精品解析：上海市上海师范大学附属嘉定高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上师嘉高2025学年第一学期高三年级数学学科期中试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 已知，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数解析式求解函数值即可. 【详解】因为，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：不等式变形为，不等式的解集为 考点：分式不等式解法 3. 已知复数满足（是虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可得结果. 【详解】因为，故. 故答案为：. 4. 若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 5. 记等差数列的前项和为，若，，则_________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据等差数列的通项求出首项与公差，再根据等差数列前项和即可得解. 【详解】设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 所以． 故答案为： 6. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】得到，将直观图还原为原图，求出，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，可得为直角三角形， 所以， 根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得直角三角形，其中， 由勾股定理得， 所以的周长为． 故答案为：. 7. 在展开式中，含有项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式可求得展开式中含有项的系数. 【详解】因为的展开式通项为， 由题意可知，在展开式中，含有项的系数为. 故答案为：. 8. 若关于的不等式在上的解集为空集，常数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，先求不等式的最小值，要求解集为空集时实数的取值范围即可． 【详解】的几何意义是数轴上的点到3和4的距离之和， 当在3、4之间时，这个距离和最小是1，其它情况都大于1， 所以， 若不等式在上的解集为空集，则， 常数的取值范围是． 故答案为：． 9. 行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意结合中位数、平均数和标准差定义求的值，进而可求标准差. 【详解】因为125､､121､､127的中位数为124，可知中必有一个为124， 不妨设， 又因为平均数为：，解得：，符合题意， 可得该样本的标准差为：. 故答案为：2. 10. 在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型确定基本事件总数，再确定满足到原点的距离的点的个数，从而可求得概率. 【详解】由于，且， 所以符合的共有（个）， 则，即， 按点的坐标将其分类讨论： 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或2,4,5,6，有5个点； 若，则或2,3,5,6，有5个点； 若，则或2,3,4,6，有5个点； 若，则或2,3,4,5，有5个点； 所以共有（个）点， 满足点到原点的距离的概率为. 故答案为：． 11. 有一直角转弯走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先研究硬管水平放置时，令，建立，，利用导数求出；再研究硬管在竖直方向可倾斜后能通过的最大长度． 【详解】如图，铁管水平放置时，令， ，，， 设，， ． 令，，解得：， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以， 此时通过最大长度，， 倾斜后硬管可通过的最大极限长度， ． 故答案为：． 12. 已知定义域为的函数的值域也是，所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数，则集合的元素个数的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得集合有6个不同的元素，且非空集合，且，对分类讨论可求得集合的元素个数的最小值. 【详解】因为定义域为的函数的值域也是， 所以这样的不同的函数有个，所以集合有6个不同的元素， 又非空集合，且， 又中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数， 若中只有1个函数，则中有5个函数， 又中函数与自身的复合函数只能表示一个函数，故不能得到中5个函数，不符合题意， 若中只有2个函数，则中有4个函数， 若中2个函数的复合函数有，如果这4个函数是中4个函数时，符合题意，此时只需验证即可. 6个不同函数为，， ，， ，， 若，此时， ，， ，， 所以集合的元素个数的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：利用已知先确定集合有6个不同的元素，按照中函数是中函数的复合函数，找到两集合元素的关系，验证即可. 二、选择题（本题满分18分，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，且，若，则，故A不正确； 若，则，故B不正确； 因为，且，所以，故C正确； 若，则，故D不正确. 故选：C. 14. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB；利用线面平行的判定说明判官CD作答. 【详解】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，平面为一正三棱柱的两个侧面所在平面，直线为底面正三角形的一边所在直线， 显然，与平面不平行，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 故选：B 15. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 【答案】B 【解析】 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 16. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】按照、、分类讨论，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以， 即，与联立得， 因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5． 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与值域； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的最大值. 【答案】（1）最小正周期为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换，再根据正弦函数的性质求最小正周期与值域即可； （2）根据正弦函数的零点与对称轴求解的值，从而可得的最大值. 【小问1详解】 ， 则函数的最小正周期为，值域为； 【小问2详解】 由题可得, 所以，则， 由于，所以或； 又直线是曲线的一条对称轴， 所以，则， 由于，所以或； 故的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形平面，，点是棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面由线面平行性质定理即可得出，结合得出结论； （2）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小. 【小问1详解】 证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ， 又， ． 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 因为平面， 则为平面的一个法向量， 所以， 由图知二面角为钝角， 所以二面角的大小为． 19. 某大学农学院在同一块试验田种植了、两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取份，每份含千粒小麦，测量其重量，按、、、、、分为组（每份重量均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的平均数； （2）在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本，再从中抽取份，求这份重量都小于的概率; （3）用频率估计概率，从、两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于的概率. 【答案】（1），平均数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得，将每组的中间值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得品种小麦千粒重的平均数； （2）求出样本中重量小于的份数，再利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 由频率分布图可得，解得， 品种小麦千粒重的平均数为. 【小问2详解】 在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本， 样本中重量小于的份数为， 记事件在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本， 再从中抽取份，这份重量都小于，则. 【小问3详解】 设事件、分别表示从、两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则，， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于，则， 又、相互独立， 所以 . 20. 已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上． （1）若为上顶点，，求的值； （2）若，原点到直线的距离为，求直线的方程； （3）对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质求解， （2）由平面向量数量积的坐标运算解得点坐标，设出直线方程后由点到直线的距离公式列式求解， （3）联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解， 【小问1详解】 ∵椭圆： ∴，，， 利用椭圆定义得，∵， ∴，∴； 【小问2详解】 由题意得直线斜率存在，设直线方程为，（）， 设（）， 则， ∵点椭圆上，∴， 代入得， 解得：，，即点坐标为， 将点坐标代入直线的方程有：①， 由原点到直线的距离得到：②， 联立①和②得或 又因为，所以 直线的方程为：，即． 【小问3详解】 设直线方程为（斜率必存在）（）， 设，， 则，， ∵，∴， ∴， 化简得①， 联立得， ∴， ∴， 代入①得，， ∴②， ∴， 代入②得：，故， 而点，在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得， 故直线有且只有一条使得． 21. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）是“类函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得：，解得的值，可得结论； （2）若是定义在上的“类函数”，则存在实数满足，即方程在上有解，进而可得实数的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，进而可得实数的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； 【小问2详解】 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值； 【小问3详解】 由对恒成立，得， 因为若为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足 ①当时，， 所以，所以， 因为函数是增函数，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数是减函数，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师嘉高2025学年第一学期高三年级数学学科期中试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 已知，则=______． 2. 不等式的解集是______． 3. 已知复数满足（是虚数单位），则________. 4. 若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则_________． 6. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 7. 在展开式中，含有项的系数为______． 8. 若关于的不等式在上的解集为空集，常数的取值范围是________. 9. 行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）. 10. 在平面直角坐标系内，点坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为_________. 11. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 12. 已知定义域为函数的值域也是，所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数，则集合的元素个数的最小值为__________. 二、选择题（本题满分18分，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 14. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 15. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 16. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数. （1）求函数最小正周期与值域； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形平面，，点是棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求二面角大小． 19. 某大学农学院在同一块试验田种植了、两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取份，每份含千粒小麦，测量其重量，按、、、、、分为组（每份重量均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的平均数； （2）在品种小麦千粒重中分层抽样抽取一个容量为的样本，再从中抽取份，求这份重量都小于的概率; （3）用频率估计概率，从、两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于的概率. 20. 已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上． （1）若为上顶点，，求的值； （2）若，原点到直线的距离为，求直线的方程； （3）对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 21. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $