方程：需（避渐近线）且，解k的范围。 3.一次方程：单独判断是否有交点。 关键条件 二次方程：且 渐近线斜率：焦点在x轴时，y轴时 示例 过定点与相交，求k的范围： 1.联立得。 2.令且。 3.解得：。 四、题型4：双曲线上点到非焦点定点的距离最值 核心策略 代数法（距离平方转化为单变量函数）。 解题步骤 1.设、定点，得。 2.用双曲线方程消元，得。 3.结合双曲线定义域（x轴焦点）求最值。 关键公式 距离平方： 定义域：（x轴焦点）或（y轴焦点） 示例 双曲线，求到的最小值： 1.，代入。 2.得，配方得最小值2。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若点O和点F分别为双曲线的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·四川成都·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．31 D．32 【相似题2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【题型8：双曲线中的其他三角形问题】 例题精选 【例题1】（2025·四川南充·模拟预测）已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【例题2】（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·贵州黔东南·三模）已知点P是双曲线上第一象限的点，C的左、右焦点分别为，若是面积为的等边三角形（O为坐标原点），则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 4．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·山东淄博·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 10．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆·期末）记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 12．（2020·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 13．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．平面上存在定点P，使得为定值 C．的最大值为64 D．点Q到直线距离的最大值为4 三、填空题 14．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 15．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 四、解答题 16．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $