1.3 三角函数的计算（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.3 三角函数的计算 教学设计 1.教学内容 本课基于北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系中“1.3 三角函数的计算”，核心知识点包括：使用计算器求非特殊角的正弦、余弦、正切值，根据计算器结果近似求锐角大小，并利用三角函数解决垂直高度与仰角、俯角等实际问题。 2.内容解析 本节主要引导学生先回顾30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，再学习如何利用科学计算器准确求非特殊角的正弦、余弦和正切值，并进而根据三角函数值利用计算器求锐角度数。通过实际情境，帮助学生运用三角函数关系求解垂直高度、倾斜角度等，深化对直角三角形边角关系的应用理解。 1.教学目标 •学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算。 •学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算。 2.目标解析 • 对于“学会利用计算器求三角函数值”，要求学生能准确设置计算器角度模式，输入角度或分度并读出相应函数值，熟悉常用计算器操作。 • 对于“利用计算器根据三角函数值求锐角度数”，要求学生能反向输入函数值，借助反三角函数功能获取角度，并正确处理小数或度分秒转换。 3.重点难点 • 教学重点：熟练使用计算器来求解正弦、余弦、正切的数值。 • 教学难点：利用反三角函数功能求锐角度数并正确转换单位形式。 学生已具备30°、45°、60°等特殊角三角函数值记忆及简单直角三角形求解经验，但对非特殊角的精确数值计算和角度求解不熟练。尤其是度分秒和小数转换环节较为生疏，需要针对性练习，以保证在解决实际应用题时能熟练操作并做出合理近似。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 30°，45°，60°角的三角函数值： 2.情景引入 问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少? 分析：①缆车垂直上升的距离是线段   BC     的长度． ②本题的已知条件是    ∠α＝16°，AB＝200 m     ，需要求出的是  BC的长度   ． ③这三个量之间的关系是 sin α＝  ． 由以上分析可得： 在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200 m， 根据正弦的定义，得sin 16°＝＝， ∴BC＝ABsin 16°＝200sin16°(m). 思考：你知道sin 16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 【设计意图】借助登山缆车的生活情境，引导学生复习并感知三角函数在实际中的应用价值，激发探究兴趣，同时明确本节课的学习目标和思考方向。 探究点1：用计算器求三角函数值 1.新知探究： 用科学计算器求三角函数值，要用到和键. ①求sin 16°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值16， 屏幕显示结果sin 16°=0.275 637 355 8 ②求cos72°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994. ③求 tan30°36'. 方法一：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用键)， 屏幕显示答案：0.591 398 351； 方法二：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得： ∴BC＝200sin16°≈55.12(m). 2.议一议 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗?（结果精确到0.01m） 解:在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠β=42°，BD＝200 m， 根据正弦的定义，得sinβ=，即sin 42°＝， ∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m). ≈133.83（m） 3.练一练 用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(　　) A.0.885 7 B.0.885 6 C.0.885 2 D.0.885 1 解：A. 【设计意图】通过对计算器按键的操作演示，让学生掌握用科学计算器直接求已知角度的三角函数值的有效方法，突破“如何快速求任意角的三角函数值”的学习难点，提高实际应用能力。 探究点2：利用计算器由三角函数值求角度 1.想一想 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少? 在Rt△ABC中，sinA===. 那么∠A是多少度呢？ 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 操作演示 已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 2.练一练 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. 【设计意图】让学生亲身操作科学计算器，通过“已知三角函数值→求角度”的逆向思维活动，掌握反三角函数键的使用方法；借助典型实例加深理解，进一步巩固三角函数与角度的双向对应关系。 探究点3：非特殊角三角函数的应用 1.做一做 如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA＝45°.因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． ∴改直后的公路AB的长约为13.3千米. (2)∵AC＝10千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． 2.拓广探索 利用计算器算一算，比一比，你能得出什么结论？ sin15°32 ' = sin20°= sin35°= cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= 解：sin15°32 ' =0.2678 sin20°=0.3420 sin35°=0.5736 cos55°=0.5736 cos70°=0.3420 cos74°28 '=0.2678 tan3°8 ' =0.0547 tan80°25'43″=5.930 从上面的数值可以看出，随着角度的增大， 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 3.知识归纳 锐角三角函数的增减性： 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 4.典例分析 例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 注：用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位． 例2 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)． 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝=＝1.8，解得x≈31. ∴DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． ∴塔高DE大约是81米． 【方法总结】解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 【设计意图】聚焦非特殊角三角函数的实际应用与知识深化，通过“实操计算—拓广探索—知识归纳—典例分析”的梯度设计，让学习者掌握构造直角三角形的核心方法，理解锐角三角函数的增减性，提升运用计算器求解三角函数值、解决测量等实际问题的能力，培养数学建模与逻辑推理素养。 1．某同学在距电视塔BC塔底水平距离200米的A处，看塔顶C的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔BC的高约为(保留到个位)(　　) A．68米 B．73米 C．127米 D．188米 解：B． 2.如果tan α＝0.213，那么锐角α的度数大约为(　　) A．8° B．10° C．12° D．14° 解：C． 3.我们在利用计算器求sin 30°的值时，依次按键为，则计算器上显示的结果是_____ 解：0.5. 4.先用计算器探究cos 21°，cos 37°，cos 48°的值，再按由小到大的顺序排列应是_____________. 解：cos 48°＜cos 37°＜cos 21°． 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 解：280. 6.用计算器求下列三角函数值(结果精确到0.000 1)． (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″. 解： tan 63°27′≈2.001 3. cos 18°59′27″≈0.945 6. sin 67°38′24″≈0.924 8. 7.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73) 解：在Rt△BCD中，BC＝DC·tan 30°＝15×≈5×1.73＝8.65(m)， 在Rt△ACD中，AC＝DC·tan 37°≈15×0.75＝11.25(m)， ∴AB＝AC－BC≈11.25－8.65＝2.6(m)． 答：广告牌AB的高度为2.6 m． 8.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在Rt△BDE中， tan∠BDE＝，∴BE＝DE·tan39°. ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度CD约为116米． 【设计意图】本环节通过基础巩固题的系统训练，让学生熟练掌握利用计算器求三角函数值及其逆过程的基本技能，并将所学知识运用于解决与实际生活情境相关的问题，帮助学生牢固把握重难点。 主板书 1.3 三角函数的计算 探究点1 用计算器求三角函数值 探究点 2 利用计算器由三角函数值求角度 探究点3 非特殊角三角函数的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.3第1-5题。 2. 探究性作业：习题1.3第6题。 学科网（北京）股份有限公司 $