第12章 全等三角形单元测试卷 2025学年华东师大版数学八年级上册

2025年华东师大版（2024）八年级上学期第12章 全等三角形单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若b＞a＞0，则b的平方根大于a的平方根 2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件，不能证明△AOB≌△COD的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．AB∥CD 3．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80° 4．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边及夹角对应相等 B．两角及夹边对应相等 C．三边对应相等 D．两边及其中一边的对角对应相等 5．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　） A．25海里 B．35海里 C．45海里 D．50海里 6．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC交BC于点E，若BC＝7，DE＝3，则BE长度为（　　） A．4.5 B．3 C．4 D．5 7．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 10．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E，若AC＝7，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 二．填空题（共6小题） 11．如图，∠1＝∠2，添加一个条件能证得△ABC≌△ABD，这个条件可以是　 　 （写出一个即可）． 12．已知等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个三角形的周长为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为11，BC＝8，△OBC的面积是8，则△ABC的面积是　 　 ． 14．如图，C，D，A共线，∠C＝∠DAE＝90°，若AB＝DE，CB＝DA，则△ACB≌△EAD的判断依据是　 　 ． 15．如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC．若∠OBC＝15°，则∠BAC＝　 　 °． 16．如图，PM⊥OA，∠POA＝∠POB，PM＝4，点P到OB的距离为　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．如图，在平面内有A、B、C、D四点，按下列步骤作图： （1）画直线BC、射线DA； （2）线段AB，CD相交于点E． 18．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE，求证：△ABE≌△DCF． 19．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状． 20．（1）已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|； （2）一个等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm，求另两边的长． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，∠ABD＝12°，求∠DBC的度数． 22．如图，点C、D是线段AB上的点，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADE≌△BCF． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） （2）若CD＝3，AB＝10，求△ABD的面积． 24．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点C，D，已知∠AOB的角平分线与∠ACD的角平分线交于点E，连接DE． （1）求证：点E到三边OA，OB，CD所在直线的距离相等； （2）若∠OED＝30°，求∠DCE的度数． 25．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝ 　 　 ； （2）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 2025年华东师大版（2024）八年级上学期第12章 全等三角形单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A C A B C B 一．选择题（共10小题） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若b＞a＞0，则b的平方根大于a的平方根 【分析】根据平行线的性质、平行线的判定、平方的定义判断． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，是真命题，符合题意； D、9＞4＞0，﹣3是9的平方根，﹣2是4的平方根，而﹣3＜﹣2， ∴b＞a＞0，则b的平方根大于a的平方根，是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件，不能证明△AOB≌△COD的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．AB∥CD 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）， 故A不符合题意； B、∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，AB＝CD， ∴△AOB和△COD不一定全等， 故B符合题意； C、∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∠B＝∠D， ∴△AOB≌△COD（AAS）， 故C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠D＝∠B， ∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝40°，∠B＝80° 【分析】先利用三角形内角和定理进行计算，然后根据等腰三角形的判定，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∴△ABC不是等腰三角形， 故B不符合题意； C、∵∠A＝40°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴△ABC是等腰三角形， 故C符合题意； D、∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， ∴△ABC不是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．两边及夹角对应相等 B．两角及夹边对应相等 C．三边对应相等 D．两边及其中一边的对角对应相等 【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可得． 【解答】解：A、根据两边及夹角对应相等，即SAS定理，能判定两个三角形全等，所以此项正确，不符合题意； B、根据两角及夹边对应相等，即ASA定理，能判定两个三角形全等，所以此项正确，不符合题意； C、根据三边对应相等，即SSS定理，能判定两个三角形全等，所以此项正确，不符合题意； D、两边及其中一边的对角对应相等，不是两个三角形全等的判定定理，不能判定两个三角形全等，所以此项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 5．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　） A．25海里 B．35海里 C．45海里 D．50海里 【分析】根据题意可得：BC＝25海里，BD∥CE，从而可得∠CBD＝∠BCE＝30°，进而可得∠BCA＝90°，然后根据角的和差关系可得∠ABC＝45°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠A＝∠ABC＝45°，从而可得AC＝BC＝25海里，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：BC＝50×0.5＝25（海里），BD∥CE， ∴∠CBD＝∠BCE＝30°， ∵∠ECA＝60°， ∴∠BCA＝∠BCE+∠ECA＝90°， ∵∠ABD＝75°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝45°， 即∠A＝∠ABC＝45°， ∴AC＝BC＝25海里， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，方向角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC交BC于点E，若BC＝7，DE＝3，则BE长度为（　　） A．4.5 B．3 C．4 D．5 【分析】先利用角平分线的定义可得：∠ACD＝∠DCB，再利用平行线的性质可得∠ACD＝∠EDC，从而可得∠DCB＝∠EDC，然后利用等角对等边可得：DE＝CE＝3，最后进行计算，即可解答． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB， ∵DE∥AC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴∠DCB＝∠EDC， ∴DE＝CE＝3， ∵BC＝7， ∴BE＝BC﹣CE＝7﹣3＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处． 【解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点， 故选：B． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】由等腰三角形三线合一性质得，AD⊥BC，又AE＝AD，则有∠ADE＝∠AED＝70°，然后通过角度和差即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线， ∴，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E，若AC＝7，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 【分析】根据尺规作图得到MN是线段AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：由尺规作图可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△AEC的周长为17， ∴AC+CE+EA＝17， ∴AC+CE+EB＝AC+BC＝17， ∵AC＝7， ∴BC＝10， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 二．填空题（共6小题） 11．如图，∠1＝∠2，添加一个条件能证得△ABC≌△ABD，这个条件可以是AC＝AD（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：添加的条件是AC＝AD， 理由：在△ABC和△ABD， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， 故答案为：AC＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 12．已知等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个三角形的周长为　19或23　 ． 【分析】由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长可能是5或9，由此即可求解． 【解答】解：当等腰三角形的腰长是5时， 5+5＞9，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝5+5+9＝19； 当等腰三角形的腰长是9时， 9+5＞9，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝5+9+9＝23， ∴这个三角形的周长为19或23． 故答案为：19或23． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为11，BC＝8，△OBC的面积是8，则△ABC的面积是　19　 ． 【分析】过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：∵过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，OD⊥AC于D，连接OA， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∵BC＝8，△OBC的面积是8， ∴ON＝2， ∴ON＝OD＝OM＝2， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝11， ∵AB+BC+AC＝11+8＝19， ∴△ABC的面积＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×2×19＝19． 故答案为：19． 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图，C，D，A共线，∠C＝∠DAE＝90°，若AB＝DE，CB＝DA，则△ACB≌△EAD的判断依据是HL ． 【分析】依据题意，通过HL可以判断Rt△ACB≌Rt△EAD，进而得解． 【解答】解：由题意，∵∠C＝∠DAE＝90°， ∴Rt△ACB和Rt△EAD中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△EAD（HL）． 故答案为：HL． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用HL是关键． 15．如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC．若∠OBC＝15°，则∠BAC＝　75　 °． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠OBC＝15°，再利用三角形内角和定理可得∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO＝150°，然后利用等腰三角形的性质可得∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO，从而可得∠BAO+∠CAO＝75°，即可解答． 【解答】解：∵OB＝OC． ∴∠OCB＝∠OBC＝15°， ∴∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝150°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO， ∴2∠BAO+2∠CAO＝150°， ∴∠BAO+∠CAO＝75°， 即∠BAC＝75°， 故答案为：75． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 16．如图，PM⊥OA，∠POA＝∠POB，PM＝4，点P到OB的距离为　4　 ． 【分析】作PN⊥OB于点N，由∠POA＝∠POB，PM⊥OA于点M，根据角平分线的性质得PN＝PM＝4，则点P到OB的距离为4，于是得到问题的答案． 【解答】解：作PN⊥OB于点N， ∵∠POA＝∠POB， ∴OP平分∠AOB， ∵PN⊥OB于点N，PM⊥OA于点M， ∴PN＝PM＝4， ∴点P到OB的距离为4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查角平分线的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．如图，在平面内有A、B、C、D四点，按下列步骤作图： （1）画直线BC、射线DA； （2）线段AB，CD相交于点E． 【分析】（1）根据题意，以及结合直线和射线的定义进行作图，即可作答． （2）根据题意，以及结合线段的定义进行作图，即可作答． 【解答】解：（1）根据题意，以及结合直线和射线的定义进行作图，直线BC、射线DA如图所示； （2）线段AB，CD相交于点E，如图所示． 【点评】本题考查了画出直线、射线、线段，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE，求证：△ABE≌△DCF． 【分析】先根据平行线的性质得到∠B＝∠C，再证明BE＝CF，然后根据“SAS”可判断△ABE≌△DCF． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， ∵BF＝CE， ∴BF+EF＝CE+EF， 即BE＝CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 19．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状． 【分析】先利用三角形的三边关系可得：2＜c＜10，从而可得：12＜x＜20，进而可得x＝16 或x＝14，然后进行计算即可解答． 【解答】解：△ABC 是等腰三角形， 理由：因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． 所以周长x的范围为12＜x＜20． 因为周长为小于18的偶数， 所以x＝16 或x＝14． 当x为16时，c＝6； 当x为14时，c＝4． 当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 当c＝4时，a＝c，△ABC 为等腰三角形． 综上，△ABC 是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（1）已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|； （2）一个等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm，求另两边的长． 【分析】（1）根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． （2）根据等腰三角形定义，分两种情况当5cm为腰时，当5cm为底边时，结合三角形三边关系分析求解，即可解题． 【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边， 得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， 则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣（a+b﹣c） ＝a+b﹣c﹣a﹣b+c ＝0； （2）∵等腰三角形的周长为25cm，一边长为5cm， 当5cm为腰时，25﹣5×2＝25﹣10＝15（cm）， 此时三角形三边分别为5cm，5cm，15cm， ∵5+5＝10cm＜15cm， ∴这样的三边不能构成三角形，舍去； 当5cm为底边时，腰长为：（25﹣5）÷2＝10（cm）， 此时三角形三边分别为5cm，10cm，10cm， ∵5+10＝15cm＞10cm， ∴这样的三边能构成三角形， 即等腰三角形另外两边的长分别为10cm，10cm． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，∠ABD＝12°，求∠DBC的度数． 【分析】由直角三角形的性质求出∠A＝90°﹣∠ABD78°，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝51°，即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：∵BD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣12°＝78°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣78°）＝51°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝51°﹣12°＝39°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 22．如图，点C、D是线段AB上的点，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADE≌△BCF． 【分析】直接根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】证明：∵AC＝BD， AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC， 在△ADE与△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知SAS定理是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） （2）若CD＝3，AB＝10，求△ABD的面积． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作DE⊥AB于点E，结合角平分线的性质可得ED＝CD＝3，再结合三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，BD即为所求． （2）过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴ED＝CD＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积为15． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 24．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点C，D，已知∠AOB的角平分线与∠ACD的角平分线交于点E，连接DE． （1）求证：点E到三边OA，OB，CD所在直线的距离相等； （2）若∠OED＝30°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）作EQ⊥OA于点Q，EP⊥CD于点P，ER⊥OB于点R，由角平分线的性质得EQ＝ER，EQ＝EP，则EQ＝ER＝EP，所以点E到三边OA，OB，CD所在直线的距离相等． （2）可证明DE平分∠BDC，则∠BDE∠BDC，因为OE平分∠AOB，CE平分∠ACD，∠OED＝30°，所以∠BOE∠AOB，由∠OED＝∠BDE﹣∠BOE∠OCD＝30°，求得∠OCD＝60°，则∠ACD＝120°，所以∠DCE∠ACD＝60°． 【解答】（1）证明：作EQ⊥OA于点Q，EP⊥CD于点P，ER⊥OB于点R， ∵∠AOB的角平分线与∠ACD的角平分线交于点E， ∴EQ＝ER，EQ＝EP， ∴EQ＝ER＝EP， ∴点E到三边OA，OB，CD所在直线的距离相等． （2）解：∵EP⊥CD于点P，ER⊥OB于点R，且ER＝EP， ∴点E在∠BDC的平分线上， ∴DE平分∠BDC， ∴∠BDE∠BDC， ∵OE平分∠AOB，CE平分∠ACD，∠OED＝30°， ∴∠BOE∠AOB， ∴∠OED＝∠BDE﹣∠BOE（∠BDC﹣∠AOB）∠OCD＝30°， ∠OCD＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠OCD＝120°， ∴∠DCE∠ACD＝60°， ∴∠DCE的度数是60°． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝ 　11　 ； （2）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，则AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝11； （2）如图，连接OA，OB，OC，由线段垂直平分线的性质证明OB＝OC，即可证明点O在BC的垂直平分线上． 【解答】（1）解：∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴DB＝DA，EA＝EC． ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE． ∵BC＝15，DE＝4， ∴AD+AE＝15﹣4＝11． 故答案为：11； （2）解：点O在BC的垂直平分线上． 理由：如图，连接OA，OB，OC， ∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 10:25:50；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $