1.2集合间的基本关系教学设计---2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.2 集合间的基本关系 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2．理解子集、真子集的概念； 3．能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。 教学内容 1.教学重点：子集、真子集、集合相等的定义及符号表示，Venn 图的应用。 2.教学难点：空集与任何集合的关系，对“包含”与“属于”的区别理解。 教学过程 1、 情境导入 教师展示多媒体课件： 播放“奶茶配料”视频片段：“珍珠奶茶的配料集合 {珍珠，奶盖，茶底} 与“全糖奶茶”配料集合 {珍珠，奶盖，茶底，糖}； 提问：“这两个集合之间有什么联系？你还能举类似的例子吗？” 学生结合预习任务单，分享生活中的“包含”关系（如“班级同学集合”与“男生集合”、“水果集合 与 “苹果集合”）。 设计意图：用学生熟悉的奶茶、班级等幽默实例引入，降低抽象概念的理解难度，激发学生参与兴趣，为“子集”定义的形成铺垫感性认知。 二、新知探究 探究一 子集的含义 师生活动：①教师根据学生举例，抽象出子集定义：“一般地，对于两个集合 A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作‘A 包含于 B’（或‘B 包含 A’）”； ② 用多媒体展示 Venn 图动画：“小圆A完全在大圆B内部”，直观表示A⊆B； ③ 举例辨析：“设 A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，A是B的子集吗？B是A的子集吗？” 学生抢答并说明理由。 总结：子集定义 文字语言：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A含于B” (或“B包含A”) 符号语言：任意有 则。 图形语言： 设计意图：从具体实例到抽象定义，符合学生认知规律；Venn 图的可视化辅助，帮助学生建立“文字—符号—图形”三者的对应关系，强化对定义的理解。 探究二 真子集与集合相等 师生活动：①延续上述例子，教师提问：“A={1，2，3} 与B={1，2，3，4}的子集关系中，有什么特殊之处？（A≠B 且 A⊆B）” 引出真子集定义：“如果 A⊆B 且 A≠B，就称A是B的真子集，记作A⫋B（或 B⫌A）”； B A B A B A B A ②再举例子：“设 C={x|x 是等边三角形}，D={x|x 是正三角形}，C与D的元素有什么关系？”引出集合相等定义：“如果A⊆B且B⊆A，就称集合A与B相等，记作A=B”； ③学生完成课堂练习单基础题1：用适当符号填空（⊆、⫋、=），教师巡视纠错。 (1) a_____{a,b,c} (2)0_____{x|x2=0} (3){0,1}______N (4){0}______{x|x2=x} (5){2,1}______{x|x2-3x+2=0} 设计意图：通过对比辨析，让学生明确子集、真子集、相等三者的区别与联系，避免概念混淆；练习题即时巩固，及时反馈学习效果。 探究三 空集的性质 师生活动：①教师抛出问题：“空集∅与集合{1，2}有什么关系？空集是任何集合的子集吗？”引导学生用定义推理：“空集中没有元素，满足‘任意元素都是另一集合元素’的条件”；②强调性质：“∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”； ③ 用幽默比喻辅助记忆：“空集就像‘万能配角’，能融入任何集合的‘团队’，但非空集合的‘团队’里它不能当‘主角’（真子集）”。 设计意图：空集的性质是难点，通过逻辑推理 + 幽默比喻，帮助学生理解抽象的逻辑关系，避免死记硬背。 追问：（1）包含关系与属于关系有什么区别？ 【解析】前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系. （2）集合 AB 与集合有什么区别 ？ 【解析】 A = B或A B. （3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系? 【解析】{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0} 3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即。 （2）对于集合A、B、C，若则（类比，则）。 设计意图：精准聚焦学生易混淆的“包含与属于”“0、{0} 与∅”等核心易错点，通过明确设问与解析厘清概念本质，同时梳理“A⊆B”的两种情况及子集的自反性、传递性结论，类比实数大小关系降低抽象理解难度，集中突破薄弱点，夯实基础，提升课堂教学的针对性与有效性。 三、例题讲解 例1. 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}。 集合{a，b}的真子集：，{a},{b}。 师生共同总结写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集. 教师再举几个例子，让学生板书写出其子集，并小组讨论总结子集个数与集合元素个数的关系，总结好后学生做笔记：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个，A的非空真子集共有2n-2个. 设计意图：以具体实例为切入点，通过师生共同总结，让学生掌握子集书写规范，降低实操难度；再通过教师补充实例、学生板演、小组讨论的形式，引导学生自主探究子集个数与元素个数的内在关联，深化对子集、真子集概念的理解。 同步练习： 1.写出集合{a, b, c}的所有子集并指出，真子集. 解：集合{a, b, c}子集：，{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} 集合{a, b, c}真子集：，{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c} 例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。 解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。 （2） 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集。 设计意图：通过两道具有代表性的例题，将子集定义从抽象概念转化为具体判断实践，要求学生说明理由，既强化“依据定义进行推理判断”的严谨思维，又锻炼语言表达能力，让学生在具体应用中深化对子集概念的理解，突破“仅靠直观判断子集”的局限，提升逻辑推理与知识应用能力。 拓展训练（学有余力学生选做）： 题目：已知集合 A={1，2，3}，B={x|x⊆A}，求集合B，并判断 A与B的关系。 师生活动：学生小组讨论，教师引导学生理解“集合的子集构成新集合”； 邀请小组代表分享解题思路。 设计意图：分层练习兼顾不同层次学生的需求，基础题巩固核心概念，拓展题培养逻辑推理能力；小组合作学习促进学生交流，突破难点。 4、 课堂小结 教师：引导学生回顾：“本节课我们学习了哪些集合间的关系？它们的定义和符号是什么？空集有什么性质？” 学生：用思维导图的形式（多媒体展示模板）梳理知识点； 教师：补充强调“‘包含’是集合间的关系，‘属于’是元素与集合间的关系，注意区分。 设计意图：通过梳理知识点，帮助学生构建知识体系，强化记忆；思维导图的形式直观清晰，符合学生认知习惯。 五、课后作业 1. 教科书P9习题1.2第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $