1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》第1.2节“30°，45°，60°角的三角函数值”，核心知识点为：通过直角三角形中边长关系，推导并记忆30°，45°，60°三角函数值，进而理解三角函数在计算与实际应用中的重要作用。 2.内容解析 本节通过对30°、45°、60°三角函数值的推导与应用，帮助学生进一步认识正弦、余弦、正切三种函数及相互关系，并掌握其在特定角度下的准确数值。通过构造典型直角三角形，学生观察边长比例，理解 、、 等，进而归纳相应的余弦与正切值。教师需突出几何模型建构和基本运算，帮助学生在熟读“特殊三角函数值表”基础上进行灵活运用，并与实际情境结合，引导学生掌握解决高度、距离等现实问题的方法，为后续学习更广泛的函数和空间几何知识打下坚实基础。 1.教学目标 •经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值； • 能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算； • 能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。 2.目标解析 • 通过构造并分析典型的直角三角形，学生在操作和讨论中掌握推理思路，并内化为对三角函数的理解。 • 计算能力目标侧重熟练运用已知三角函数值开展数值处理，同时内化几何模型与代数运算间的联系。 • 应用目标侧重引导学生挖掘生活情境中直角三角形的问题特征，培养用数学思维解决实际问题的意识。 3.重点难点 • 教学重点：熟记30°、45°、60°三角函数值并进行数值计算。 • 教学难点：在几何场景中准确构造含有特殊角的直角三角形模型，进而利用正确的边角关系解决问题。 学生已掌握一般锐角三角函数的概念，具备一定的几何识图及初步代数运算能力，但对典型角度的三角函数值可能只停留在零散记忆。部分学生在识别斜边、对边、邻边时较易混淆，且在将实际情境转化为几何模型时需要更多引导和训练。通过本节学习，学生能在已有知识基础上，构建更完整的三角函数体系并增强建模解题的综合能力。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①锐角A的               、               和正切都是∠A的三角函数. 如图所示， tanA=               ;sinA=               ;cosA=               . 解：正弦，余弦； ②tanA的值               ，sinA的值               ，cosA的值               ，梯子越陡. 解：越大；越大；越小 2.情景引入 观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度? 思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？ 【设计意图】通过复习三角函数的基本概念，引导学生借助常见三角尺激发兴趣，很自然地过渡至“如何推导并记忆 的三角函数值”这一新知，为后续探究做好准备。 探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值 1.议一议： 问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流. (2)：cos30°等于多少?tan30°呢？ 解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a. 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a. 2.做一做 （1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ 解: （2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ 解:设两条直角边长为a，则斜边长＝ 3.知识归纳 特殊角的三角函数值表： 三角函数的进一步理解： ①通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、相除关系等） ②观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 4.练一练 计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 解: (1)sin30°+cos45° (2)60°+60°-tan45° 注意:60°表示,60°表示 【设计意图】本环节分层探究各特殊角的三角函数值，帮助学生从构造直角三角形的思路出发，加深对正弦、余弦、正切概念的理解，逐步形成对“三角函数取值随角度变化”的规律性认识。 探究点2：特殊三角函数值的运用 1.新知探究 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). 解:如图, 根据题意可知,∠AOD=×60°=30°,OD=2.5m, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 2.知识归纳 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤: （1）把实际问题转化为数学问题； （2）构造出含有特殊锐角的直角三角形； （3）利用特殊角的三角函数值求解。 3.练一练 某儿童乐园的滑梯为直角三角形结构，滑梯坡面（斜边）长 12 m，倾斜角为 30°，则滑梯的垂直高度为（ ） A. 6 m B. 6 m C. 12 m D. 12m 解：A 4.典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． 解： 如图，∵AB= ,BC=， ∴sinA===, ∴∠A=45°. 逆向思维：由特殊三角函数值可以确定锐角的度数. 例2 已知 为锐角，且 是方程 的一个根，求 的值. 解：解方程 ，得=1，=-3， ∵tanα＞0， ∴tanα=1， ∴α=45°. ∴ = = =-3 【设计意图】本探究围绕“特殊角三角函数值的典型应用”，先让学生把生活中秋千摆动或滑梯倾斜等情境转化为直角三角形，再在方程与三角函数值对应关系上进行“逆向思维”训练，既加深对特殊角三角函数值的记忆，也培养学生分析和转化能力，为后续复杂应用打下基础。 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的度数是(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解：C． 解：B． 3.在△ABC中，若，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 解：C. 4.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 解：D． 5. 如图，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是(　 　) 解：B. 6.计算： ①                ② 解：−； 7.在△ABC中，∠B=45°，cosA=1/2，则∠C的度数是__________ ． 解： 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为 ________． 解：3+. 9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 解： 10.求下列各式的值： （1） （2） 解：（1） （2） 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求AB. 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠A=30°，AC=2，sinA==, ∴CD=×2=. ∵cosA==, ∴AD=×2=3. ∵tanB==, ∴BD=×=2. ∴AB=AD+BD=3+2=5. 12.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ =20+1.6=21.6（m） 答：旗杆AB的高度为21.6米. 【设计意图】本部分设计以“巩固练习”阶段的多样化题型相结合，让学生在不同情境中反复运用、巩固特殊角三角函数值。 主板书 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 探究点1 30°、45°、60°角的三角函数值 探究点 2 特殊三角函数值的运用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.2第1-5题。 2. 探究性作业：习题1.2第6题。 学科网（北京）股份有限公司 $