1.1 锐角三角函数（第1课时）（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.1 锐角三角函数 （第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节内容选自北师大版九年级下册《1.1 锐角三角函数》第1课时，围绕“直角三角形的边角关系”展开，重点阐述锐角正切的定义及其在实际生活中的应用，如倾斜角、坡度等概念。 2.内容解析 本节通过“梯子倾斜角”这一现实背景，引出锐角正切的含义，揭示“对边与邻边”的比值可刻画物体倾斜程度。学生在直角三角形已有知识基础上，进一步理解 只与锐角大小相关，不随边长伸缩而改变。教学价值在于让学生体会三角函数在测量与工程领域的广泛应用，并为后续正弦、余弦等内容做好铺垫。本节重点在掌握正切定义及其实用意义，难点在于灵活运用正切进行简单计算与建模。 1.教学目标 •理解正切的意义和与现实生活的联系。 •能够用 表示直角三角形中两直角边的比，解决倾斜程度、坡度（坡比）等问题。 •能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算。 2.目标解析 • 理解正切的意义：能用语言描述 的定义及其在实际测量中的重要性。 • 会用正切表达式：能准确识别锐角对边和邻边，计算并比较不同对象的坡度。 • 熟练计算与建模：能在简单几何或应用场景中列出 方程并求解。 3.重点难点 • 教学重点：掌握正切定义，利用对边与邻边之比表征物体的倾斜程度。 • 教学难点：在实际应用中正确识别对边与邻边，并利用正切建立方程模型。 学生已具备三角形与勾股定理的基础知识，能处理简单直角三角形问题。对比值概念已有初步认识，但对借助比值刻画角度大小的理解较薄弱。部分学生在识别“对边”和“邻边”时易混淆，需通过具体实例与图示强化。运用正切解决实际测量、坡度、倾斜角等建模问题可能对部分学生存在一定挑战，需结合生活实例加深理解。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 教师提问：小明在处仰望塔顶，测得的大小，再往塔的方向前进50m到处又测得的大小，并根据这些数据求出了塔的高度。你知道他是怎么做的吗？ 结合我们之前对直角三角形以及角度的学习思考：如果知道一个直角三角形的一条边以及一个锐角，是否就能求出其他边和角？这背后隐藏着什么规律？ 本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题。 2.情景引入 ①梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 解：如图，梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓． ②但在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那么我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 解：我们可以借助直角三角形的边角关系来研究。 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度. 【设计意图】通过小明仰望塔顶的生活情境，激发学生的好奇心，引出在实际情境中需要运用直角三角形边角关系来求解问题，进而自然导入锐角三角函数的学习，明确学习方向。 探究点1：正切的定义 1.问题引入： 问题1：如图①，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 解：通过度量法或叠合法即可比较出倾斜角∠ABC＞∠EFD. 根据倾斜角越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB更陡． 问题2：直接比较倾斜角可以知道哪个更陡，还有没有其他判断方法呢？ 解：如图①，当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.因此梯子AB更陡. 如图②，当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.因此梯子EF更陡. 问题3:如图③，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 解：当铅直高度与水平宽度都不相等时，可以比较它们的比. ∵==≈2.67，==≈2.69. 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. ∴梯子EF更陡. 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 2.想一想 如图,，是梯子AB上的点，⊥AC，垂足为点，⊥AC，垂足为点.小明想通过测量及A，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及A，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. (1)Rt∆A和Rt∆A有什么关系？ 解:两个直角三角形相似. (2)和有什么关系? 解:∵Rt∆A~Rt∆A ∴= ∴= (3)如果改变在梯子AB上的位置(如 )，上述结论还成立吗？ 解:仍然成立，=. 思考：由此你得出什么结论? 3.知识归纳 正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即 tan A＝= 当锐角A变化时，tanA的值也随之变化. 正切定义的几点说明： 1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1. 3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）. 4） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 4.议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 【知识扩充】对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 5.练一练 ①判断对错： (1).如图 (1) tanA= ( ) (2).如图 (2)tanA= ( ) (3).如图 (2)tanA= ( ) (4).如图 (2)tanB= ( ) (5).如图 (2)tanA=0.7 ( ) (6).如图 (2) ( ) 解：×，×，×，√，√，× ②如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，=，则tan A＝( )． 解：由正切定义可知tan A＝， 因为=，可设BC＝15a，AB＝17a， 从而可用勾股定理表示出第三边AC＝8a， 再用正切的定义求解得tan A＝=. 【设计意图】通过让学生对“梯子陡缓”进行多角度思考，从生活情境自然过渡到“对边与邻边”之比的抽象概念，帮助学生理解正切的由来和含义，突破正切概念的理解难点。 探究点2：梯子的倾斜程度与tanA的关系 1.议一议 教师提问：如图,梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系? 学生思考并讨论： ①当梯子与地面所成的角为锐角A时，tanA＝， tanA的值越大，梯子越陡． 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度． ②当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. 2.练一练 下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中,tanα==. 乙梯中，tanβ==. ∵ tanα> tanβ， ∴甲梯更陡. 【设计意图】通过与真实生活的“坡度”现象对接，使学生认识到正切在测量“陡峭程度”中的价值。从“现实问题→数学抽象→概念形成”的过程，进一步巩固正切概念、强化应用意识。 探究点3：坡度、坡角 1.问题引入： 如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i(即tanα)就是: ①坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。 ②坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。 ③坡度越大,坡面越陡。 2.练一练 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 解：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， ∴= ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． AB= = =2 3.典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值． 解：如图，过D作DE⊥AB于E. 设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝2a. ∵D为AC中点，∴AD＝a. ∵∠A＝∠ABC＝45°，DE⊥AB， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝. ∴BE＝AB－AE＝，tan∠ABD＝＝. 例2 已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732)． 解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F. ∵CD与BC的夹角为45°， ∴∠DCF＝45°， ∴∠CDF＝45°. ∵CD＝4m， ∴DF＝CF＝＝4(m)， ∴AE＝DF＝4m. ∵斜坡AB的坡度为3∶， ∴tan∠ABE＝＝＝， ∴BE＝4m. ∵BC＝14m， ∴EF＝BC-BE-CF＝14-4-4＝10-4(m)． ∵AD＝EF， ∴AD＝10－4≈3.1(m)． ∴它的上底的长约为3.1m. 【设计意图】引导学生将“梯子倾斜”推广到更普遍的“斜坡”情境，通过观察和计算体会在坡度表达中的作用，培养学生抽象思维与实际应用意识。 解：A． 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.大小不变 解：D． 3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanA=（ ） A. B. C.2 D. 解：D. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____． 解：． 5. 如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). 解： 6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA=,求AC和BC. ∴设BC=3k,AC=4k. 【设计意图】围绕本课时核心知识点，循序渐进地安排了基础题与应用题，帮助学生扎实掌握并熟练运用“正切”在几何与实际情境中的应用。 主板书 1.1 锐角三角函数 （第1课时） 探究点1 正切的定义 探究点 2 梯子的倾斜程度与tanA的关系 探究点3 坡度、坡角 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.1第1-3题。 2. 探究性作业：习题1.1第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $