专题05 点、直线与圆的位置关系（专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题05 点、直线与圆的位置关系（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断点与圆的位置关系 1 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 2 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 3 题型四、判断直线与圆的位置关系 4 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 5 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 5 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 6 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 7 题型九、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 9 题型十、圆与圆的位置关系（选做） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断点与圆的位置关系 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 8．（上海市世外中学2024—2025学年下学期第一次月考九年级数学试题）如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是 ． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 10．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 12．（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 题型四、判断直线与圆的位置关系 15．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 17．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 18．（21-22九年级下·上海·自主招生）在平面直角坐标系中有两点，，若C是坐标轴上的一点，且是直角三角形，则满足条件的点C的个数为 个． 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 19．（北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 20．（2.1（1）直线与圆的位置关系（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版））在中，，若以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离，则的取值范围为 ； 21．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 23．（2022九年级·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 24．（2021·江苏无锡·一模）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 26．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 27．（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 28．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． (1)在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使为的切线并证明； (2)若为的切线，直径，，求的长． 29．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 30．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 31．（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 32．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 33．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 34．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 题型九、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 35．（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 37．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 38．（23-24九年级下·浙江·自主招生）直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 题型十、圆与圆的位置关系（选做） 39．（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 40．（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 41．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 42．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 43．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，对图形M和图形N，点P是图形M上一点，点Q为图形N上任意一点，若存在一点Q使得P，Q两点之间距离有最小值，记为d．当点P在图形M上运动时，d也随之变化，在变化过程中，若d存在最小值和最大值，分别记为和，则定义图形M和图形N的距离为．已知点，点，的半径为1． (1)［，点A］ ；［，线段］ ； (2)若的半径为r，与没有公共点，若［，］，则r的取值范围是 ； (3)已知点E在上，过点E作x轴的垂线交直线于点F，直接写出［线段，x轴］的取值范围． 44．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 46．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形中， 分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 48．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 49．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 50．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 51．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 52．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点、直线与圆的位置关系（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断点与圆的位置关系 1 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 4 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 6 题型四、判断直线与圆的位置关系 12 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 16 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 18 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 22 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 30 题型九、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 35 题型十、圆与圆的位置关系（选做） 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断点与圆的位置关系 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故选：． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【分析】本题考查判断点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意先计算出斜边，继而得出，再根据等积法求出，再利用勾股定理求出，再逐一对选项进行分析继而得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在内 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： 解得 点到圆心的距离 的半径是， 在内 故答案为：在内 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【答案】(1)点A在内； (2)点A在外； (3)点A在上． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； 【详解】（1）解：连接，如图： ∵在中，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在内； （2）解：∵在中，，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在外； （3）解：∵在中，，，点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在上． 题型二、利用点与圆的位置关系求半径（常考点） 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 8．（上海市世外中学2024—2025学年下学期第一次月考九年级数学试题）如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，解题关键是求出、的长，再确定圆P的半径r的取值范围即可． 【详解】解：∵矩形中，，，P是边的中点， ∴， ∴， 点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是， 故答案为：． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 题型三、点与圆上一点的最值问题（难点） 10．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 11．（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 12．（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的判定，勾股定理，得到点P的运动轨迹是解题的关键． 在上取点Q，使得，可得，从而证得，得到，因此点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动．连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时，根据勾股定理求出，进而即可解答． 【详解】解：在上取点Q，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：D 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 14．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的性质，圆与直线，中位线的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，圆与直线的关系是关键． 根据题意得到，如图所示，连接，，当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，由勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴令，则， 解得，， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大， ∵，，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴， 故选：B ． 题型四、判断直线与圆的位置关系 15．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键． 根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个． 【详解】解：∵，即， ∴三角形为直角三角形， 设内切圆半径为，则， 解得， ∴应分为五种情况： 当一条边与圆相离时，有0个交点， 当一条边与圆相切时，有1个交点， 当一条边与圆相交时，有2个交点， 当圆与三角形内切圆时，有3个交点， 当两条边与圆同时相交时，有4个交点， ∴公共点个数可能为0、1、2、3、4个， 故选：A． 16．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 17．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解： 的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 18．（21-22九年级下·上海·自主招生）在平面直角坐标系中有两点，，若C是坐标轴上的一点，且是直角三角形，则满足条件的点C的个数为 个． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形定义，直线与圆的位置关系，若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点是解题和关键． 因为A，B的纵坐标相等，所以轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径作圆，圆与坐标轴的公共点也是满足条件的点． 【详解】解：如图： ∵，，A，B的纵坐标相等， ∴，． ∵C是坐标轴上的一点， ∴过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点， ∵以为直径作圆，根据直径所对的圆周角是90°，可知与坐标轴的公共点是满足条件的点； 由图可知，与y坐标轴有两个交点． 又∵的半径为，点， ∴与x轴相切，与x坐标轴有一个公共点． 故答案为：5． 题型五、利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围（常考点） 19．（北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当线段的两个端点、在上，连接，作于点，由，，得，则，因为与线段有两个交点，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出线段的两个端点、在上时，点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：如图，线段的两个端点、在上，连接，作于点，     的半径为3，， ，， ， ， 与线段有两个交点，点到直线的距离， ， 故答案为：． 20．（2.1（1）直线与圆的位置关系（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版））在中，，若以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离，则的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断． 【详解】解：如图，作于． 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离， ∴的取值范围为， 故答案为：． 21．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 22．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 题型六、直线与圆上一点的最值问题（难点） 23．（2022九年级·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点为直线上任意一点， 如下图，    直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点， 由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：＝， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键． 24．（2021·江苏无锡·一模）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值． 【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 设，，则， ∵，， ∴，， 解得：， ∵的半径为1， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质． 25．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 26．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 题型七、切线的判定与性质定理综合（常考点） 27．（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 28．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． (1)在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使为的切线并证明； (2)若为的切线，直径，，求的长． 【答案】(1)添加，理由见详解 (2) 【分析】（1）添加，可使为的切线．连接，根据直角三角形性质及可得出，则，再根据得，然后根据切线的判定可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，，再证，进而可得，则可得，再证，则，求得，进而可得． 【详解】（1）解：添加，可使为的切线，理由如下： 连接， ∵中，，为斜边中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：∵中，，为斜边中线，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键．遇切线，连半径是常用的作辅助线方法． 29．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 30．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型八、应用切线长定理求解（常考点） 31．（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，或，． 【分析】（1）根据切线长定理得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，证明结论； （2）过点作，垂足为，根据勾股定理列式计算，得到答案； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据函数关系式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：、是的两条切线， ， 同理可得，， 为的直径，和是的两条切线， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 则四边形为矩形， ，， 切、、于、、， ，， ，， 在中，，即， ， ． （3）解：、是方程的两个根， ，即， 整理得，， 解得，，， 则，， ，或，． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、矩形的性质、求函数关系式、一元二次方程根与系数的关系，掌握切线长定理、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 32．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 33．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 34．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型九、三角形外接圆与内切圆综合（重点） 35．（24-25九年级下·江西·期末）如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 【答案】的外接圆与的外接圆的大小相等．理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心、内心、垂心的性质.关键是根据题意找出四点共圆，五点共圆，判断三角形共圆，利用“传递”的方法证明本题结论． 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、，可以得到的外接圆与的外接圆是同一个圆；再证明的外接圆与的外接圆是同一个圆，的外接圆与 的外接圆相等，解答即可． 【详解】解：的外接圆与的外接圆的大小相等．理由： 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、， 由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，，，， ∴、、、、五点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； 根据轴对称可知，， ∴、、、四点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； ∵，，， ∴， ∴的外接圆与'的外接圆相等； 即的外接圆与的外接圆相等． 36．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 37．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证： ，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 38．（23-24九年级下·浙江·自主招生）直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，，可得的最小值为的长，当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质可得，设，则，可得，在中，，可求出x的值，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，， ∴， ∴的最小值为的长， 当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 题型十、圆与圆的位置关系（选做） 39．（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 【答案】C 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据外离或内含是两个圆没有公共点，由此即可得解，熟练掌握圆与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：若两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是外离或内含， 故选：C ． 40．（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，两圆的位置关系，掌握这些知识是关键； 连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为三角形高与1的和． 【详解】解：连接三个圆心，如图， ∴是等边三角形，且， ∴它一边上的高是：， ∴雕塑的最高点到地面的距离为：． 故选：A． 41．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 42．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 43．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，对图形M和图形N，点P是图形M上一点，点Q为图形N上任意一点，若存在一点Q使得P，Q两点之间距离有最小值，记为d．当点P在图形M上运动时，d也随之变化，在变化过程中，若d存在最小值和最大值，分别记为和，则定义图形M和图形N的距离为．已知点，点，的半径为1． (1)［，点A］ ；［，线段］ ； (2)若的半径为r，与没有公共点，若［，］，则r的取值范围是 ； (3)已知点E在上，过点E作x轴的垂线交直线于点F，直接写出［线段，x轴］的取值范围． 【答案】(1)4； (2) (3)［线段，x轴］ 【分析】（1）过点O作于点E，交于点F，根据新定义可得，，，从而得到［，点A］，再由，可得，从而得到点E到的最小距离以及最大距离，即可求解； （2）根据题意可得与相离或内含，然后分两种情况解答即可； （3）设交x轴于点C，设交x轴于点G，H，根据新定义可得，，从而得到［线段，x轴］，过点D作于点W，交于点V，由（1）得：最小值为，最大值为，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于点E，交于点F， ∵点，的半径为1． ∴，，， ∴［，点A］； ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E到的最小距离为，最大距离为， ∴［，线段］； 故答案为：4；； （2）解：∵与没有公共点， ∴与相离或内含； 如图2—1，当与相离时， 此时，， ∵的半径为r，的半径为1，［，］， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2—2，当与内含时， 此时，， ∵的半径为r，的半径为1，［，］， ∴， ∴， 综上所述，r的取值范围为； （3）解：如图，设交x轴于点C，设交x轴于点G，H， ∵轴，即， ∴，轴， ∴，， ∴［线段，x轴］， 过点D作于点W，交于点V， 由（1）得：最小值为，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴［线段，x轴］． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆上的点到直线的距离，解直角三角形．理解新定义是解题的关键． 44．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 45．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 46．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 47．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形中， 分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 48．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 49．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 50．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 51．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 52．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）（2）可以，画图见解析，的半径为 【分析】（1）首先根据勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，过点作于，于，于，连接，过点作于，设，的半径为，则，利用勾股定理解得，易得，再求得，然后根据求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：； （2）可以， ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是的内心， 作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，过点作于，如图所示， 设，的半径为， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点为的内心 ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 即的半径为． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $