1.1 集合的概念 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合的概念”核心知识点，课堂导入通过数学史情境介绍康托尔与集合论，结合军训通知等生活实例，衔接初中自然数集、圆的定义等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理集合概念的形成脉络。 此资料特色在于融合数学核心素养，以数学史和生活情境培养数学眼光，通过探究元素确定性等性质及列举法、描述法对比，发展数学思维与语言表达能力，助力学生降低抽象概念难度，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.1 集合的概念 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号. 3.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 教学内容 1.教学重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系； 2.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合。 教学过程 1、 情境导入 1.数学史情境：集合的“前世今生” 教师：同学们，我们今天要学习的“集合”，看似抽象，却是整个现代数学的“基石”。大家知道吗？集合论诞生于 19 世纪末，其创始人是德国数学家康托尔（1829-1920） 。在康托尔之前，数学家们对“一类事物的整体”缺乏明确的定义，而集合论的出现，不仅让数学研究有了严谨的基础，还深刻影响了现代哲学和逻辑学，被誉为“20 世纪最伟大的数学创造”。正是有了集合，后续的函数、几何、概率等知识才有了统一的表述语言。 设计意图：通过康托尔的故事和集合论的重要性，激发学生的学习兴趣，让学生体会数学知识的严谨性和深远影响，同时为“集合是数学基础”的认知埋下伏笔。 2. 生活情境：身边的“集合实例” 教师：其实集合离我们并不远，生活中处处可见。比如： 高一开学第二天，学校通知：“上午8点，在学校操场举行军训动员大会”。这个通知的对象是全体高一学生还是个别同学？（学生回答：全体高一学生——没错，“全体高一学生” 就是一个明确的整体。 再比如：“我们班所有身高超过170cm的同学”“今天早上食堂提供的所有菜品”“地球上所有的哺乳动物”，这些表述的对象是不是都有一个共同特点？（引导学生发现：对象是 “明确的、可区分的一类”） 设计意图：从军训通知、班级同学等熟悉场景出发，让学生直观感知“明确的整体”，降低抽象概念的理解难度，呼应原设计中“从生活场景铺垫”的思路。 3. 旧知衔接：初中的“集合影子” 教师：回顾初中学习，我们其实早已接触过集合的雏形，只是没有明确命名。大家想一想： 代数方面：我们学过的自然数集合、有理数集合、实数集合，还有方程解的集合（比如方程x²=4 的解组成的整体）、不等式解的集合（比如 2x-1>0 的所有解），这些是不是都是“确定的一类对象”？ 几何方面：圆的定义是什么？（学生回答：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合）——非常好！这里“所有满足条件的点”就构成了一个集合。 设计意图：唤醒初中已有的“集合雏形”认知（自然数集、圆的定义等），建立新旧知识的联系，让学生感受到“知识的连贯性”，避免因“全新概念”产生畏惧心理。 4. 过渡提问（衔接教材引言） 教师：结合刚才的数学史、生活实例和初中知识，大家再看教材引言中的6个问题（1～20以内的所有质数、全国人民代表大会、所有正方形等），思考：这些问题的研究对象有什么共同特征？它们是不是都能明确区分“属于”或“不属于”这个整体？ 设计意图：自然衔接教材引言，引导学生从“具体实例”向“抽象概念”过渡，符合原设计中“感知—提炼”的认知规律，为后续概念形成做好铺垫。 二、新知探究 探究一 集合的含义 1.考察下列问题： （1）1～20以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点; （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 教师：请同学们认真阅读探究一中的6个问题，逐一分析每个问题的研究对象，思考两个核心问题：①每组对象的全体都能组成集合吗？②若能组成集合，其中的元素分别是什么？请大家先独立思考，在练习本上简要记录你的分析。​ （学生自主研读问题，标注每个问题的研究对象，判断是否能组成集合并明确元素，教师巡视，观察学生对“对象”“全体”的理解情况，及时发现认知困惑。） 设计意图：以探究一中的6个问题为核心，补充教材引言中方程的完整形式，保持与教材的一致性，让学生在熟悉的例题中感知概念，降低抽象难度。 2、归纳新知 （1）集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 探究二 集合中元素的性质 1.所有的“美女”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能. 其中的元素不确定，集合中的元素是确定的。 2. 由8,3,7,2,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有4个不同元素8，3，7，2. 集合中的元素是互异的。 3.高三（9）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 集合没有变化，集合中的元素是没有顺序的。 教师：通过以上三个问题的探究，我们一起总结集合中元素的三大特性：（板书） ① 确定性：元素是否属于集合明确，无模糊标准； ② 互异性：元素互不重复，相同元素只算一个； ③ 无序性：元素无固定顺序，顺序改变集合不变。 4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等. 练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于1小于10的奇数; (2) 我国的美丽城市. 【解析】（1）是由3,5,7,9四个元素组成的集合. （2） 由集合元素的确定性知其不能组成集合. 设计意图：问题设计与练习均围绕教材核心要求，强化“确定性、互异性、无序性”的本质理解，正反实例结合，既有“能组成集合”的正向实例，也有 “不能组成集合” 的反向实例，通过对比辨析，帮助学生深刻理解“确定性”的核心地位，避免认知偏差。 探究三 元素和集合的关系 1.已知下面的两个实例： （1）用A表示未来高中高三(9)班全体学生组成的集合. （2）用a表示未来高中高三(9)班的一位同学，b表示高三(10)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 设计意图：通过班级学生组成集合的实例，将抽象的 “元素与集合关系” 转化为学生熟悉的生活场景，降低理解难度，激发学生的探究兴趣，让学生直观感知 “元素是否属于集合” 的判断标准。 2.元素与集合的“属于”关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A； 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. 学生：认真倾听概念与数集讲解，记录关键符号与数集记法，跟随教师举例快速判断元素与数集的关系，主动提出疑问（如 “N 与 N * 的区别是什么？”） 3.常用数集及其记法： 非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 练习2. 用符号“∈”或“∉”填空. (1)4 _____N； (2)_____Q； (3)0_____{0}； (4)b _____{a,b,c}. 【答案】(1) ∈ (2) ∉ （3）∈ （4）∈ 教师：针对易错点（如Π与Q的关系、0与{0}的关系）进行强调与纠正。 设计意图：通过针对性练习，检验学生对概念与数集的掌握情况，聚焦易混淆点（如实数与有理数的区别、元素与单元素集合的关系），强化学生对知识的理解与应用能力，同时培养学生规范表达的习惯。 探究四 集合的表示方法 1.列举法 思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 学生：可以这样表示{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. 思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？ 学生：{-1,-2} 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； ⑵ 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。 思考3：a与{a}有什么区别？ 师生共同总结：a是一个元素，{a}是集合。 设计意图：从学生熟悉的具体实例（四大洋、方程的根）切入，通过归纳概念、强调格式规范、辨析元素与集合的差异，让学生逐步理解列举法的核心逻辑与使用要求，实现从直观感知到抽象概念的过渡。 2.描述法 思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ 提示：不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于10.（2） 集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ 学生：先独立思考，尝试写出集合，然后分组讨论，探究正确答案。 师生共同总结，学生做笔记： 奇数集合： 或 偶数集合： 有理数集合： 教师：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？ 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x组成的集合表示为 ｛x∈A｜P（x）｝，这种表示集合的方法称为描述法． 注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是等腰梯形},也可以写成{等腰梯形}. 设计意图：以列举法的局限性为切入点，引导学生聚焦元素的共同特征，通过独立思考、分组讨论与师生总结，让学生掌握描述法的表示形式、简写规则及应用场景，培养抽象概括与合作探究能力。 三、例题讲解 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合. （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}. 注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}； ② 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 设计意图：通过具体例题的求解与注意事项补充，让学生巩固列举法的实际应用，同时明确 “集合元素与列举顺序无关” 和 “有序列举更清晰” 的核心要点，提升规范使用列举法的能力。 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0， 因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}. (2) 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20, 因此，用描述法表示为 B={x∈Z∣10<x<20}. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19， 因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 设计意图：通过同一集合的两种表示方法对比，让学生直观感受列举法与描述法的内在联系，掌握两种方法的适用场景与转换逻辑，同时巩固各自的表示规范，提升灵活运用集合表示方法的能力。 追问：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？ 自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法. 设计意图：通过追问引导学生归纳自然语言、列举法、描述法的特点与适用对象，帮助学生建立“根据集合元素特征选择合适表示方法”的思维逻辑，形成对集合表示体系的完整认知。 4、 课堂小结 1.集合的概念； 2.集合元素的三个特征； 3.常见数集的专用符号； 4.集合的表示方法。 设计意图：通过系统总结，帮助学生深化对集合与元素含义及性质的理解，巩固集合的多种表示方法，提升数学语言间的转换能力与抽象概括能力，进而树立运用集合语言描述数学对象的主动意识。 五、课后作业 1. 教科书P5练习第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $