精品解析：吉林省松原市实验高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

松原市实验高级中学2025~2026学年度上学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔记答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第二章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. π D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 2. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式和方向向量的概念求解. 【详解】由已知， 由题知，解得. 故选：C. 3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可得. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得. 故选：D. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 6. 一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 7. 若直线平分圆，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，直线过圆心，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 由题意可知，点在直线上，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 8. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 【答案】AB 【解析】 【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：， 则，所以； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：， 把P（1，1）代入直线方程得：，解得：, 所以直线方程：. 故满足条件的直线方程为：或. 故选：AB. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆有一条公切线是 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆和圆的位置关系，以及圆的公切线的性质逐个判断即可. 【详解】由可知圆心为，半径为1， 由可知圆心为， 半径为，两圆圆心距为， 对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3， 即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误； 对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为. ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称. 易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得， 由对称性可知公切线过点， 设公切线的方程为，则点到的距离为1， 所以，解得，所以公切线的方程为， 即. ③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为， 易知，则点到的距离为1， 所以，解得或（舍去）， 所以公切线的方程为，即. 综上，所求直线方程为或或，故C正确； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为， 与圆的方程相减可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的离心率不可能是 C. 以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相离 D. 存在点使得是顶角为的等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的定义判断选项A；由，求的离心率的取值范围判断选项B；求到渐近线的距离与的关系判断选项C；分类讨论是等腰三角形时的条件，验证顶角是否为，判断选项D. 【详解】对A：由双曲线定义可得，故A错误； 对B：因为，所以的离心率，故B正确； 对C：设，则到渐近线的距离， 则以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切，故C错误； 对D：由双曲线定义可知，若， 则直线的斜率为1且点在的右支上， 由可知直线与的右支无交点， 所以，若， 由双曲线对称性可得也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，故D错误， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由平行线的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， 则平行直线与之间的距离为. 故答案为： 13. 已知抛物线焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 14. 已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹方程为，由题意可知圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设点，因为，则， 由题意可得，， 所以， 故点的轨迹方程为， 且圆圆心为原点，半径为， 由题意可知，圆与圆有公共点，且圆的圆心为，所以， 因为，则有，解得， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过斜率公式构建方程，求解并验证得到的值； （2）先求两直线交点，再依据垂直的斜率关系求斜率，最后用点斜式得出直线方程. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率. 由，得， 整理为，解得或. （2）解方程组， 解得， ，即交点为. 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 由点斜式得，整理得. 16. 已知抛物线：的准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据准线与轴交点得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）分斜率不存在和存在两种情况，设出直线的方程，与抛物线联立，根据根的判别式得到方程，求出，求出切线方程. 【小问1详解】 抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 17. 已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程; （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【小问1详解】 由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 18. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值可得结论. 【小问1详解】 （1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆相交与两点，且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 表示点到的距离的平方， 又圆心到到的距离为， 所以点到的距离的最小值为， 所以的最小值为. 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）分析知直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解； （3）利用设而不求的方法求得面积的表达式，再利用基本不等式即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 由题意，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，，不合题意； 故直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 由， ， 由，知 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或； 【小问3详解】 设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由，知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松原市实验高级中学2025~2026学年度上学期期中考试 高二数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔记答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第二章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. π D. 不存 2. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 2 3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线平分圆，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆有一条公切线是 D. 当时，圆与圆公共弦所在直线的方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的离心率不可能是 C. 以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相离 D. 存在点使得是顶角为的等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________． 13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 14. 已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 16. 已知抛物线：准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 17. 已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程; （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 18. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $