专题 5.5 探究与发现：解一元一次方程（从无限循环小数化分数到整数解）- 2025-2026学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.5 探究与发现：解一元一次方程（从无限循环小数化分数到整数解） 目录 一．题型梳理与分类精析 1 追本溯源：人教版七上教材132页【探究与发现】 1 【归纳小结】解题步骤： 2 【题型1】无限循环小数化为分数 2 追本溯源：人教版七上教材23页 5 【拓广探索】 5 【题型2】解含绝对值的一元一次方程: 5 【归纳小结】方程解题步骤： 7 【题型3】解含绝对值的一元一次方程: 7 【归纳小结】方程解题步骤： 9 【题型4】解含绝对值的一元一次方程: 9 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 11 【题型5】解含多重绝对值的一元一次方程: 11 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 12 【题型6】解关于的一元一次方程的整数解 12 【归纳小结】解关于的一元一次方程的整数解： 15 二．同步练习​ 15 一．题型梳理与分类精析 追本溯源：人教版七上教材132页【探究与发现】 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数（p，q是整数，）的形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 先以无限循环小数为例进行讨论．设，由可知，，所以．解方程得，于是，． （1）想一想：如何把化为分数形式？请写出变化过程； （2）继续探究，如何把化为分数形式？请写出变化过程． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 （1）解：设，由可知，， 所以， 解方程，得． ∴； （2）解：设，由可知，， 所以， 解方程，得， ∴． 【归纳小结】解题步骤： （1）设循环小数为； （2）观察循环位数为.将乘以，使小数部分的循环节与原数的循环节对齐； （3）减消去循环部分，构造方程； （4）解方程并约分。 【题型1】无限循环小数化为分数 【例题1】（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即，解方程得，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，循环小数，设，则，将它们作差后解方程即可． 解：设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法．先阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设，方程两边都乘以10，可得由，可知，即（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即． （1）填空：将写成分数形式为______． （2）请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①；②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）①设，方程两边都乘以100，转化为，求出其解即可． ②设，就可以得到，就有，就有，求出其解即可． 解：（1）解：设， 方程两边都乘以10得：， ∴． 故答案为：； （2）解：①设，方程两边都乘以100，可得， 由，可知， 即， 解得， 即． ②设，则， ∴， ∴， 解得，， 即． 【变式2】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）我们知道分数写为小数形式为，反过来，一些无限循环小数也可写为分数形式．例如：无限循环小数，可设，由…可知，…，所以…，所以．解方程得，于是得．请你根据以上理解，求的值用分数表示为 ． 【答案】/ 【分析】根据题干给出的方法先将和变成分数，再计算即可． 解：设，由， 又∵， ∴． 解方程得， 即， ∵， ∴， 即：， 故答案为：． 追本溯源：人教版七上教材23页 如果，那么x一定是2吗？如果，那么x等于几？如果，那么x等于几？ 【答案】当时，x不一定是2（还可以是）；如果，那么；如果，那么． 【分析】根据互为相反数的两个数绝对值相等，即可得到答案． 解：（1）∵， ∴ ，即x不一定是2，还可以是 （2）∵， ∴； （3）∵， ∴ ，解得，故x=0． 【点拨】本题考查了互为相反数的两个数绝对值相等的知识点，正确理解掌握该知识点是解决本题的关键． 【拓广探索】 结合，我们得到： 或，我们进一步探索得到：，则有：或，实质上我们在进行分类讨论含绝对值的一元一次方程： 【题型2】解含绝对值的一元一次方程: 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案． 解：移项，得． 当，即时， 原方程可化为，解得； 当，即时， 原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． 【变式1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 解： ∴ ∴或 解得：或 【变式2】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程． （1）求代数式的值； （2）求关于y的方程的解． 【答案】（1）22；（2）或 【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义得到且，解得，再解原方程得到，然后代入计算即可； （2）方程化为，根据绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程即可． 解：（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 原一元一次方程化为：， 解得， ∴； （2）方程化为， ∴或， ∴或． 【归纳小结】方程解题步骤： （1）方程化为或； （2）解这两个一元一次方程即可。 【题型3】解含绝对值的一元一次方程: 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 【变式】（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解含有绝对值符号的一元一次方程，掌握绝对值方程转为为一元一次方程的方法是关键． （1）将方程中的绝对值符号去掉，原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数，然后转化为一元一次方程即可解答; （2）将方程中的绝对值符号去掉，原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数，然后转化为一元一次方程即可解答. 解：（1）解：， 当时， ， 解得： 当时， ， 解得：x， ， （舍去）， 原方程的根为； （2） ， 则或， 解得：或x， ∵， ∴， ∴舍去， ∴． 【归纳小结】方程解题步骤： （1） 分类讨论：当时，方程化为；当时，方程化为； （2） 分别解这两个一元一次方程，并检验满足与这个前提。 【题型4】解含绝对值的一元一次方程: 【例题4】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 解：解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 【变式1】（2025六年级上·全国·专题练习）已知，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可． 解：令，，分别解得，． ①当时，， ， ； ②当时，原方程化为，此方程无解； ③当时，， ． 综上所述，或． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【点拨】本题考查了含绝对值的一元一次方程，按照示例分类讨论是解题的关键． 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 分三种情况类讨论： （1）当时：，解这个方程即可； （2）当时：，解这个方程即可； （3）当时：，解这个方程即可。 综合写出解的情况。 【题型5】解含多重绝对值的一元一次方程: 【例题5】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 解：∵ ， ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴． 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 分三种情况类讨论： （1）当时：方程化为：，解这个方程即可； （2）当时：方程化为：，解这个方程即可； 综合写出解的情况即可。 【题型6】解关于的一元一次方程的整数解 【例题6】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值． 【答案】或 【分析】将原方程整理移项，合并同类项，根据该方程有解，得到关于a得方程的解，结合方程的解为正整数，a为奇数，即可解答． 解： 移项，得 合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴，即， ∵原方程有正整数解， ∴或或或， ∴或或或， ∴奇数或． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求的值． 【答案】（1）；（2）1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 解：（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点拨】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【归纳小结】解关于的一元一次方程的整数解： （1）解方程，用参数表示未知数； （2）根据 “正整数解” 的要求，分析取值条件； （3）枚举参数的可能整数值； （4）代入参数值，求出对应的正整数解. 二．同步练习​ 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 3．（22-23七年级上·山东临沂·期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．根据题意可得，设，则，求解即可． 解：设，由题意可得 解得，即 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 5．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了含有绝对值的一次方程解法，熟练掌握绝对值代数意义是关键． 根据绝对值的代数意义进行分析判断即可． 解：解；∵， 或， 则或， ∵关于的方程有三个解， ∴或，即， ∵， ∴， ∴． 此时或，即或或， ∴或或符合题意， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而所有的有理数都可以化为分数的形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．如将化为分数： ∵，设①，∴②，②－①得， 解得，∴，则用分数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确进行计算是解题关键．设，则，然后作差列得一元一次方程，解方程即可． 解：设①， ②， ②①得， 解得． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）若整数使关于的方程有整数解，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题．解方程，结合整数解求解即可得到答案． 解：解方程得， ， ∵关于x的方程有整数解， ∴或或5或， 解得：或或3或， ∴所有整数m的和为：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）满足的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键． 先进行分类讨论，再根据绝对值的性质化简即可求出答案． 解：当时，， 令，解得：； 当时，，恒为4， ∵是整数 ∴或或0； 当时，， 令， 解得： 综上，整数可能为、、、0、1，共有5个． 故答案为：5． 10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）一个分数，如果分母加2，那么可以约分为；如果分母不变，分子减1．那么将它化为小数为，则这个分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等量关系与方程，设好未知数是解题的关键． 设分子为，根据等量关系列出方程即可． 解：设分子是，则分母是， ∴， ， ， ， 解得：， 则， ∴这个分数是． 故答案为： ． 11．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，解题的关键是理解绝对值的几何意义；由题意可分为当时，当时和当时，进而去绝对值，然后问题可求解． 解：由题意可分为： 当时，则可变形为，解得：（符合题意）； 当时，则无解； 当时，则可变形为，解得：（符合题意）； 故答案为或8． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）解方程：，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程的求解，解题的关键是熟知绝对值的意义和一元一次方程的解法． 由，得或，然后解一元一次方程即可． 解：∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 【答案】0或2或 【分析】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键．根据a、b是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的a、b的值，得出结论． 解：∵a、b是整数，而， 或或， 当时， 或， 或； 当时， 或，， 或； 当时， 或，或0， 或或； 综上所述，满足条件的的值是0或2或， 故答案为：0或2或． 14．（21-22七年级上·云南红河·期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得： ． 【答案】 【分析】设，可表示出100x，即可列出方程，求出答案. 解：设，根据题意，得 100x-x=41， 解得. 所以. 故答案为：. 【点拨】这是一道关于无限循环小数转化为分数的创新性题目，根据题意列出方程式解题的关键. 三、解答题 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知为有理数，定义一种新的运算：，若关于的方程有正整数解，且为正整数．求符合条件的值． 【答案】1 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，先根据新定义运算得出关于x的方程，再解关于x的方程，然后根据方程的解和a是正整数求出a值，即可求解． 解：∵ ， ∴， ∴, ∵为正整数， ∴，，，， ∵为正整数， ∴ 16．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 17．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． （1）若，求该方程的解； （2）某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； （3）若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解：（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知与互为相反数． （1）则______，______； （2）若，求x的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，解绝对值方程． （1）根据绝对值具有非负性，且互为相反数的两个数之和为零可知，，即可得到，； （2）将 和 的值代入方程 ，解绝对值方程即可得到 的值． 解：（1）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． 故答案为：，； （2）解：由（1）知 ，， 代入 ，得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由，可知：，所以，解方程得，所以． 【类比探究】 再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由．可知，，所以，解方程得，于是得． 【解决问题】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①______，②______； （2）把无限循环小数写成分数形式并写出过程； （3）若，则_________________．（填分数） 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练运用一元一次方程的解法是解题关键． （1）①根据阅读材料中题例求解即可；②根据类比探究中题例求解即可； （2）根据类比探究中题例求解即可； （3）由及已知条件，即可求解． 解：（1）解：①设，由， 可知：，所以，， 解方程得， 所以． 故答案为：； ②设，由， 可知，，所以， 解方程得， 于是得． 故答案为：； （2）解：设，由， 可知，，所以， 解方程得， 于是得； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 解：（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 探究与发现：解一元一次方程（从无限循环小数化分数到整数解） 目录 一．题型梳理与分类精析 1 追本溯源：人教版七上教材132页【探究与发现】 1 【归纳小结】解题步骤： 2 【题型1】无限循环小数化为分数 2 追本溯源：人教版七上教材23页 3 【拓广探索】 3 【题型2】解含绝对值的一元一次方程: 3 【归纳小结】方程解题步骤： 3 【题型3】解含绝对值的一元一次方程: 4 【归纳小结】方程解题步骤： 4 【题型4】解含绝对值的一元一次方程: 4 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 5 【题型5】解含多重绝对值的一元一次方程: 5 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 5 【题型6】解关于的一元一次方程的整数解 5 【归纳小结】解关于的一元一次方程的整数解： 6 二．同步练习​ 6 一．题型梳理与分类精析 追本溯源：人教版七上教材132页【探究与发现】 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数（p，q是整数，）的形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 先以无限循环小数为例进行讨论．设，由可知，，所以．解方程得，于是，． （1）想一想：如何把化为分数形式？请写出变化过程； （2）继续探究，如何把化为分数形式？请写出变化过程． 【归纳小结】解题步骤： （1）设循环小数为； （2）观察循环位数为.将乘以，使小数部分的循环节与原数的循环节对齐； （3）减消去循环部分，构造方程； （4）解方程并约分。 【题型1】无限循环小数化为分数 【例题1】（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即，解方程得，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法．先阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设，方程两边都乘以10，可得由，可知，即（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即． （1）填空：将写成分数形式为______． （2）请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①；②． 【变式2】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）我们知道分数写为小数形式为，反过来，一些无限循环小数也可写为分数形式．例如：无限循环小数，可设，由…可知，…，所以…，所以．解方程得，于是得．请你根据以上理解，求的值用分数表示为 ． 追本溯源：人教版七上教材23页 如果，那么x一定是2吗？如果，那么x等于几？如果，那么x等于几？ 【拓广探索】 结合，我们得到： 或，我们进一步探索得到：，则有：或，实质上我们在进行分类讨论含绝对值的一元一次方程： 【题型2】解含绝对值的一元一次方程: 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 【变式1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【变式2】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程． （1）求代数式的值； （2）求关于y的方程的解． 【归纳小结】方程解题步骤： （1）方程化为或； （2）解这两个一元一次方程即可。 【题型3】解含绝对值的一元一次方程: 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【变式】（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【归纳小结】方程解题步骤： （1） 分类讨论：当时，方程化为；当时，方程化为； （2） 分别解这两个一元一次方程，并检验满足与这个前提。 【题型4】解含绝对值的一元一次方程: 【例题4】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）解方程：． 【变式1】（2025六年级上·全国·专题练习）已知，求x的值． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 分三种情况类讨论： （1）当时：，解这个方程即可； （2）当时：，解这个方程即可； （3）当时：，解这个方程即可。 综合写出解的情况。 【题型5】解含多重绝对值的一元一次方程: 【例题5】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【归纳小结】解关于方程解题步骤： 分三种情况类讨论： （1）当时：方程化为：，解这个方程即可； （2）当时：方程化为：，解这个方程即可； 综合写出解的情况即可。 【题型6】解关于的一元一次方程的整数解 【例题6】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值． 【变式1】（23-24七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求的值． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【归纳小结】解关于的一元一次方程的整数解： （1）解方程，用参数表示未知数； （2）根据 “正整数解” 的要求，分析取值条件； （3）枚举参数的可能整数值； （4）代入参数值，求出对应的正整数解. 二．同步练习​ 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23七年级上·山东临沂·期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得．于是，得，将写成分数的形式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为（    ） A． B． C． D． 5．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而所有的有理数都可以化为分数的形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．如将化为分数： ∵，设①，∴②，②－①得， 解得，∴，则用分数可以表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）若整数使关于的方程有整数解，则满足条件的所有的和为 ． 9．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）满足的整数共有 个． 10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）一个分数，如果分母加2，那么可以约分为；如果分母不变，分子减1．那么将它化为小数为，则这个分数是 ． 11．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为 ． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）解方程：，则 ． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 14．（21-22七年级上·云南红河·期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得： ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知为有理数，定义一种新的运算：，若关于的方程有正整数解，且为正整数．求符合条件的值． 16．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 17．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． （1）若，求该方程的解； （2）某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； （3）若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知与互为相反数． （1）则______，______； （2）若，求x的值． 19．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由，可知：，所以，解方程得，所以． 【类比探究】 再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由．可知，，所以，解方程得，于是得． 【解决问题】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①______，②______； （2）把无限循环小数写成分数形式并写出过程； （3）若，则_________________．（填分数） 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $