精品解析：北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷

通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C D. 4. 已知角终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A B. C. D. 8. 设函数，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 设集合，则（ ） A. 对任意实数a， B. 对任意实数a， C. 当且仅当时， D. 当且仅当时， 10. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________. 13. 已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________. 14. 设函数 ①若，则函数的零点个数有________个. ②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________. 15. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①，； ②数列为单调递减数列； ③，使得； ④，均有. 其中正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期及的值； （2）直线与函数，图象分别交于，两点，求的最大值. 17. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 18. 已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和． 19. 设函数，若函数在处取得极小值8. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）证明：曲线是中心对称图形. 20. 已知函数. （1）当时，求函数单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同交点，求实数a的取值范围. 21. 已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为. （1）写出数列的前6项； （2）试判断与是否为数列中的项，并说明理由； （3）证明：数列与数列的公共项有无数多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 故选：D. 2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可. 【详解】因为，所以， 故复数在复平面内对应的点的坐标是，故C正确. 故选：C 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】选项A和D，对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和D的正误，选项B和C，根据常见函数的单调性即可求解. 【详解】对于选项A，由，得恒成立，则在上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B，因为在上单调递减，所以选项B错误， 对于选项C，因为在上单调递减，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增，故选项D错误， 故选：A. 4 已知角终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值. 【详解】根据三角函数定义得，故， 则． 故选：A 5. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的性质得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】因为，，得到， 又，， 由正弦定理得，所以， 故选：D. 7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 故选：C． 8. 设函数，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用的性质，得到和，从而得到，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，得到① 又，则，得到②， 由①②得到，，即，又，所以的最小值为， 故选：B. 9. 设集合，则（ ） A. 对任意实数a， B. 对任意实数a， C. 当且仅当时， D. 当且仅当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 10. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值. 【详解】如图： 取中点，则，， ， ∵三点共线，∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号； 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 所以，则且， 故的定义域是. 故答案为：. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，且，再利用数积的定义及运算律，即可求解. 【详解】由图知，，且， 所以， 故答案为：. 13. 已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可. 【详解】设公差为，因为，所以，解得， 所以，， 故直线斜率为. 故答案：2 14. 设函数 ①若，则函数的零点个数有________个. ②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①，由来求得零点的个数. ②，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】①，当时，， 由解得； 由，解得或 综上所述，的零点个数有个. ②，当时，在区间上单调递增， 值域为，无最值. 当时，， 开口向上，对称轴为，， 当时，， 则，①， 的开口向上，对称轴为， ，则①不成立. 当时，， 则，解得. 综上所述，. 故答案为：； 15. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①，； ②数列为单调递减数列； ③，使得； ④，均有. 其中正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据以及即可得，进而得，即可判断①②③，利用，利用累加法求和即可判断④. 【详解】由，， 进而可得，结合，以此类推可得， 故，故，故①②正确，③错误， 由可得，故 由于，故，进而可得，故， 因此， 累加，故， 当时，，故，故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：，利用累加法求和. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期及的值； （2）直线与函数，的图象分别交于，两点，求的最大值. 【答案】（1）最小正周期为，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数，求解的最小正周期和函数值即可； （2）根据题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为，； 【小问2详解】 由题意可知，，两点的坐标为，， 则 ， 因为，所以， 所以，则， 所以在时的最大值为. 17. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可. （2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可. 【小问1详解】 由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 由变形得，由正弦定理得. 【小问2详解】 选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得，由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 所以. 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 由余弦定理得，化简得. 解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 18. 已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系， 判断出数列的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解； （2）利用分组求和法及公式法进行求和即可． 【小问1详解】 解：因为，，① 所以有，．② ②①得． 所以数列成以为首项，以为公比的等比数列． 所以． 又数列等差数列，且，． 所以，． 所以． 【小问2详解】 因为 设数列的前项和为， 所以 ． 19. 设函数，若函数在处取得极小值8. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）证明：曲线是中心对称图形. 【答案】（1），. （2），最小值为8，，最大值为24. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值点及极值可求的值； （2）根据导数可得单调性，从而可求何时取何最值； （3）可证曲线上任意点关于的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性. 【小问1详解】 ， 由题意函数在处取得极小值8得， 解得，. 此时， 当或时，，当时，， 故为的极小值点，故，满足条件. 【小问2详解】 由（1）分析列表得： x 0 2 3 - 0 + 24 单调递减 8 单调递增 15 所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24. 【小问3详解】 曲线的对称中心为，证明如下： 设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)的对称点为， 因为在图象上， 所以. 又. 所以点也在的图象上. 所以曲线是中心对称图形. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可； （2）将，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可； （3）将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，的定义域为. ， 令，解得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，，. 设曲线的切点为， 则切线方程为， 假设切线过原点，则有， 整理得：. 令，则. 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，， 所以方程无解. 综上可知，曲线在点的切线不过原点. 【小问3详解】 曲线与直线在区间上有两个不同的交点， 等价于在区间上有两个不同的解， 即，在区间上有两个不同的解， 设，则， 令，解得， 又因为，所以， 当，，所以单调递增； 当，，所以单调递减； 所以， 当时，， 当时，， 要使在区间上有两个不同的解， 只需使即可. 所以实数a的取值范围是. 21. 已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为. （1）写出数列的前6项； （2）试判断与是否为数列中的项，并说明理由； （3）证明：数列与数列的公共项有无数多个. 【答案】（1），，，，，. （2）是数列中的项，不是数列中的项，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的通项公式求得正确答案. （2）根据数列、的通项公式以及单调性进行判断. （3）首先假设存在有限个正整数使得数列中的某些项满足条件，然后通过反正法证明了这一假设不成立，因此得出数列与的公共项有无数多个. 【小问1详解】 依题意，数列的通项公式为， 所以，，，，，. 【小问2详解】 是数列中的项，不是数列中的项. ； 下面证明不是数列中的项 因为， 所以数列不单调递减， ，， 所以不是数列中的项. 【小问3详解】 先证明存在无穷多个正整数k使得，（其中表示x的小数部分） 假设只有有限个正整数k使得， 不妨设是使成立的最大正整数， 则有 即①. 因为是正的常数，故当m足够大时，有，与①矛盾. 所以存在无穷多个正整数k使得. 对于每个满足的正整数k，令， 则有 所以有. 即. 从而. 所以数列与数列的公共项有无数多个. 【点睛】思路点睛：通过通项公式计算数列项值：利用通项公式直接代入求解数列的前几项，从而得到数列的具体表现形式，这一步奠定了解题的基础. 分类讨论和特性判断：对于判断某数是否为数列的项，先利用数列的性质进行分类讨论，再结合特性得出结论. 利用反正法进行推理：通过假设公共项数量有限，最终推导出与题意矛盾，从而得出公共项无穷多个的结论,这是一种巧妙的逻辑推理方式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $