专题27.9 弧长及扇形的面积（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.9 弧长及扇形的面积（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 利用弧长公式求弧长】 2 【题型2 利用弧长公式求长度】 3 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 4 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 5 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 6 【题型6 求弓形面积】 7 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 8 【题型8 不规则图形的面积计算】 10 知识点1 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点2 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型1 利用弧长公式求弧长】 【例1】（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用弧长公式求长度】 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【变式2-2】（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 米． 【变式2-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 【例3】小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） 【变式3-1】一个扇形的弧长是 ，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 【变式3-2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【变式4-1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）    A．（）° B．（）° C．（）° D．（）° 【变式4-2】（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 【例5】（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求扇形的面积． 【变式5-2】（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 【变式5-3】（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 【题型6 求弓形面积】 【例6】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【变式6-2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式6-3】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】（2025·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；并求出边旋转扫过的面积． (2)将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积． 【变式7-1】（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型8 不规则图形的面积计算】 【例8】（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式8-1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【变式8-2】（2025·河南南阳·三模）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的 ． 【变式8-3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.9 弧长及扇形的面积（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 利用弧长公式求弧长】 2 【题型2 利用弧长公式求长度】 6 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 10 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 13 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 16 【题型6 求弓形面积】 20 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 24 【题型8 不规则图形的面积计算】 31 知识点1 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点2 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型1 利用弧长公式求弧长】 【例1】（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和．利用切线的性质可得，进而得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，分别与相切于点 A， B， ， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是， 的长是， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．解题的关键是求出圆的半径与所对的圆心角．根据，延长到圆心E，在设未知数求出半径的长，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，即可求出圆心角，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵轴， ∴圆心在y轴上， 设圆心为点E，连接、、， ， ∵在坐标系中：，，， ∴可知：，， 此时由于半径相等：， ∴设，则， ∵由题可知：， ∴在中有勾股定理：， ∴，解得：， ∴半径为：5， ∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，，可得为等边三角形，，求解；再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于， ∵由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由等边三角形的性质可得：，，而， ∴，， ∴， ∴； ∴的长； 故选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键. 【题型2 利用弧长公式求长度】 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【答案】 【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 米． 【答案】1 【分析】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 由题意知，，，计算求解的值，然后根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【变式2-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 【例3】小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）如图，连接，，与交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （）如图，连接，，延长交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为，再根据弧长公式即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， ∴， 解得， ∴所对的圆心角度数为； 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3-1】一个扇形的弧长是 ，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】36 【分析】利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得： ， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式3-2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解∶如图所示， 解：转动一次顶点A至点，旋转，路线长是：， 转动第二次顶点至点，未动，路线长是：0， 转动第三次顶点至点，旋转，路线长是：， 以此类推，每三次循环， 故顶点A转动三次经过的路线长为：， ∵9次旋转重复了（遍）， ∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：． 故答案为 ∶． 【变式4-1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）    A．（）° B．（）° C．（）° D．（）° 【答案】D 【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可． 【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n， 则AC=，由AC=AB， 解得n= 故选D． 【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键． 【变式4-2】（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 【变式4-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 【例5】（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明是等边三角形，求出，得到（），即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， （）， 故答案为： 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求扇形面积，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【变式5-2】（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由正五边形和正六边形可得：，， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接、，与交于点．根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性质，得到，再结合扇形面积公式，求出，由垂径定理可得，，，再解直角三角形，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，与交于点． 是等边三角形， ， 四边形内接于， ， ， 阴影部分的面积为， ， ， （负值舍去）， 是半径，点D是弧BC的中点， ，，， ， ， ， ， 等边三角形的边长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形，扇形面积，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 【题型6 求弓形面积】 【例6】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式6-1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 【变式6-3】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证； （）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图，连接，过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴弓形面积为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】（2025·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；并求出边旋转扫过的面积． (2)将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积． 【答案】(1)见解析，边旋转扫过的面积 (2)见解析，的面积为或 【分析】本题考查了作图—旋转变换，坐标与图形变化—平移，利用网格求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握旋转变换、平移变换的性质． （1）分类讨论：①当以为旋转中心顺时针旋转时；②当以为旋转中心逆时针旋转时，逐一作图求解即可； （2）根据向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 ，即可作图，再由①当以为旋转中心顺时针旋转时；②当以为旋转中心逆时针旋转时，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①当以为旋转中心顺时针旋转时，如图，设以为半径的圆与轴交于点， 由，得，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴边旋转扫过的面积为． ②当以为旋转中心逆时针旋转时，如图， 同理可得，边旋转扫过的面积为． （2）解：①如图, ∴； ②如图， ∴． 综上所述，的面积为或． 【变式7-1】（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得， 都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 【变式7-3】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 【题型8 不规则图形的面积计算】 【例8】（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，根据角平分线的定义得到，求得，根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵交的延长线于点D， ∴， ∵是的半径， 且于点C， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 【变式8-1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 【变式8-2】（2025·河南南阳·三模）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径），等腰直角三角形的性质和扇形的面积计算．解题的关键是牢固掌握相关性质并灵活运用．连接，作于点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，则，再根据切线的性质得到，于是可判断，所以，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：连接，作于点，如图， ， ， ， ， ∵与相切于点， ， ， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $