1.1 锐角三角函数（第2课时）（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.1 锐角三角函数 （第2课时）教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版九年级下册“1.1 锐角三角函数”第2课时，主题是“直角三角形的边角关系”。主要围绕锐角三角函数中的正弦与余弦建立概念，探讨其与梯子倾斜程度、三角形相似特性的联系，完成对锐角三角函数的进一步理解及简单应用。 2.内容解析 本节课在探究正切定义的基础上，通过相似三角形的对应边成比例，进一步引入并定义了锐角的正弦和余弦：，。这一比值仅与所对应的角度大小相关，而与三角形的形状或大小无关。通过梯子倾斜程度的实例，学生能够感受到当 越大时梯子越陡，以及当 越小时梯子也越陡，从而直观体验正弦与余弦在刻画斜度方面的作用。最后，还强调锐角三角函数间的联系，例如 （ 为 的余角），帮助学生对各函数值的相互转化形成初步认知。 1.教学目标 •能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系。 •能够用 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算。 2.目标解析 • 强调学生要在已有正切概念的基础上，通过相似三角形推导出正弦、余弦的定义，并能解释其与倾斜程度的关系。 • 要求学生掌握在直角三角形内如何应用 、 完成边长的求解，以及能够区分正切、正弦、余弦三者的适用情境。 3.重点难点 • 教学重点：理解直角三角形中对边、邻边、斜边的对应关系，准确掌握 、 的定义及应用。 • 教学难点：在几何图形中辨认和应用正弦、余弦时，避免与正切相混淆，并能利用三角函数值间的关系解决简单的计算和判定问题。 学生已具备对相似三角形的认识，懂得正切定义和应用，但对三角函数的系统认识尚不足。部分学生容易将正弦、余弦与正切混淆，也可能在实际情境中分不清对边、邻边和斜边。通过本节借助梯子倾斜等实例，让学生在具体情景中理解并区分 、 的概念及功能，有助于夯实三角函数基础并为后续学习做好铺垫。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①如图，在Rt△ABC中，tan A＝               . 解：= ②可用梯子的倾斜角的               来描述梯子的倾斜程度,               越大，梯子               ． 解：正切值，正切值，越陡 ③正切也经常用来描述山坡的               .坡度越大,坡面               。 解：坡度，越陡 2.情景引入 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关，并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切． 其它边之间的比值也确定吗?梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 【设计意图】通过复习直角三角形中关于正切的定义，引导学生回顾并思考“对边与邻边的比”只与角度大小相关，为新知“正弦、余弦”的定义与应用做铺垫。同时，用“梯子倾斜程度”这一贴近生活的情境激发学生学习兴趣，使他们明确本节课的探究方向。 探究点1：正弦、余弦的定义 1.议一议 （1）在上节课的图中，我们知道了△A∽△A， 那么和有什么关系?和呢? 解：根据相似三角形的对应边成比例，可得， （2）如果改变在梯子A上的位置(如 )，上述结论还成立吗？ 解：仍然成立，=，=. 思考：由此能得到什么结论？ 在Rt∆A中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． 2.知识归纳 正弦、余弦的定义： ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA ， 即 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 定义中应该注意的几个问题: ①sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ②sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). ③sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位. ④sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. ⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 3.练一练 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. 解：在Rt△ABC中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. 【设计意图】通过已有的相似三角形知识，引导学生观察并验证“”和“”的比只随锐角大小变化，进而提出正弦、余弦概念。强调顺序、定义域和符号，培养学生数形结合与抽象归纳能力。 探究点2：梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系 1.想一想 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ 结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关. sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. 2.练一练 如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子与地面的倾斜角为 α，下列说法正确的是（ ） A. α 越大，sinα 越小，梯子越陡 B. α 越大，cosα 越大，梯子越陡 C. α 越大，sinα 越大，cosα 越小，梯子越陡 D. α 越大，sinα 越小，cosα 越大，梯子越陡 解：C 【设计意图】利用真实的生活情景（梯子靠墙）展现 与 的变化特点，让学生理解正、余弦与实际情境的联系，激发学习兴趣并帮助他们形成“数形结合”的思维方式。 探究点3：正弦、余弦和正切的相互转化 1.做一做 如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,=，AB等于多少呢？sinB呢？ 思考:根据以上计算，你有什么发现？ 解：= 2.知识归纳 正弦、余弦和正切的关系： 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinA=cosB 一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦. tanA==÷=. 3.练一练 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB的值等于（ ） A. B. C. D. 解：B. cosB=sinA=. 4.典例分析 例1 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB. 提示:过点A作AD⊥BC于D. 例2 如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC. （1）求证：AC＝BD； （2）若 , , 求的长 解:(1)证明：∵ 是上的高, ∴ . 在中, ; 在中, . ∵ ∴ ∴ （2）在中, . 设 , , 则 ∵ , ∴ 解得 ∴ 【设计意图】通过三角函数之间的转化，学生在解题中综合运用 去分析问题，进一步体会三角函数的内在联系，并解决较复杂的几何问题。两个例题分别从几何构造与勾股定理应用两方面加深学生对概念的理解和应用，帮助他们掌握“现实问题→数学抽象→概念运用”的思维过程。 1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　 　) 解：D． 2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　) 解：A． 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB 解：D. 4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍                B.缩小为原来的3倍       C.扩大为原来的6倍                D.大小不变 解：D． 5. 如图, ∠C=90° CD⊥AB. （1） sinB=== （2）若BD=6,CD=12.则cosA=______. 解：(1) (2) 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA=_____，cosA=_____ . 解：， 7.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD和tan ∠ACD. 解: ∵ 在中, , 是上的中线, ∴ , 又 , ∴ , , ∴ , ∴ , ∴ , , 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B． 解：∵∠C＝90°，MN⊥AB， ∴∠C＝∠ANM＝90°． 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AMN， ∴== 设AC＝3x，AB＝4x． 由勾股定理，得BC==x ∴在Rt△ABC中，cosB=== 【设计意图】本部分练习分梯度设置，从基础巩固到多角度考察，同步训练学生正弦、余弦、正切的概念与简单运算能力。通过网格题、与几何图形的结合，使学生在多种情境中进一步理解三角函数与图形特征的关系，为后续“三角函数表”等知识做好准备。 主板书 1.1 锐角三角函数 （第2课时） 探究点1 正弦、余弦的定义 探究点 2 梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系 探究点3 正弦、余弦和正切的相互转化 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.1第1-4题。 2. 探究性作业：习题1.1第5题。 学科网（北京）股份有限公司 $