吉林省长春市实验中学2025-2026学年高三上学期第二学程考试数学试题

田站勒奋求尖创浙 长春市实验中学 2025-2026学年上学期第二学程考试 高三数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的. 1.已知复数z=2-i,则z的虚部是（） A.1 B.-1 C.-i D.i 2.设集合U=R,集合A={xy=1n(x-1以B={xx2-x-2≥0，则{x|x<2}=（) A.B(CIA) B.Cu(AB) C.Cu(AUB) D.AU(CuB) 3.己知一个扇形的圆心角为二，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（：) A.π B. c D.4 4.在△MBC中，已知B=30°，b=√2，c=2,则边a的值为( A.3+1 B.V5-1 C.V3+1或3-1 D.不存在 5.已知函数f(x)=n(a+2)在区间(，2)上单调递减，则实数a的取值范围是() A.a<0 B.a>-1 C.-1<a<0 D.-1≤a<0 6.已知函数f(x)的导函数f'(x)=(x+2(x-)2,f(x)的图象如下图所示，则下列结论 中正确的是（) A.函数f(x)有2朵极值点 B.函数f(x)在区间(~1，).上单调透增 C.M∈R3x。.∈R,f(x)<M D. 3MeR,对于x∈R,f(x)>M 7.《周碑算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中问一个 小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个 角为a(0°<a<45),且小正方形与大正方形的面积之比为i:4,则 试卷第1页，共4页 tana=( A.4万 B.4-7 C.⑦ 4 D.牡v7 3 4 8.已知函数(x)的定义域为R,满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且fx)不为常数 函数，f0=0,则受f0=( A.2 B.-2 C.2026 D.-2026 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>b>0,则下列选项正确的有( A.logos(a+1)<l0gos(+1) a88 C.a3<b3D.aeb≤bea 1o.函数f()=4sin(@x+p)A>0@>0o< 的部分图象如图所示，则 B.f(x)的图象向左平移匹个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x 。.代的图象关于直线=好对称 D.若方程f)-号在®）业有且贝有6个根，则m319] 11.记f'(x)、g(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数，若存在x∈R,棚足f()=g(s) 且f'()=g()则称为函数f(x)与8(x)的一个s点”，则下列说法正确的为() A.函数f(x)=nx与g(x)=x-2存在两个“s点” B.函数f()=e与gx)=x+1存在唯一“s点” C.若函数f()=ax-1与8()=血x存在"s点”，则a=氵 D,对于函数f(x=-x+a与g()=e对于任意的a>0,存在b>0,使得函数f)与 g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点” 试卷第2页，共4页 团结勤奋求实」所 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共！5分 12.在AMBC中，A花=3元，若8远=xAB+3AC, 4 则实数x的值为 已知a,B为锐角且cos(+)= 、 10 4.因知函数f()=ex-e1-x-a有两极值点x1与x2,若f(x1)+f(x2)≥-4，则实数 a的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f()=2sin(2+p)(0<9<,f孕=1 (I)求f(x)的解析式和f(x)的单调递增☒间； (2)设函数g()=f()+f(c-),求g(x)在区间[0，]上的值域. 16.(本小题满分15分) 如图所示四楼锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的 中点、 (1)证明：NW平面PAB; (2)若PA=PB=V5,平面PABL平面ABCD,求平面NAM与平面DAM夹角的余弦值. 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分) △4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-V2b)cosA+acosC=0. (1)求角A的大小； (2)若a=2,b+c=2V2,求△4BC的面积； 8)诺△M8C锐角三角形，且外接圆直径为22，求262+3 一的取值范围. 2b 18.（本小题满分17分) 已知O为坐标原点，双曲线了的焦点B1,B2在x轴上，离心率为2，且双曲线T上一点到两 焦点距离之差的绝对值等于2. (1)求曲线Γ的方程 (2)设点D(-1,0),过点F(2,0)作与x轴不重合的直线与曲我Γ交于M,N两点. ①记直线DM,DN的斜率分别为k,k2,求kk2的值； ②若直线x=2与直线MW交于点H,过点V与x轴平行的直线与DH,DM分别交示点P, 2,求证：点p是线段ON的中点. 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae*-sinx-a.(注：e=2.718281…是自然对数的底数). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； ②四当a>0时函数f()在区间0经 内有唯一的极值点名· ①求实数a的取值范围： ②求证：f(x)在区间(0，π)内有唯一的零点。，且<2然、 试卷第4页，共4页 第二学程考试考试数学试题参考答案 序号 2 3 6 7 9 10 11 答案 A B D C D B B AC ACD BCD 12.【答案】-1 13.【答案】 2w5 14.【答案】(2V,4灯 15.()f=2sn(2x+写，增区间为-晋+km,0+网，（∈2刀 (2)[-V3,2V] 力 16.【详解】(1)设AD中点为Q,连接WO,M0, 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以NOIIPA,MOllBA, 因为WQ文平面PAB,MQ￠平面PAB, 所以NO∥平面PAB,MQ∥平面PAB, N2c平面NOM,MQi平面NgM,且NO∩Mg=2, 所以平面NOM∥平面PAB,因为Nc平面NOM,所以NW平面PAB. (2)设AB中点为O,CD中点为R,因为PA=PB,所以POLAB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PABO平面ABCD=AB,.PO平面PAB, 所以PO⊥平面ABCD,进而PO⊥OR,因为四边形ABCD是正方形，所以OR⊥AB, 以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若PA=PB=V5,OA=OB=1,所以OP=2, 4〔-1a0,D-120,M10.PQ2,w为D中点，所以N, 设平面AN的法向量为=(：，，Z), 因为孤=210，=（30，，斤-0，=0， 所以2x+%=0,多5+4=0， 取为=2，则为=4，名=3，%=(2，-4,3)， M 平面AD的法向量为2=(（0,0,1)， 你 设二面角N-AM-D的平面角为B,则cos8= 33v29 √29 29 答案第1页，共4页 17.【详解】(1)由(c-V2b)os4+acosC=0及正弦定理得： (sinC-2sinB)cos4+sin4cosC=0, sinCcos4+sinAcosC =sin(4+C)=sin(-B)=sinB, 所以sBf1-V5ca4)=0,又0<B<元，mB>0,634=,又0<Ac不，故4=！ 2 (2)由余弦定理a2=b2+c3-2 bccos4/,又a=2,A=交， 所以b2+c2-V2bc=4,所以(6+c)2-(2+V2)bc=4, 由可得b+c=2V2,得bc=4-2V2 故VABC的面积S=V2-1: ③)由正弦定理可知582V2,放万=22s® 因为VABC是锐角三角形， o8< 所以 o<c< <B< 4 2 A+B+C=元 所以20+3a-2×8sim2B+12_4sin2B+3-2 4sinB+ 3 2b 2×2V2 sinB2sinB2( sinB 令nB=,y=4+3:5<i<, 2 由对勾函敬的性质可知，当<！<5时，y单调递增：当9<y单调道碗， 2 2 2 当5球X=4当-要时y=s11时，7： 2 因为52>7，所以y[4W5,52), 故22[26 答案第2页，共4页 18.【详解】(1)x2-号=1， 3 (2)(i)解法一由题意知直线MN的斜率不为0，设M(,),N(4:y), 当直线MN的斜率存在时，设直线N的方程为y=k(x-2)(k≠0)， 由23得g-3秋x+4+3=0,其中4>0，且≠3， 42 则 为+4-2-3 =42+3’ 为=2-3 则话名片2-226+4 +4 (2-32-34 k(-9=-1. 为+14+1(3+1)(4+1) 4+为3+4+1 4k2+3,42 9 2-3+2-3+1 当直线N的斜率不存在时，当直线W的斜率不存在时，可令M(2,3),N(2,-3), 数6品小，化1袋上，站1 、4k2 (i)由题知直线N的斜率存在，由(i)的解法一知直线N的方程为y=k(x-2),且 为+游=k2-3 4k2+3 为花4= -3 直线DM的方程为y=(c+),令y=4,得=名+-1. +1 行则直线D班的方程为y=-x+,令y=%,得=-兰-1 于+%241+-2尝-1小-9-1+8+2g-9到+2 为-2 =-04.4204512-204-2 =0, 为-2 为-2 (2-3(5-2) 所以2+x4=2xp,故点P为线段N的中点. 答案第3页，共4页 19.【详解】(1)当a=2时，f(x)=2e-six-2,f"(x)=2e-cosx, 切线的斜率k=f'(0)=2-1=1,又f(0)=0,所以切点为(0,0)， 所以，切线方程为y=x (2)①.函数f(x)=ae-six-a,f'()=ae-cosx, (D当a21时，当xe（0到时，ce>1,C(0,,小倒>0，则y=f在0引上单调递增， 没有极值点，不合题意，舍去： ()当0<a<1时，设pg)=ae-co,则o(=ae+smx>0在(0上恒成立，所以p纠在0引上 送地，印(y在0)上道增， 又了0=a-1<0,f=e>0,所以f倒在0引上有唯-零点， 当x∈(0，)时，()<0，函数f()单调递减： 当x时，()>0，函数f()单调递增， 所以函微y=儿内在区同0引内有唯一极准点，符合墨意，综上，a的取值范围是(Q,)。 ②.由①蜘0<a<,当xe[径时，f=ad-coax>0, 当x∈(0，)时，∫'(x)<0,函数f(x)单调递减：当x∈(，x)时，(x)>0,函数f(x)单调递增： 所以x∈(0，)时，f(x)<f(0)=0,则f()<0, 又因为f()=e-a=a(e-)>0,所以f(x)在（名，）上有唯一等点%，即f()在(0，)上有唯-零点。. 因为f(2x)=ae4-sin2x-a,由①知f(x)=0,所以ae=oosx, 则f2)-ae-h2-a=o-2nae0-o0e(-2,40到 设闲=e-2ir-e,x（0引则（钊=g-2oeg+e ye+e>2,2c0sx<2,所以(x)=e+e-2co3x>0 ay在0引为单调递增，又)=0，所以4(>0， 又xe时，0>0，所以f)=o(。-2》>0. 所以f（2x)>f()=0. 由前面讨论知<2x<π，<<π，f(x)在(，)单调递增，所以名<2% 答案第4页，共4页