专题5.5 解一元一次方程—去分母（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题5.5 解一元一次方程——去分母 教学目标 1. 掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程。 2. 掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1）解一元一次方程的基本步骤； （2）列一元一次解行程问题。 2. 难点 （1）解一元一次方程中的同解方程，错解方程以及方程的特殊解等问题； （2）列一元一次方程解行程问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边 同时乘上各分母的 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。 【即学即练1】 1．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2（3x﹣1）＝1﹣3（x+3） B．3（3x﹣1）＝1﹣2（x+3） C．2（3x﹣1）＝6﹣3（x+3） D．3（3x﹣1）＝6﹣2（x+3） 【即学即练2】 2．某同学解方程1的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题： 4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），① 8x﹣4＝1﹣3x+6，② 8x+3x＝1+6+4，③ 11x＝11，④ x＝1，⑤ （1）以上步骤中，第 　 　 步是移项，移项的依据是 　 　 ； （2）该同学的解答过程从第 　 　 步开始出错，这一步的错误原因是 　 　 ； （3）写出正确的解答过程． 【即学即练3】 3．解方程． （1）； （2）． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边 同时乘以各分母的 。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的 ，常数项移到等号的 。注意移动过的项一定要 。 ③合并：按照合并 的方法进行合并。 ④系数化为1：方程的左右两边同时 系数或乘上 。 【即学即练1】 4．解方程：（1）1； （2）2． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 若路程为s，时间为t，速度为v。则： s＝ ；t＝ ；v＝ 。 2. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 3. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 。 4. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 。 5. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练1】 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【即学即练2】 7．甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是5m/s，乙跑步的速度是3m/s．若两人相距100m，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（　　） A．120s B．130s C．140s D．150s 【即学即练3】 8．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 题型01 解一元一次方程 【典例1】解方程：（1） （2）． 【变式1】解方程（1）0.48x﹣6＝﹣0.02x （2）（x+1）﹣2（x﹣1）＝1﹣3x （3） （4）2x1． 【变式2】解下列方程． （1）2（x﹣3）﹣3（x﹣5）＝7（x﹣1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】解下列方程： （1） （2） （3） （4）． 题型02 方程中的同解方程 【典例1】若方程3（x﹣1）＝2（x+1）的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解相同，则k的值为（　　） A． B． C．﹣1 D． 【变式1】已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解，则的值为 　 　 ． 【变式2】已知关于x的方程（1﹣x）＝1﹣k的解与1的解相同，求k的值． 题型03 错解方程问题 【典例1】小李在解关于x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 【变式1】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x，则该同学把m看成了（　　） A．3 B． C．8 D．﹣8 【变式2】小明在解关于x的方程去分母时，方程右边的﹣1忘记乘以6，算得方程的解为x＝﹣5，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．0 【变式3】小明解关于x的方程，去分母时，方程右边的﹣3忘记乘以6，因而得到x＝2，则方程的正确的解为 　 ． 题型04 方程的特殊解 【典例1】关于x的方程2x+5＝kx的解是整数，则整数k的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（　　） A．8 B．﹣8 C．48 D．﹣48 【变式2】若关于x的一元一次方程2kx＝3x﹣（8﹣x）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值（　　） A．1 B．1或﹣2 C．0或﹣2 D．0或1或﹣2 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则符合条件的所有a的值的和为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 题型05 解一元一次方程中新定义题型 【典例1】定义运算“*”，其规则为，则方程3*x＝7的解为（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5 【变式1】新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．若2△（2△x）＝﹣35，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 【变式2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成．定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8，则x的值为（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【变式3】规定：对于任意有理数a与b，满足a*b，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝15，则x的值为（　　） A．24或4 B．6或24 C．4 D．6 题型06 列一元一次方程解行程问题 【典例1】一列火车正在匀速行驶，它先用20秒的时间通过了一条长为160米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用15秒的时间通过了一条长为80米的隧道，求这列火车的长度．设这列火车的长度为x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发． （1）小轿车出发多长时间后追上货车？ （2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？ 【变式2】列方程解应用题：甲乙两车分别从相距210km的A、B两地相向而行． （1）两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2h出发，则甲车出发后3h两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． （2）若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距30km． 【变式3】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度是　 米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 　 　 米，这段时间内火车的平均速度是 米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 　 　 ． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 1．下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 2．关于x的方程4x+8＝0与4x+3k＝2的解互为相反数，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 3．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米． A．120 B．140 C．160 D．180 5．若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝﹣3 B．y＝﹣4 C．y＝﹣5 D．y＝﹣6 6．若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次二项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2 7．小李解方程1，在去分母时，方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x＝﹣2，则方程正确的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 8．我们规定（其中c≠0，d≠0），例如，若，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 10．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 11．式子的值比的值大1，则x的值是 　 ． 12．若关于x的方程x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 　 ． 13．对于任意两个有理数a，b，规定a⊗b＝3a﹣b，若（2x+3）⊗（3x﹣1）＝4，则x的值为 　 　 ． 14．小明和小亮分别同时从同一直线上的A、B两地出发，相向而行．小明每分钟走80米，小亮的速度是小明的，两人出发5分钟后相距50米，则A、B两地之间的距离是　 　 米． 15．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论： ①这列火车长160米． ②这列火车的行驶速度为每秒16米． ③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒． ④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 16．小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） 3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝1（第二步） 9x﹣3﹣10x+6＝1（第三步） ﹣x＝﹣2（第四步） x＝2（第五步） 小红： 3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝12（第一步） 9x﹣3﹣10x﹣6＝12（第二步） ﹣x＝12+3+6（第三步） ﹣x＝21（第四步） x＝﹣21（第五步） （1）小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第　 　 步、小红出错的步骤是第　 　 步； （2）写出正确的解答过程． 17．嘉淇解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1． （1）试求a的值； （2）求原方程的解． 18．雨天汽车容易打滑．在一段300km的国道上，甲、乙两车同时从A、B地相向而行，甲车因汽车打滑检查，停车检查了2.5小时后，乙车与甲车相遇，此时，乙车比甲车多行驶60km． （1）求甲、乙两车分别行驶了多少千米？ （2）相遇后，甲车修理完毕，之后按乙车的2.25倍速度行驶，在乙车到达A地前的1小时到达B地，求甲车相遇前的速度． 19．以下是两张不同类型火车（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁列车）的车票（部分）： （1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁列车是 　 　 （选填“相”或“同”）向而行；该列动车比高铁列车发车 　 　 （选填“早”或“晚”）． （2）已知该列动车和高铁列车的平均速度分别为160km/h，320km/h，两列火车的长度不计，如果两列火车都直达终点（即中途不停靠任何站点），高铁列车比动车早到30min，求A，B两地之间的距离． 20．如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或n﹣m（m＜n）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的数为　 　 ，点B表示的数为　 　 ，点C表示的数为　 　 ． （2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝ 　 ，PC＝　 　 ． （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动．在点Q向点C运动过程中，能否追上点P？若能，请求出点Q运动几秒追上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 解一元一次方程——去分母 教学目标 1. 掌握解一元一次方程去分母的基本方法，再结合去括号、移项、合并同类项以及系数化为1解一元一次方程。 2. 掌握解一元一次方程的基本步骤，并能够在解一元一次方程时熟练应用。 3. 掌握行程问题中的基本量与基本等量关系以及行程问题的类型，并能够在题目中熟练应用并解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1）解一元一次方程的基本步骤； （2）列一元一次解行程问题。 2. 难点 （1）解一元一次方程中的同解方程，错解方程以及方程的特殊解等问题； （2）列一元一次方程解行程问题。 知识点01 解一元一次方程——去分母 1. 去分母方法： 在方程左右两边 每一项 同时乘上各分母的 最小公倍数 ，将分母去掉，这一过程叫做去分母。 去了分母之后再按照去括号、移项、合并以及系数化为1进行解一元一次方程。 【即学即练1】 1．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2（3x﹣1）＝1﹣3（x+3） B．3（3x﹣1）＝1﹣2（x+3） C．2（3x﹣1）＝6﹣3（x+3） D．3（3x﹣1）＝6﹣2（x+3） 【答案】D 【解答】解：原方程两边同乘以6得，3（3x﹣1）＝6﹣2（x+3）， 故选：D． 【即学即练2】 2．某同学解方程1的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题： 4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），① 8x﹣4＝1﹣3x+6，② 8x+3x＝1+6+4，③ 11x＝11，④ x＝1，⑤ （1）以上步骤中，第 　③　 步是移项，移项的依据是 　等式的基本性质　 ； （2）该同学的解答过程从第 　①　 步开始出错，这一步的错误原因是 　去分母时，1漏乘了12　 ； （3）写出正确的解答过程． 【答案】（1）③，等式的基本性质； （2）①，去分母时，1漏乘了12； （3）正确的解答过程见解答． 【解答】解：（1）以上步骤中，第③步是移项，移项的依据是等式的基本性质， 故答案为：③，等式的基本性质； （2）该同学的解答过程从第①步开始出错，这一步的错误原因是去分母时，1漏乘了12， 故答案为：①，去分母时，1漏乘了12； （3）正确的解答过程如下： 1， 4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2）， 8x﹣4＝12﹣3x﹣6， 8x+3x＝12﹣6+4， 11x＝10， x． 【即学即练3】 3．解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以6去分母得3（x+3）＝6x+x﹣1， 去括号得3x+9＝6x+x﹣1， 移项得3x﹣6x﹣x＝﹣1﹣9， 合并同类项得﹣4x＝﹣10， 系数化为1得． （2）方程两边同时乘以8去分母得2（2y﹣1）＝8﹣（3﹣y）， 去括号得4y﹣2＝8﹣3+y， 移项得4y﹣y＝8﹣3+2， 合并同类项得3y＝7， 系数化为1得． 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：方程左右两边 每一项 同时乘以各分母的 最小公倍数 。 ②去括号：用括号前的数（包含符号）乘以括号内的每一项。当括号前是负数时，一定要改变每一项的符号。 ③移项：把含有未知数的项移到等号的 左边 ，常数项移到等号的 右边 。注意移动过的项一定要 改变符号 。 ③合并：按照合并 同类项 的方法进行合并。 ④系数化为1：方程的左右两边同时 除以 系数或乘上 系数的倒数 。 【即学即练1】 4．解方程：（1）1；（2）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去分母得：10（3x+2）﹣20＝5（2x+1）﹣4（2x+1）， 去括号得：30x+20﹣20＝10x+5﹣8x﹣4， 移项得：30x﹣10x+8x＝5﹣4， 合并得：28x＝1， 系数化为1得：x． （2）2， 2（x+1）﹣（x﹣2）＝12﹣3x， 2x+2﹣x+2＝12﹣3x， 2x﹣x+3x＝12﹣2﹣2， 4x＝8， x＝2． 知识点03 列方程解决行程问题 1. 行程问题中的基本量的等量关系： 若路程为s，时间为t，速度为v。则： s＝ vt ；t＝ ；v＝ 。 2. 行程问题之相遇问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同地不同时同向而行相遇。，乙先出发。如图： 等量关系 路程： ；时间： 。 3. 行程问题之相距问题： ①甲、乙同时出发相向而行相遇前相距。如图 等量关系 时间： ；路程： 。 ②甲、乙同时出发相向而行相遇后相距。如图： 等量关系： 时间： ；路程： 。 ③甲、乙先后同地出发同向而行相遇前相距。 等量关系： 时间： ；路程： 。 ④甲、乙向后同地出发同向而行相遇后相距。如图：（慢的先出发） 等量关系： 时间： ；路程： 4. 火车过桥进洞问题： 车头进到火车车尾出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）＋火车长 。 车尾进到货车车头出：如图： 行驶路程＝ 桥长（洞长）－火车长 。 5. 火车追及错车与相遇错车问题： ①追及错车问题：如图： 等量关系： 快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝两车车长之和。 ②相遇错车问题：如图： 两车行驶的路程之和＝两车车长之和。 【即学即练1】 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【答案】C 【解答】解：由题意得240x＝150（x+12）． 故选：C． 【即学即练2】 7．甲、乙两人在400m长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是5m/s，乙跑步的速度是3m/s．若两人相距100m，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（　　） A．120s B．130s C．140s D．150s 【答案】D 【解答】解：设两人第一次相遇需要的时间是xs， 由题意得：5x﹣3x＝400﹣100， 解得x＝150， 所以两人第一次相遇需要的时间是150s， 故选：D． 【即学即练3】 8．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】A、B两站相距558千米． 【解答】解：设快车速度为5xkm/h，相遇时快车走了t小时， 相遇时快车走的总路程为5xtkm；相遇时慢车走的总路程为（4xt+27）km， 由题意得：5xt﹣32＝4xt+27 解得：xt＝59， ∴总路程为相遇时快车与B站的距离加上慢车与A站的距离， 即（5xt）+（4xt+27）＝9×59+27＝558（km）， 答：A、B两站相距558千米． 题型01 解一元一次方程 【典例1】解方程：（1） （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去分母得：12﹣x﹣5＝6x， 移项、合并得：7x＝7， 系数化为1得：x＝1； （2）去分母得：10y﹣5y+5＝20﹣2y﹣4， 移项、合并得：7y＝11， 系数化为1得：y． 【变式1】解方程（1）0.48x﹣6＝﹣0.02x （2）（x+1）﹣2（x﹣1）＝1﹣3x （3） （4）2x1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）移项得：0.5x＝6， 系数化为1得：x＝12； （2）去括号得：x+1﹣2x+2＝1﹣3x， 移项合并得：2x＝﹣2， 系数化为1得：x＝﹣1； （3）移项合并得：11， 系数化为1得：x＝﹣22； （4）去分母得：12x﹣2+2x＝x+12， 移项合并得：13x＝14， 系数化为1得：x． 【变式2】解下列方程． （1）2（x﹣3）﹣3（x﹣5）＝7（x﹣1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去括号，得2x﹣6﹣3x+15＝7x﹣7， 移项，得2x﹣3x﹣7x＝﹣7+6﹣15， 合并同类项，得﹣8x＝﹣16， 系数化为1，得x＝2； （2）去括号，得7x﹣20x+6＝8﹣4x+6， 移项，得7x﹣20x+4x＝8+6﹣6， 合并同类项，得﹣9x＝8， 系数化为1，得x； （3）去分母，得3x﹣（5x+12）＝6+2（2x﹣4）， 去括号，得3x﹣5x﹣12＝6+4x﹣8， 移项，得3x﹣5x﹣4x＝6﹣8+12． 合并同类项，得﹣6x＝10， 系数化为1，得x； （4）原方程可化为1， 去分母，得30x﹣7（17﹣20x）＝21， 去括号，得30x﹣119+140x＝21， 移项，得30x+140x＝21+119， 合并同类项，得170x＝140， 系数化为l，得x． 【变式3】解下列方程： （1） （2） （3） （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣3）﹣4（x﹣4）＝6， 去括号后得：3x﹣9﹣4x+16＝6， 移项合并得：﹣x＝﹣1， 解得：x＝1； （2）去分母得：3（x+1）﹣12＝2（2x﹣1）， 去括号得：3x+3﹣12＝4x﹣2， 移项合并得：﹣x＝7， 解得：x＝﹣7； （3）去分母得：x+3﹣4＝2x﹣6﹣8， 移项合并得：x＝13； （4）方程变形得：0.6， 去分母得：12x﹣3＝5+10x﹣9， 移项合并得：2x＝﹣1， 解得：x． 题型02 方程中的同解方程 【典例1】若方程3（x﹣1）＝2（x+1）的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解相同，则k的值为（　　） A． B． C．﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：对于方程3（x﹣1）＝2（x+1）， 去括号，得：3x﹣3＝2x+2， 移项，得：3x﹣2x＝2+3， 合并同类项，得：x＝5， ∵方程3（x﹣1）＝2（x+1）的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解相同， ∴方程6﹣2k＝2（x﹣1）的解为：x＝5， ∴6﹣2k＝2×（5﹣1）， 去括号，得：6﹣2k＝8， 移项，得：﹣2k＝8﹣6， 合并同类项，得：﹣2k＝2， 未知数k的系数化为1，得：k＝﹣1． 故选：C． 【变式1】已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解，则的值为 　19　 ． 【答案】19． 【解答】解：2（x﹣6）＝﹣16， 2x﹣12＝﹣16， 2x＝12﹣16， 2x＝﹣4， x＝﹣2， ∵方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解， ∴， 解得：a＝﹣4， ∴． 故答案为：19． 【变式2】已知关于x的方程（1﹣x）＝1﹣k的解与1的解相同，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵关于x的方程（1﹣x）＝1﹣k的解与1的解相同， ∴x＝2k﹣1， 把x＝2k﹣1代入1，得2k﹣1+2k＝7， 解得k＝2， ∴k的值为2． 题型03 错解方程问题 【典例1】小李在解关于x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 【答案】C 【解答】解：将x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13， 解得：a＝3， ∴原方程为5×3﹣x＝13， 解得：x＝2， ∴原方程的解为x＝2． 故选：C． 【变式1】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x，则该同学把m看成了（　　） A．3 B． C．8 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：把x代入方程得：1m+3， 解得：m＝8， 故选：C． 【变式2】小明在解关于x的方程去分母时，方程右边的﹣1忘记乘以6，算得方程的解为x＝﹣5，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．0 【答案】A 【解答】解：按照小明的方法解方程， 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x﹣a）﹣1， 去括号得：4x﹣2＝3x﹣3a﹣1， 移项、合并同类项得：x＝1﹣3a． ∵小明算得方程的解为x＝﹣5， ∴1﹣3a＝﹣5， 解得：a＝2． 故选：A． 【变式3】小明解关于x的方程，去分母时，方程右边的﹣3忘记乘以6，因而得到x＝2，则方程的正确的解为 x＝﹣13　 ． 【答案】x＝﹣13． 【解答】解：由题意，得4x﹣2＝3x+3a﹣3， 整理，得x＝3a﹣1， ∵x＝2， ∴3a﹣1＝2， 解得：a＝1， ∴， 去分母，得2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣18， 去括号，得4x﹣2＝3x+3﹣18， 移项、合并同类项，得x＝﹣13． 故答案为：x＝﹣13． 题型04 方程的特殊解 【典例1】关于x的方程2x+5＝kx的解是整数，则整数k的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：解方程2x+5＝kx可得， ∵x为整数， ∴k满足k﹣2＝±1或k﹣2＝±5， 解得k的值为3，1，7，﹣3共4个， 故选：D． 【变式1】已知关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，则负整数a的所有可能的取值的积为（　　） A．8 B．﹣8 C．48 D．﹣48 【答案】D 【解答】解：∵6x﹣（a+5）＝3+4x， ∴x． ∵关于x的方程6x﹣（a+5）＝3+4x有正整数解，且a为负整数， ∴a可以为﹣2，﹣4，﹣6， ∴负整数a的所有可能的取值的积为﹣2×（﹣4）×（﹣6）＝﹣48． 故选：D． 【变式2】若关于x的一元一次方程2kx＝3x﹣（8﹣x）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值（　　） A．1 B．1或﹣2 C．0或﹣2 D．0或1或﹣2 【答案】D 【解答】解：由条件可知（2k﹣4）x＝﹣8， ∴（k﹣2）x＝﹣4， 当k﹣2＝0时，方程无解， 当k﹣2≠0时，， ∵方程2kx＝3x﹣（8﹣x）有非负整数解， ∴k﹣2＝﹣1，﹣2，﹣4， ∴k＝1，0，﹣2； 故选：D． 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则符合条件的所有a的值的和为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 【答案】C 【解答】解：原方程去分母得6x﹣（3﹣ax）＝3（x+3）﹣6， 去括号得6x﹣3+ax＝3x+9﹣6， 移项、合并同类项得（3+a）x＝6， 系数化为1得， 由条件可知为正整数， 则a的值为﹣2或﹣1或0或3， ∴符合条件的所有a的值的和为﹣2+（﹣1）+0+3＝0， 故选：C． 题型05 解一元一次方程中新定义题型 【典例1】定义运算“*”，其规则为，则方程3*x＝7的解为（　　） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5 【答案】C 【解答】解；∵3*x＝7， ∴， 解得x＝5， 故选：C． 【变式1】新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．若2△（2△x）＝﹣35，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 【答案】B 【解答】解：由条件可知2△x＝2×2﹣3x＝4﹣3x， ∴2△（2△x）＝2△（4﹣3x）＝2×2﹣3×（4﹣3x）＝9x﹣8， ∴9x﹣8＝﹣35， ∴x＝﹣3． 故选：B． 【变式2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成．定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8，则x的值为（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8， x2+2x+1﹣1+2x﹣x2＝8， 4x＝8， x＝2． 故选：D． 【变式3】规定：对于任意有理数a与b，满足a*b，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝15，则x的值为（　　） A．24或4 B．6或24 C．4 D．6 【答案】D 【解答】解：若x*3＝15， 由新定义可得：①当x≥3时，3x﹣3＝15， 移项，合并同类项，得3x＝18， 解得：x＝6， ②当x＜3时，x﹣3×3＝15， 解得：x＝24（舍去）． 故选：D． 题型06 列一元一次方程解行程问题 【典例1】一列火车正在匀速行驶，它先用20秒的时间通过了一条长为160米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用15秒的时间通过了一条长为80米的隧道，求这列火车的长度．设这列火车的长度为x米，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设这列火车的长度为x米， 依题意，得：． 故选：B． 【变式1】一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发． （1）小轿车出发多长时间后追上货车？ （2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？ 【答案】（1）2小时； （2）1小时或3小时． 【解答】解：（1）设小轿车出发x小时后追上货车， ∴90x＝60（x+1）， ∴x＝2． 答：小轿车出发2小时后追上货车； （2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km， 分情况讨论如下： ①小轿车在追上货车之前，两车相距30km，则： 90t﹣60t＝60﹣30， ∴t＝1； ②小轿车在追上货车之后，两车相距30km，则： 90t﹣60t＝60+30， ∴t＝3， 答：1小时或3小时后相距30km． 【变式2】列方程解应用题：甲乙两车分别从相距210km的A、B两地相向而行． （1）两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2h出发，则甲车出发后3h两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． （2）若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距30km． 【答案】（1）甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； （2）经过2小时或小时两车相距30千米． 【解答】解：（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，甲乙两车分别从相距210km的A、B两地相向而行， 依题意得：3×2x+（3﹣2）x＝210， 解得：x＝30， ∴2×30＝60（千米/小时）， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； （2）设经过y小时两车相距30千米，依题意得： 60y+30y＝210﹣30或60y+30y＝210+30， 解得：y＝2或， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【变式3】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 x 米，这段时间内火车的平均速度是 　　 米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 　（x+400）　 米，这段时间内火车的平均速度是 　　 米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 　相等　 ． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 【答案】（1）x，； （2）（x+400），； （3）相等； （4）这列火车的长度是400米． 【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为x米， 这段时间内火车的平均速度米/秒， 故答案为：x，； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+400）米， 这段时间内火车的平均速度为米/秒， 故答案为：（x+400），； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等． 故答案为：相等； （4）根据题意得：， 解得：x＝400， 答：这列火车的长度是400米． 1．下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【答案】D 【解答】解：A．5x＝2x﹣3， 移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意； B．1， 去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意； C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1， 去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意； D．1， 1，故本选项符合题意； 故选：D． 2．关于x的方程4x+8＝0与4x+3k＝2的解互为相反数，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：4x+8＝0， 移项得，4x＝﹣8， 系数化为1得，x＝﹣2； 4x+3k＝2， 移项得，4x＝2﹣3k， 系数化为1得，， ∵解互为相反数， ∴， 移项得，， 去分母得，2﹣3k＝8， 移项，合并同类项得，﹣3k＝6， 系数化为1得，k＝﹣2， 故选：D． 3．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：根据题意得，2△3＝2×2﹣3＝1， ∵x△（2△3）＝3， ∴x△1＝3， ∴2x﹣1＝3， 移项、合并同类项，得2x＝4， 将系数化为1，得x＝2． 故选：A． 4．一列火车正在匀速行驶，它先用26s的时间通过了一条长256m隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16s的时间通过了一条长96m隧道，则这列火车长（　　）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】C 【解答】解：设这列火车的长度为xm， 依题意得：， 解得x＝160． 答：这列火车的长度为160m， 故选：C． 5．若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝﹣3 B．y＝﹣4 C．y＝﹣5 D．y＝﹣6 【答案】C 【解答】解：设y+2＝x， 则，变形为， ∴y+2＝x＝﹣3， 解得：y＝﹣5， 故选：C． 6．若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次二项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：， 解得：， ∵解是整数， ∴a+1＝1或a+1＝﹣1或a+1＝3或a+1＝﹣3， 解得：a＝0或a＝﹣2或a＝2或a＝﹣4， ∵多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次二项式， ∴， 解得：a＝±2， ∴满足条件的整数a的值为2或﹣2， ∴所有满足条件的整数a的值之积是﹣2×2＝﹣4． 故选：C． 7．小李解方程1，在去分母时，方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x＝﹣2，则方程正确的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 【答案】B 【解答】解：把x＝﹣2代入3（3x+5）﹣2（2x﹣m）＝1，得： 3×（﹣6+5）﹣2×（﹣4﹣m）＝1， ﹣3+8+2m＝1， 2m＝﹣4， m＝﹣2， 则原方程为， 去分母，得3（3x+5）﹣2（2x+2）＝6， 去括号，得9x+15﹣4x﹣4＝6， 移项，得9x﹣4x＝6+4﹣15， 合并同类项，得5x＝﹣5， 系数化为1，得x＝﹣1． 故选：B． 8．我们规定（其中c≠0，d≠0），例如，若，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：根据题意得， 2x+1+3（x﹣4）＝﹣6， 2x+1+3x﹣12＝﹣6， 2x+3x＝﹣6﹣1+12， 5x＝5， x＝1， 故选：A． 9．某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 【答案】B 【解答】解：设机场到灾区距离x千米． 依题意得：， 解得：x＝1800． 答：设机场到灾区距离1800千米． 故选：B． 10．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知6x＝k， ∴， 由条件可知x＝6﹣（﹣k）＝6+k， ∴， 解得． 故选：A． 11．式子的值比的值大1，则x的值是x＝0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：1， 去分母得：3x+6﹣4x+6＝12， 移项合并得：﹣x＝0， 解得：x＝0， 故答案为：x＝0 12．若关于x的方程x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 　31　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由x＝1得： ax+4﹣8x＝8． 解得：x． ∵解是正整数 ∴a﹣8的值可能为1，2，4， ∴a的值可能为9，10，12． ∴符合条件的所有整数a的和是：9+10+12＝31． 故答案为：31． 13．对于任意两个有理数a，b，规定a⊗b＝3a﹣b，若（2x+3）⊗（3x﹣1）＝4，则x的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：根据新定义可得，（2x+3）⊗（3x﹣1）＝3（2x+3）﹣（3x﹣1）， ∵（2x+3）⊗（3x﹣1）＝4， ∴3（2x+3）﹣（3x﹣1）＝4， 去括号，得6x+9﹣3x+1＝4， 移项、合并同类项，得3x＝﹣6， 将系数化为1，得x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．小明和小亮分别同时从同一直线上的A、B两地出发，相向而行．小明每分钟走80米，小亮的速度是小明的，两人出发5分钟后相距50米，则A、B两地之间的距离是　750或650　 米． 【答案】750或650． 【解答】解：设A、B两地相距x米， 分两种情况： ①两人相遇前相距50米， 根据题意得：， 解得：x＝750； ②两人相遇后相距50米， 根据题意得：， 解得：x＝650； 综上所述，A、B两地相距750米或650米． 故答案是：750或650． 15．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论： ①这列火车长160米． ②这列火车的行驶速度为每秒16米． ③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒． ④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解答】解：①设这列火车的长度为x米， 依题意得：， 解得：x＝160， 即这列火车长度为160米，故①正确； ②这列火车的行驶速度为：（160+96）÷16＝16（米/秒），故②正确； ③这列火车通过长160米的隧道丙需用时：（160+160）÷16＝20（秒），故③错误； ④（160+256）÷16＝26（秒），（160+256）÷（16×2）＝13（秒）， 即若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半，故④正确； 故答案为：①②④． 16．小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） 3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝1（第二步） 9x﹣3﹣10x+6＝1（第三步） ﹣x＝﹣2（第四步） x＝2（第五步） 小红： 3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝12（第一步） 9x﹣3﹣10x﹣6＝12（第二步） ﹣x＝12+3+6（第三步） ﹣x＝21（第四步） x＝﹣21（第五步） （1）小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第　一　 步、小红出错的步骤是第　二　 步； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）一，二； （2）x＝﹣9． 【解答】解：（1）小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12； 小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误． 故答案为：一，二； （2）， 3（3x﹣1）﹣2（5x﹣3）＝12， 9x﹣3﹣10x+6＝12， 9x﹣10x＝12+3﹣6， ﹣x＝9， x＝﹣9． 17．嘉淇解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1． （1）试求a的值； （2）求原方程的解． 【答案】（1）a＝﹣2． （2）x＝8． 【解答】解：（1）按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a）， 把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a， 解得：a＝﹣2． （2）把a＝﹣2代入原方程，得， 去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2）， 去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10， 移项合并得：﹣x＝﹣8， 解得：x＝8． 18．雨天汽车容易打滑．在一段300km的国道上，甲、乙两车同时从A、B地相向而行，甲车因汽车打滑检查，停车检查了2.5小时后，乙车与甲车相遇，此时，乙车比甲车多行驶60km． （1）求甲、乙两车分别行驶了多少千米？ （2）相遇后，甲车修理完毕，之后按乙车的2.25倍速度行驶，在乙车到达A地前的1小时到达B地，求甲车相遇前的速度． 【答案】（1）甲车行驶了120千米，乙车行驶了180千米； （2）60千米/小时． 【解答】解：（1）设甲车行驶了x千米，则乙车行驶了（x+60）千米， 由题意列一元一次方程得，x+（x+60）＝300， 整理得，2x＝240， 解得x＝120， ∴x+60＝120+60＝180， 答：甲车行驶了120千米，乙车行驶了180千米； （2）设乙车的速度为x千米/小时，则相遇后甲车的速度为2.25x千米/小时， 由题意列一元一次方程得，， 解得x＝40， 经检验得，x＝40是原方程的解，符合题意， ∴乙车的速度为40千米/小时， ∴乙车与甲车相遇时行驶的时间为180÷40＝4.5（小时）， ∴甲车与乙车相遇时行驶的时间为4.5﹣2.5＝2（小时）， ∴甲车相遇前的速度为120÷2＝60千米/小时， 答：甲车相遇前的速度为60千米/小时． 19．以下是两张不同类型火车（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁列车）的车票（部分）： （1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁列车是 　同　 （选填“相”或“同”）向而行；该列动车比高铁列车发车 　早　 （选填“早”或“晚”）． （2）已知该列动车和高铁列车的平均速度分别为160km/h，320km/h，两列火车的长度不计，如果两列火车都直达终点（即中途不停靠任何站点），高铁列车比动车早到30min，求A，B两地之间的距离． 【答案】（1）同；早； （2）480km． 【解答】解：（1）根据车票中的信息可知，该列动车和高铁列车都是从A地开往B地，动车的发车时间是2024年12月14日18：50，高铁列车的发车时间是2024年12月14日19：50， 所以该列动车和高铁列车是同向而行，该列动车比高铁列车发车早， 故答案为：同；早． （2）设A，B两地之间的距离为xkm， 由题意得：， 解得x＝480， 答：A，B两地之间的距离为480km． 20．如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或n﹣m（m＜n）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的数为　﹣26　 ，点B表示的数为　﹣10　 ，点C表示的数为　10　 ． （2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝t（0≤t≤36）　 ，PC＝　36﹣t（0≤t≤36）　 ． （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动．在点Q向点C运动过程中，能否追上点P？若能，请求出点Q运动几秒追上． 【答案】（1）﹣26，﹣10，10； （2）t（0≤t≤36），36﹣t（0≤t≤36）； （3）在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上点P． 【解答】解：（1）∵点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度， ∴点A表示的数为﹣26； ∵点B在点A的右侧，且点A与点B的距离为16个单位长度， ∴点B表示的数为﹣26+16＝﹣10， 又∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数， ∴点C表示的数为10． 故答案为：﹣26，﹣10，10； （2）|﹣26﹣10|÷1＝36（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤36）秒时，点P表示的数为﹣26+t， ∴PA＝|﹣26+t﹣（﹣26）|＝t， PC＝|﹣26+t﹣10|＝36﹣t． 故答案为：t（0≤t≤36），36﹣t（0≤t≤36）； （3）能，设点Q的运动时间为x秒，则点P表示的数为﹣10+x，点Q表示的数为﹣26+3x， 根据题意得：﹣10+x＝﹣26+3x， 解得：x＝8， ∵﹣26+3x＝﹣26+3×8＝﹣2＜10， ∴在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上点P． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $