精品解析：浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试题

上虞中学2025学年第一学期高二期中测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 3. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A. 12， B. ， C. 12，8 D. 9， 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的夹角为钝角 B. 已知，，则在上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆心到直线的距离为，则 B. 直线恒过定点 C. 若线段的中点为，则的最小值为 D. 若，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ） A. B. 双曲线C的离心率为 C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数_____. 13. 已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________． 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 求解下面两个小题： （1）直线l经过点，且在x轴上的截距为3，求l的方程； （2）直线l平行于直线，且l与距离为，求l的方程． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求圆过点的切线方程； （3）直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 18. 已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. （1）证明：； （2）若M为中点，求二面角的正弦值； （3）若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 19. 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）证明：； （3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上虞中学2025学年第一学期高二期中测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角. 【详解】因为，即，所以斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：D. 2. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 【答案】A 【解析】 【详解】由题知圆心（ , ）在直线y＝x上，即＝， ∴D＝E.故选A. 考点：圆的一般方程. 3. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次曲线表示椭圆的条件为. 【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得. 故选：C. 4. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，可得其模长，计算出，根据空间距离的向量求法，即可得答案. 【详解】直线l的方向向量为，且l过点， 又点，则，则， 又∵， ∴则点，到l的距离为， 故选：C． 5. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 6. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A. 12， B. ， C. 12，8 D. 9， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可. 【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知， 显然点在椭圆内，，直线交椭圆于， 而，即，当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为12，8. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解. 【详解】 如图所示，设与圆相切于点，过作， 故，， 又，则， 则，， 由双曲线定义得， 即， 故渐近线方程为， 故选：B. 8. 在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到所需各点坐标，设，将转化成，从而得到两点的坐标，再利用两点间距离公式计算，即可求出取到最小值时的值. 【详解】 由题意知，， 就是二面角的平面角，即， 以为原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， 设， 由，可知， ，， ，， 解得， ， ， 当时，取到最小值，即取到最小值. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的夹角为钝角 B. 已知，，则在上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，C，利用反例来判断；对于B，根据投影向量的定义计算即可；对于D，证明共面，即可判断. 【详解】对于A，当时，，，，此时的夹角为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，，，则直线为，此时直线经过第三象限，但，故C错误； 对于D，若，则，所以共面，故不能作为基底，故D错误. 故选：ACD. 10. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆心到直线的距离为，则 B. 直线恒过定点 C. 若线段的中点为，则的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据弦长公式即可求解A，利用切点圆方程，可得直线的方程为，即可求解定点判定B，利用相似以及勾股定理可得，利用单调性求解的最值即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】对于A，圆的半径为，故，A正确， 对于B，由题意可知点，，在以为直径的圆上， 设，,其圆的圆心为，故方程为：，化简为， 与方程相减可得， 则直线的方程为， 令，解得，因此直线恒过定点，因此B正确； 对于C，由于,故, 故,解得, 由于函数均为内的单调递增函数，故为内的单调递增函数， 当时，此时最小，且最小值为， 当最小时，故的最小值为,故C错误， 对于D，由于,故, 由选项C可知的最小值为，故， 故，进而可得,由于，进而可得，即,因此， ，故，即，D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据锐角三角函数可得，进而根据最小值可得，即可根据互补可得,因此，利用向量数量积的坐标运算求解. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ） A. B. 双曲线C的离心率为 C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，再对各个选项进行逐个计算检验即可得出结论. 【详解】设焦距为，则，设， 则，，作差得，即， ， 故，又，所以，A正确； 而离心率，B正确； 双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点， 所以直线倾斜角的取值范围为，C错误； 若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得 ，故， 又，可得， 所以三角形的面积为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力的应用，是较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数_____. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据四点共面的推论即可求解. 【详解】为空间中任意一点，三点不共线，且， 若四点共面，则，解得， 故答案为： 13. 已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反射的性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可. 【详解】因为反射光线所在直线与直线垂直， 所以可设反射光线所在直线方程为：， 点关于y轴对称的点的坐标为，显然点在直线上， 所以，即， 故答案为： 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 求解下面两个小题： （1）直线l经过点，且在x轴上的截距为3，求l的方程； （2）直线l平行于直线，且l与距离为，求l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意直线过、，即可求出斜率，再用点斜式求出直线方程； （2）设直线方程为，利用两平行线间的距离公式求出，即可得解； 【小问1详解】 解：由于l在x轴上的截距为3，则直线l过点， 所以，直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即，或者． 【小问2详解】 解：由于直线l平行于直线，可设直线l的方程为， 由于l与距离为，则，解得或． 故直线l的方程为或． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求圆过点的切线方程； （3）直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程； （3）根据几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 则，解得或， 所以实数的值为或. 18. 已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. （1）证明：； （2）若M为中点，求二面角的正弦值； （3）若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【答案】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面， 而平面平面，平面，故平面. 因为平面，所以，又， ，平面，，故平面， 又平面，故. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质和判断证明结论； （2）过点S作于点O，连接，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值，即可得； （3）根据已知易得M与O点重合，设，p，，根据已知线面角，应用向量法列方程求得，进而有，结合及模长的坐标运算求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点S作于点O，连接，由，得. 又，故四边形为平行四边形， 因为，所以，即，故，，两两垂直， 以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 设平面的法向量的，则 令，则，，故为平面的一个法向量， 则，二面角的正弦值为. 【小问3详解】 若平面，平面，平面平面，则， 由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上， 设，p，，，则， 因为，，，则，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 故，整理得， 又，故， 由，故， 当且仅当时等号成立，取得最小值为. 【点睛】 19. 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）证明：； （3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 设， 由消去得， 则， ， 因为，所以， 化简得，此时成立，证毕． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，解方程组即可得解. （2）设，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算化简得，即可得证. （3）设，则，利用面积分割法得，然后利用向量的线性坐标公式得点的坐标，代入椭圆方程得，然后利用二次函数性质求解最值. 【小问1详解】 设的半焦距为． 依题意得，所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点， 所以不妨设，则． ． 由，得点的坐标为， 又， 所以代入的方程得， 化简得，则． 所以， 即四边形PRQS面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $