专题强化04：圆与方程【十二大题型 】训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题强化04：圆与方程 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆过定点问题 · 题型三：轨迹方程 · 题型四：点与圆的位置关系 · 题型五：圆的几何关系 · 题型六：直线与圆的位置关系 · 题型七：圆的切线方程 · 题型八：圆的弦长、圆心距问题 · 题型九：圆与圆的位置关系 · 题型十：圆的公共弦问题 · 题型十一：圆的公切线问题 · 题型十二：直线和圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上，且与直线切于点； (2)圆心在轴上，并且与直线，都相切. 【变式2】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）三角形ABC的三个顶点分别是、、. (1)求三角形ABC的面积 (2)求三角形ABC的外接圆（为圆心）的标准方程，并写出圆心和半径. 题型二：圆过定点问题 【例2】．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【变式2】．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 题型三：轨迹方程 【例3】．（2025高二上·全国·专题练习）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 【变式1】．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为 . 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 题型四：点与圆的位置关系 【例4】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的几何关系 【例5】．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与圆的位置关系 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·天津·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：圆的切线方程 【例7】．（25-26高二上·天津·月考）过点作圆的切线，则的方程为 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期中）设点是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【变式2】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于两点（在左边），则直线PA，PB的方程分别为 ， ． 题型八：圆的弦长、圆心距问题 【例8】．（22-23高二上·北京·期中）已知圆M过点 (1)求圆M的方程； (2)过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知直线，圆. （i）直线过定点，则点的坐标为 ； （ii）直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【变式2】．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆的圆心为，且过点． (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 题型九：圆与圆的位置关系 【例9】．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【变式1】．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆和圆 (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【变式2】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 题型十：圆的公共弦问题 【例10】．（25-26高二上·广西贵港·期中）已知圆M的圆心在直线上，且圆M过 和两点． (1)求圆M的标准方程； (2)求圆M与圆的公共弦长． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【变式2】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 题型十一：圆的公切线问题 【例11】．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； (3)求圆和圆的公切线的方程. 【变式1】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 题型十二：直线和圆的定点定值问题 【例12】．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆.若直线与圆交于两点， (1)求的取值范围； (2)证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 【变式2】．（25-26高二上·广西河池·阶段练习）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)当时，求直线的方程； (2)求证：为定值． 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏银川·月考）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·重庆·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）设有一组圆，下列命题错误的是 （    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条线上 B．存在圆经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．直线和所有圆相交 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：的切线与圆：交于，两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 9．（25-26高二上·黑龙江·期中）已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 11．（25-26高二上·广东广州·期中）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 12．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．直线的方程为 B．与圆相离 C．点到直线的距离的最小值为 D．直线的斜率的最大值为 13．（2025·广东深圳·模拟预测）设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 14．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．直线与圆没有交点 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C．若点为圆上的动点，则的最小值为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 三、填空题 15．（25-26高二上·上海·期中）已知实数，满足，则的取值范围是 ． 16．（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 17．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为 ，最大值为 . 18．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 四、解答题 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线和圆. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 20．（25-26高二上·山东济南·月考）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 21．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求圆过点的切线方程； (3)直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 22．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求直线的斜率； (3)若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 23．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，直线 (1)求动直线经过的定点的坐标； (2)当直线与圆相交时，截得的弦长等于，求直线的方程； (3)当直线与圆相离时，求直线的斜率的取值范围. 24．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：圆与方程 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆过定点问题 · 题型三：轨迹方程 · 题型四：点与圆的位置关系 · 题型五：圆的几何关系 · 题型六：直线与圆的位置关系 · 题型七：圆的切线方程 · 题型八：圆的弦长、圆心距问题 · 题型九：圆与圆的位置关系 · 题型十：圆的公共弦问题 · 题型十一：圆的公切线问题 · 题型十二：直线和圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 【例1】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且中点为，即，所以可求得其垂直平分线为， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为 （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则， ∴圆的方程为：，即. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上，且与直线切于点； (2)圆心在轴上，并且与直线，都相切. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先求出过点与直线垂直的直线，再与直线联立即可求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求出半径，由此即可写出答案； （2）设圆心，由圆心到直线与直线的距离相等都为半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】（1）直线的斜率，则与其垂直的直线斜率， 所以过点与直线垂直的直线为：，化简得：， 所以圆心在直线与直线上， 联立，解得圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 所以 所以圆的标准方程为：. （2）设圆的标准方程为：，圆心，半径， 因为圆与直线，都相切 所以，解得或， 当时，，圆的标准方程为：， 当时， ，圆的标准方程为：. 所以圆的标准方程为：或. 【变式2】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）三角形ABC的三个顶点分别是、、. (1)求三角形ABC的面积 (2)求三角形ABC的外接圆（为圆心）的标准方程，并写出圆心和半径. 【答案】(1)； (2)，圆心为，半径为. 【分析】（1）运用两点间距离公式计算，求出边所在直线的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可； （2）设圆的方程为，根据三点都在圆上求，即可得到圆的方程. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 所以； （2）设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为， 即，圆心为，半径为. 题型二：圆过定点问题 【例2】．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式1】．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【变式2】．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 题型三：轨迹方程 【例3】．（2025高二上·全国·专题练习）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 【变式1】．（2025高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.若点为的中点，则动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可得动点的轨迹的方程. 【详解】由题意得，圆， 故，所以， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设中点为，由直角三角形和圆的性质，有，代入坐标化简可得结果. 【详解】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内， 设中点为，如图所示， 因为，，所以， 所以，化简得.即的轨迹方程为. 故答案为：. 题型四：点与圆的位置关系 【例4】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准式，分别根据圆的存在性和点在圆外的条件列不等式，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准式. 因为圆存在，所以，即. 点在圆外，圆心为，点到圆心的距离的平方为， 半径的平方为，故，解得. 综上，. 故选：A 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或，由点在圆外，则， 所以，可得，综上，或. 故选：D 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 题型五：圆的几何关系 【例5】．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 【变式1】．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质转化为求圆心到直线的距离即可得解. 【详解】由可得， 可知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则点到圆上的点的最短距离为， 故选：D 【变式2】．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线经过的定点，定点在圆外，直线可与圆相切，得最小值，根据该定点到圆上动点的距离的最大值从而求出距离最大值. 【详解】可得，， 令，解得，即直线过定点， 该定点到圆心距离是， 圆的半径是，于是到圆上一点的最大距离是. 此时，直线方程为， 由于不可能表示， 所以点到直线的距离没有最大值， 由于直线过的定点在圆外，该直线有可能和圆相切， 和切点重合时，最小距离是 故到直线的距离的取值范围是. 故选：D 题型六：直线与圆的位置关系 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 【变式1】．（25-26高二上·天津·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，找到“圆上仅有1个点到直线的距离为”与“圆上有且仅有3个点到直线的距离为”的直线的两种临界状态，然后根据条件列不等式，即得答案. 【详解】圆的圆心为：，半径，直线方程为：， 圆心到直线的距离， 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 所以，即， 解得：. 故选：C 【变式2】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线l：，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可． 【详解】圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线l：的距离等于1， 所以圆心到直线l的距离， 则，解得或， 即实数b的取值范围是． 故选：D． 题型七：圆的切线方程 【例7】．（25-26高二上·天津·月考）过点作圆的切线，则的方程为 【答案】或 【分析】求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期中）设点是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设切点为A，则，且所以切线长， 要使切线长最小，只需最小，即为点C到直线l的距离，又， 所以，即切线长的最小值为.   故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于两点（在左边），则直线PA，PB的方程分别为 ， ． 【答案】 【详解】由为圆的直径，且为圆与圆的交点，得， 则直线是圆的两条切线，圆的圆心，半径为3， 点到直线的距离为3，因此直线是过点与圆相切的一条切线， 即直线的方程为； 设直线的方程为，即， 于是，解得，直线的方程为. 故答案为：；    题型八：圆的弦长、圆心距问题 【例8】．（22-23高二上·北京·期中）已知圆M过点 (1)求圆M的方程； (2)过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知直线，圆. （i）直线过定点，则点的坐标为 ； （ii）直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【答案】 ； 0 【分析】（i）将直线方程写成点斜式，即可得答案；（ii）根据弦长公式求解即可. 【详解】（i）因为， 所以直线过定点， 即点的坐标为； （ii）易知圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为弦长为， 所以，所以， 即，解得. 故答案为：；0 【变式2】．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆的圆心为，且过点． (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1），所以圆的方程为：，， 所以点在圆外，当不存在时，直线方程为与圆相切， 当存在时，设切线方程为：，即， 则圆心到直线的距离， 可得，解得， 所以切线方程为，即， 综上：过点的圆的切线方程为或. （2）显然，直线斜率存在， 所以设直线的方程为：，即， 设圆心到直线的距离为， 又， 化简得，即， 所以或7， 所以直线的方程为：或. 题型九：圆与圆的位置关系 【例9】．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由圆，可化为， 可得圆心，半径为， 又由点满足圆的方程，可得点在圆上， 因为直线过点与圆相切，所以， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）设圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆经过点，且与圆外切于点， 可得，解得， 所以圆的方程为. 【变式1】．（25-26高二上·江西萍乡·阶段练习）已知圆和圆 (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分切线斜率是否存在两种情况，即可分别求得切线方程； （2）设，分别求出圆的圆心和半径，由题意可得，，推出，根据椭圆的定义可求得动圆圆心的轨迹方程. 【详解】（1）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， ①当切线斜率不存在时，显然满足要求； ②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为或. （2）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 【变式2】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)外切，理由见解析 【分析】（1）设出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆心坐标即可. （2）求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. 【详解】（1）由圆的圆心在射线上，设圆心的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，则，则， 所以圆的标准方程为. （2）圆与圆外切， 由（1）知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径， ， 所以圆与圆外切. 题型十：圆的公共弦问题 【例10】．（25-26高二上·广西贵港·期中）已知圆M的圆心在直线上，且圆M过 和两点． (1)求圆M的标准方程； (2)求圆M与圆的公共弦长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设圆M的标准方程为：，由题意列出方程组即可解出的值； （2）两圆相减即可得到相交弦所在直线，再由直线与圆的相交弦长公式解出答案. 【详解】（1）设圆M的标准方程为：，圆心，半径为， 则， 所以圆M的标准方程为：. （2）由（1）知圆M：，圆， ,故两圆相交， 两圆相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线为：， 圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆的相交弦长为： , 所以圆M与圆的公共弦长为. 【变式1】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1)， (2)，和 【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. （2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为.设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得.此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 【变式2】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 题型十一：圆的公切线问题 【例11】．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； (3)求圆和圆的公切线的方程. 【答案】(1)外离(2)(3)，或，或，或 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 因为， 所以圆和圆外离； （2）设圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆为圆， 因此圆的半径为， 直线的方程为，设圆的坐标为， 由，负值舍去， 圆的方程为 （3）当两圆的公切线不存在斜率时，设直线方程为， 所以有，即公切线方程为； 当两圆的公切线存在斜率时，设直线方程为， 所以有，或 当时，有，代入中， 得，，或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，， 此时公切线方程为； 当时，有，代入中，， 解得， 此时公切线方程为， 所以公切线方程为，或，或，或.    【变式1】．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【分析】（1）首先根据题意得到公共弦方程，再利用弦长公式求解即可. （2）首先判断两圆的位置关系得到圆和圆相交，根据图形得到为两圆的一条公切线，从而得到，再求另一条公切线即可. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）将两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ，由圆与圆有两个不同的交点，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，由（1）知，圆与圆相交，由， 消去二次项得，所以直线的方程是. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得解，得或， 因此内公切线的方程为，即；外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 题型十二：直线和圆的定点定值问题 【例12】．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【详解】（1）∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． （2）设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆.若直线与圆交于两点， (1)求的取值范围； (2)证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆得，结合求参数范围； （2）设，，应用韦达定理及斜率两点式整理化简，即可证. 【详解】（1）将直线代入圆的方程，得， 整理得，且直线与圆有两个交点， 所以，解得，即的取值范围是； （2）设，，由（1）及根与系数的关系得， 所以， 即直线的斜率之和为定值. 【变式2】．（25-26高二上·广西河池·阶段练习）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)当时，求直线的方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出圆的方程，根据，得，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （2）若直线斜率存在，设出直线方程，直线和圆联立方程结合韦达定理可得，利用两点间距离公式列式化简即可，若直线斜率不存在，求得，计算即可得证. 【详解】（1）设圆的半径为， 因为圆与直线：相切， 所以， 所以圆的方程为. 设圆心到直线的距离为，则，即， ①当直线与轴垂直时，易知符合题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即. 则，得， 所以直线为：， 故直线的方程为或； （2）因为，所以点在圆内， 设，若直线斜率存在，设直线的方程为， 则，化简得， 所以， 因为，同理可得， 所以，因为，所以； 若直线斜率不存在时，则，则，此时； 综上，为定值，定值为. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角坐标系内画出三角形，利用数形思想，结合两直线垂直的判定方法判定该三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的性质，再结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由如图，已知，，所以， 故该圆的圆心是的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为， 故选：C    2．（25-26高二上·宁夏银川·月考）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为，解得， ，解得．故选：C． 3．（25-26高二上·河南·期中）圆与的公切线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【详解】由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B 4．（25-26高二上·重庆·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用等面积法，而当时，取得最小值，由此计算可得结论. 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，，， ，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小. 当时，，此时, 所以的最小值是， 故选：C. C 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）设有一组圆，下列命题错误的是 （    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条线上 B．存在圆经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．直线和所有圆相交 【答案】D 【分析】对A：找出圆的圆心所在直线即可得；对B：将点代入计算即可得；对C：将点代入计算即可得；对D：计算圆心到直线的距离后与半径比较即可得. 【详解】对A：圆的圆心为， 则圆心始终在直线上，故A正确； 对B：将点代入，有，化简得， 解得，故经过点，故B正确； 对C：将点代入，有，化简得， 解得，故经过点的圆有且只有一个，故C正确； 对D：圆的圆心为，到直线的距离， 又圆的半径为，故直线和所有圆相切，故D错误. 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：的切线与圆：交于，两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】面积的大小与线段的长度有关，要求面积的取值范围，只需求出的范围，即可求解． 【详解】圆的切线交圆于，两点，则面积为（为圆的半径）， 圆：的半径为，是圆：的一条弦， 圆：的圆心为，半径为， 圆心到的距离最小时，最大，圆心到的距离最大时，最小，如图： 的最小值为，的最大值为， 面积的最小值为，面积的最大值为. 因此，面积的取值范围是. 故选：A. 7．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线垂直的直线的方程. 【详解】依题意，设所求的直线方程为，圆心，则圆的半径为, 因直线被圆所截得的弦长为,则 ，解得，圆心为， 又圆心在直线上，则，即， 所以所求的直线方程为. 故选：A 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【详解】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 9．（25-26高二上·黑龙江·期中）已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线和圆的位置关系求得，再根据两圆相离得或，解得答案. 【详解】圆心到距离为，弦长，解得， 又，由两圆相离知，两圆内含或外离，由或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 10．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·广东广州·期中）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 【答案】BD 【分析】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【详解】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．直线的方程为 B．与圆相离 C．点到直线的距离的最小值为 D．直线的斜率的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用两点式直线方程求解判断A；利用几何法判断直线与圆的位置关系判断B；结合几何特征利用点到直线距离公式求解最值判断C；当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值，利用相切关系列方程求解即可判断D. 【详解】直线的方程为，整理得，A正确； 圆心到直线的距离为， 所以与圆相离，B正确； 由上可知，点到直线的距离的最小值为，C错误； 结合图形可知，当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值， 设的斜率为，则的方程为，即， 由相切得，，解得， 所以的斜率的最大值为，D正确. 故选：ABD. 13．（2025·广东深圳·模拟预测）设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】AD 【分析】对于A将直线方程整理为，令即可求定点，进而判断，对于B根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时，利用即可求解，进而判断，对于C根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；对于D，根据外心的结论得到，然后求最值即可. 【详解】对于A：由有，令有， 所以，所以直线l过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直， 则，由余弦定理有，故C错误； 对于D：，即的最大值为24，故D正确， 故选：AD. 14．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．直线与圆没有交点 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C．若点为圆上的动点，则的最小值为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 【答案】AD 【分析】求出圆心到直线的距离可判断A；设与直线平行直线方程为，根据圆的弦长公式可求出c，判断B；结合圆的性质可求的最小值判断C；结合圆的切线性质可求出的最大值，判断D. 【详解】A选项，由题意知圆C的方程为，圆心为，半径为1， 直线l的方程为， 则圆心到的距离为， 故直线与圆相离，A正确； B选项，设与直线平行直线方程为， 则圆心到的距离为， 直线截圆的弦长为，得，解得， 故，解得或， 故与直线平行且截圆的弦长为的直线为或，B错误； C选项，由A知直线与圆相离，故圆心到直线的距离减去半径为的最小值， 由A可知，圆心到直线的距离为，故的最小值为，C错误； D选项，如图，, 由题意可知，与相互垂直，因为， ，所以求出的最大值，则求的最小值， 当时，取得最小值，取得最大值，最大值为， 因为为锐角，所以的最大值为的最大值为，D正确， 故选：AD 三、填空题 15．（25-26高二上·上海·期中）已知实数，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解． 【详解】方程表示圆心为，半径为的圆， 表示圆上的点与原点所在直线的斜率， 设其为， 故此圆的切线方程为， 再根据圆心到切线的距离等于半径， 可得， 解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 16．（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 17．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 4 6 【分析】根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果. 【详解】圆的圆心，半径， 则. 所以， . 故答案为：4；6. 18．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 【答案】/ 【分析】首先设点，求过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值. 【详解】设，过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上，圆心，半径， 则以为直径的圆的方程是，整理得， 又点在圆上， 两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线和圆. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)直线与圆相交. (2)或. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆位置关系即可求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【详解】（1）由圆可得，圆心，半径，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. （2）若过点的直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为， 即，则圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 20．（25-26高二上·山东济南·月考）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点和，利用中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得曲线的方程； （2）根据题意，得到四点共圆，求得该圆的方程，再由直线是两圆公共弦所在直线，结合圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】（1）解：设点，线段的中点为， 可得，所以，即点， 因为点在圆上，所以， 化简得，所以曲线的方程为． （2）解：如图所示，因为 所以四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 即圆的方程为， 可得直线是两圆公共弦所在直线， 由，两式相减得， 所以直线所在的直线为． 21．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求圆过点的切线方程； (3)直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程； （3）根据几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. （3）由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 则，解得或， 所以实数的值为或. 22．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求直线的斜率； (3)若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 直线过点，斜率为， 直线的方程为：，一般式方程为：， 圆是以为圆心，半径的圆， 圆心到直线的距离， 弦长， 的面积． （2），设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得，设点，则，根据韦达定理得：， ，， ， 即，化简得，解得， 直线的斜率为． （3）设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，根据韦达定理得： ， ，，的斜率分别为，， ． 23．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，直线 (1)求动直线经过的定点的坐标； (2)当直线与圆相交时，截得的弦长等于，求直线的方程； (3)当直线与圆相离时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）将直线方程化为：， 由得：，动直线经过定点. （2）由圆方程知：圆心，半径； 设圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为，，解得：， ，解得：或， 直线方程为：或. （3）由题意知：直线斜率存在，则可设，即， 直线与圆相离，，解得：， 即直线斜率的取值范围为. 24．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）. 【详解】（1）线段的垂直平分线方程为： ，即. 由，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. （2）（i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $