专题05 二次函数中特殊四边形存在性问题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题05 二次函数中特殊四边形存在性问题 目录 1 类型一、二次函数中平行四边形存在性问题 1 类型二、二次函数中矩形存在性问题 14 类型三、二次函数中菱形存在性问题 27 类型四、二次函数中正方形存在性问题 43 54 类型一、二次函数中平行四边形存在性问题 核心思路：利用平行四边形性质（对边平行且相等，或对角线相互平分）构建方程。 步骤： 1. 设点分类：设抛物线上动点，已知两点，寻找第四点使四边形为平行四边形。 2. 活用中点公式（关键技巧）： · 若为对角线顶点，则中点重合，即，同理求。 · 若为对角线顶点，同理用中点公式求。 3. 代数转化：将坐标代入抛物线方程（若在抛物线上），解关于的方程。 4. 验证排除：检查是否存在共线（三点斜率相同）、对边不等或超范围解，舍去非平行四边形情况。 关键：优先用对角线平分条件减少变量，避免冗长边距计算，直接解出未知点坐标。 例1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-1．如图，抛物线（为常数，且）与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标； (3)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 变式1-3 在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点A，，D为抛物线的顶点．点P在抛物线上A，B两点之间的部分，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作于点Q，设，当d的每一个值对应的点P有2个时， ①m的取值范围为 ； ②求出的面积的最大值； (3)如图2，过点P作轴交直线于点E，若顶点D在以为邻边的平行四边形内(不含边界)，求m的取值范围． 类型二、二次函数中矩形存在性问题 核心思路：利用矩形定义（邻边垂直且邻边不相等，或对角线相等且平分）建立方程。 步骤： 1. 设点分类 · 设抛物线上动点 ，固定 2-3 个顶点坐标。 · 按 的位置（顶点或对角交点）分类讨论。 2. 活用几何性质 · 直角条件：邻边垂直 → 斜率乘积为 （例：）。 · 对边相等：用距离公式验证 、（简化计算时优先用对角线）。 · 对角线特性：对角线相等（）且中点重合（矩形核心性质）。 3. 代数求解与验证 · 联立垂直+对边相等/对角线相等的方程，解 。 · 验证：舍去共线、非直角或邻边相等的解（避免菱形干扰）。 关键技巧： · 优先用对角线相等+中点重合（需验证夹角），可减少变量。 · 中点公式 是简化运算的核心工具。 · 共线判定：三点斜率相等时舍去。 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 变式2-1．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 变式2-2．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式2-3．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点B坐标为，点坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线BC于点，设点P的横坐标为m. (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线上，求点的坐标. 类型三、二次函数中菱形存在性问题 核心思路： 利用菱形定义（邻边相等或对角线垂直且平分）建立方程。 步骤： 设点分类： 设动点坐标 ，固定 2-3 个顶点坐标。按 P 的位置（顶点或对角交点）分类讨论。 活用性质： · 邻边相等： 利用距离公式 （当 P 与相邻顶点等距）。 · 对角线特性： 当 P 与定点构成对角线时，满足： i. 垂直：两对角线斜率乘积 = -1 ii. 平分：中点坐标重合（简化计算的关键） 代数求解： · 联立性质对应的方程，解出 · 验证：舍去三点共线或非菱形的解（确保四边相等） 关键： 优先用对角线垂直平分条件减少变量，结合中点坐标公式优化运算。 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 变式3-1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2 已知二次函数与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，连接、，点的坐标为，点的坐标为． (1)求和的值； (2)如图，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；在线段上取一点，，点、分别为、轴上的动点，连接，将沿翻折至，直接写出的最小值． (3)如图，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的抛物线，使得交轴于点、（在的左侧），将绕点顺时针旋转至，抛物线的对称轴上有一动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 类型四、二次函数中正方形存在性问题 设定条件：设抛物线上动点，与已知三点构成四边形。 关键步骤： 1. 几何性质：利用正方形定义（四边相等、邻边垂直、对角线相等且垂直）。 2. 分类讨论：按顶点顺序分情况（如为正方形某一顶点或中心）。 3. 代数转化： 边长相等：距离公式。 垂直：斜率乘积为或向量点积为零。 对角线：长度相等且中点重合。 4. 验证：排除共线或非直角情况，确保四边形为正方形。 简化计算：优先利用对称性或参数法减少变量。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 变式4-3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，M是x轴上一点，N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 6．如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 8．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值； (3)若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 11．已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数中特殊四边形存在性问题 目录 1 类型一、二次函数中平行四边形存在性问题 1 类型二、二次函数中矩形存在性问题 14 类型三、二次函数中菱形存在性问题 27 类型四、二次函数中正方形存在性问题 43 54 类型一、二次函数中平行四边形存在性问题 核心思路：利用平行四边形性质（对边平行且相等，或对角线相互平分）构建方程。 步骤： 1. 设点分类：设抛物线上动点，已知两点，寻找第四点使四边形为平行四边形。 2. 活用中点公式（关键技巧）： · 若为对角线顶点，则中点重合，即，同理求。 · 若为对角线顶点，同理用中点公式求。 3. 代数转化：将坐标代入抛物线方程（若在抛物线上），解关于的方程。 4. 验证排除：检查是否存在共线（三点斜率相同）、对边不等或超范围解，舍去非平行四边形情况。 关键：优先用对角线平分条件减少变量，避免冗长边距计算，直接解出未知点坐标。 例1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 变式1-1．如图，抛物线（为常数，且）与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标； (3)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或． (3)点或点 【分析】（1）根据得，得到，令，得，得到，从而得到，根据，列比例式解答即可． （2）设，，点，，分为对角线，为对角线， 为对角线，结合中点坐标公式解答即可． （3）在x轴的正半轴上截取，作直线交抛物线于点P，连接，利用三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，交点法解法即可． 【详解】（1）解：根据得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：设，，点，， 当为对角线时，设对角线的交点为G， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴， ∴； 当为对角线时，设，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴， ∴； 当为对角线时，设，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴， ∴； 综上所述，存在点M，使得C，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形且点的坐标为或或． （3）解：在x轴的正半轴上截取，作直线交抛物线于点P，连接， 则，，， ， 过点B作于点G， 则 ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 此时，点； 延长交抛物线于点， 过点作于点N， ∴， ∴点， ∴, 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 此时，点； 综上所述，直线上方的抛物线上存在点，使得，且点或点． 【点睛】此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标，中点坐标公式，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 变式1-2．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 变式1-3 在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点A，，D为抛物线的顶点．点P在抛物线上A，B两点之间的部分，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作于点Q，设，当d的每一个值对应的点P有2个时， ①m的取值范围为 ； ②求出的面积的最大值； (3)如图2，过点P作轴交直线于点E，若顶点D在以为邻边的平行四边形内(不含边界)，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①且；②3 (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积的最值问题，平行四边形的性质等知识点，难度大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由点P在抛物线上A，B两点之间的部分，且点P的横坐标为m，可得 ，且，求出当l与抛物线只有一个公共点时，公共点的横坐标为，即可得到的取值范围； ②过点 P 作轴交于点F，则，表示出，即，且，根据二次函数的性质求出的最大值为3，再由，即可求解面积最大值； （3）过点P作交y轴于点M，则设直线的解析式为，当直线经过点时，此时直线的解析式为，令，可求此时点P的横坐标为，那么点P必须在直线上方的抛物线上运动，则m的取值范围为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：①解析：令， 则， 解得， ， ∵点P在抛物线上A，B两点之间的部分，且点P的横坐标为m， ，且 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为， 如答图1，过点P作的平行线l，则设l的解析式为， 令， 即 ∴当l与抛物线只有一个公共点时，如答图2 则， 解得：， 此时， 这个公共点的横坐标为， 由答图1、答图2可知，当d的每一个值对应的点P 有2个时，且； ②如答图3，过点 P 作轴交于点F， 对于抛物线，可求顶点， ∵， 同理可求直线 ∴， ∴，且 当时，， ∵，开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，的最大值为3； 当且时，， ∵开口向下， ∴当时，的最大值为1 综上所述，的最大值为3， ∵， ∴； （3）解：如答图4，过点P作交y轴于点M，则设直线的解析式为， 当直线经过点时， ， 解得， 此时直线的解析式为， 令， 解得， 此时点P的横坐标为， ∵顶点D在以为邻边的平行四边形内(不含边界)， ∴点P必须在直线上方的抛物线上运动， ∴m的取值范围为． 类型二、二次函数中矩形存在性问题 核心思路：利用矩形定义（邻边垂直且邻边不相等，或对角线相等且平分）建立方程。 步骤： 1. 设点分类 · 设抛物线上动点 ，固定 2-3 个顶点坐标。 · 按 的位置（顶点或对角交点）分类讨论。 2. 活用几何性质 · 直角条件：邻边垂直 → 斜率乘积为 （例：）。 · 对边相等：用距离公式验证 、（简化计算时优先用对角线）。 · 对角线特性：对角线相等（）且中点重合（矩形核心性质）。 3. 代数求解与验证 · 联立垂直+对边相等/对角线相等的方程，解 。 · 验证：舍去共线、非直角或邻边相等的解（避免菱形干扰）。 关键技巧： · 优先用对角线相等+中点重合（需验证夹角），可减少变量。 · 中点公式 是简化运算的核心工具。 · 共线判定：三点斜率相等时舍去。 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)90 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得C的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将A，B代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：90； （3）解：设直线的解析式为， 将点B，点C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点F， 则， ∴， ∴ 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形得对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点Q的横坐标为， 综上，点Q的横坐标为4或2或． 变式2-1．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 变式2-2．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将对称轴及点，代入求解即可得到答案； （2）①先根据抛物线表达式得到对称轴与顶点坐标，结合A，B两点的位置关系以及线段中点的横坐标，得到点A的纵坐标大于点B的纵坐标．分别讨论和时图象G的最高点和最低点的情况，再结合两点纵坐标的差为4建立方程，求解即可； ②根据m求出A，B两点的坐标，结合的长度得出抛物线平移规律，即可求出平移后的函数表达式，从而得到点M的横坐标，然后设点M的纵坐标为p，由点A，B，M三点构成直角三角形的限制条件，由勾股定理构造关于p的方程，利用矩形的两条对角线互相平分，即中点重合求出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为 ∴， 解得： 则抛物线的函数表达式为： （2）解：①由（1）可知抛物线为， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点A在点B的左侧， ∴，即， ∵线段的中点的横坐标为， ∴点A距离对称轴更近， ∵抛物线开口向下， ∴点A的纵坐标大于点B的纵坐标． 当时，抛物线对称轴位于A，B两点之间，则图象G的最高点为抛物线的顶点，最低点为点B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）； 当时，A，B两点都在对称轴右侧（包含对称轴），图象G的最高点为A，最低点为B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：； 综上所述：； ②由得到，，则 ， 根据平移的性质，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． ∵抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 对称轴为． 设点M的坐标为， 当点A、B、M三点构成直角三角形时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形． ∵， ， ， （Ⅰ）当为矩形的对角线时，， ∴， 整理得， ∵， ∴该方程无解； （Ⅱ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； （Ⅲ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，函数图象的平移，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 变式2-3．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点B坐标为，点坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线BC于点，设点P的横坐标为m. (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)当m为3时，最大，最大值是 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，则，从而可求出的长，根据勾股定理可求出．易证，得出，代入数据，结合二次函数的性质求解即可； （3）设，抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．当点恰好落在该矩形对角线上时画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为，点C坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：； （2）解：设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． ∵点P的横坐标为m， ∴，则， ∴． ∵，轴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴当m为3时，最大，最大值是； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点Q在抛物线的对称轴上， 故可设． 设抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，． ∵点恰好落在该矩形对角线上，如图，则垂直平分，即， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用． 类型三、二次函数中菱形存在性问题 核心思路： 利用菱形定义（邻边相等或对角线垂直且平分）建立方程。 步骤： 设点分类： 设动点坐标 ，固定 2-3 个顶点坐标。按 P 的位置（顶点或对角交点）分类讨论。 活用性质： · 邻边相等： 利用距离公式 （当 P 与相邻顶点等距）。 · 对角线特性： 当 P 与定点构成对角线时，满足： i. 垂直：两对角线斜率乘积 = -1 ii. 平分：中点坐标重合（简化计算的关键） 代数求解： · 联立性质对应的方程，解出 · 验证：舍去三点共线或非菱形的解（确保四边相等） 关键： 优先用对角线垂直平分条件减少变量，结合中点坐标公式优化运算。 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) ① ② 【分析】（）根据抛物线的对称性，可确定抛物线和轴的另一个交点为，待定系数法求出函数解析式即可； （）①分析函数在给定区间内的最值，结合二次函数的增减性进行求解即可． ②点在轴上，且四边形是菱形，结合点的坐标可得四边形是正方形，找到等量关系，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 变式3-1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 (4)或或或或． 【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； （3）解：由题意知，， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线于Q， ①当线段顺时针旋转得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式3-2 已知二次函数与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，连接、，点的坐标为，点的坐标为． (1)求和的值； (2)如图，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；在线段上取一点，，点、分别为、轴上的动点，连接，将沿翻折至，直接写出的最小值． (3)如图，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的抛物线，使得交轴于点、（在的左侧），将绕点顺时针旋转至，抛物线的对称轴上有一动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)存在，点坐标为或或或)或 【分析】（1）将点，代入，然后解关于、的二元一次方程组即可； （2）过点作轴交于点，设，则，则，当时，面积取得最大值，此时；作点关于轴的对称点，连接，，，当、、三点共线时，最小，由即可求解； （3）先求出平移后的函数解析式为，即可求，由旋转可得，设，，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等，建立方程组求点K的坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于点、，且，， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大值为， 此时， ∵， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，当、、三点共线时取“”， 此时取得最小值，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵，点关于轴的对称点为点， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线沿射线的方向平移， 设抛物线沿轴正方向平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， 又∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵平移后的函数经过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：或， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∴， ∵绕点顺时针旋转至，，，， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴， 设，， ①当是菱形的对角线时，， ∴， 解得：， ∴； ②当为菱形的对角线时，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； ③当为菱形的对角线时，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，两点间的距离，三角形三边的关系定理等知识点，掌握二次函数的图象及性质、图形的变换、菱形的性质是解题的关键． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)点A的坐标为，该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令求出点A的坐标即可； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， 把，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． 当时， ，解得或， ∴点A的坐标为； （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， ∵，， 当时，S有最大值，最大值为32，此时， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 类型四、二次函数中正方形存在性问题 设定条件：设抛物线上动点，与已知三点构成四边形。 关键步骤： 1. 几何性质：利用正方形定义（四边相等、邻边垂直、对角线相等且垂直）。 2. 分类讨论：按顶点顺序分情况（如为正方形某一顶点或中心）。 3. 代数转化： 边长相等：距离公式。 垂直：斜率乘积为或向量点积为零。 对角线：长度相等且中点重合。 4. 验证：排除共线或非直角情况，确保四边形为正方形。 简化计算：优先利用对称性或参数法减少变量。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 变式4-3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)满足条件的点有两个，其坐标分别为或 【分析】（1）由，得到，运用待定系数法即可求出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得到顶点D的坐标； （2）过作轴于点，设，则．证明，得到，即，分两种情况求解即可； （3）设对角线交于点，由点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，得到设，则坐标为．将点M代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵抛物线过点， ， 解得：， 抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图，在抛物线上任取一点，过作轴于点， 设， 则． ， ． ， ， ， ， ， 当点在轴上方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 当点在轴下方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 综上可知点的坐标为或； （3）解：如图，设对角线交于点， 点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为． 点在抛物线的图象上， ， 解得：或， 满足条件的点有两个，其坐标分别为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，M是x轴上一点，N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得，，，再根据的面积是以及三角形面积公式可得，然后代入抛物线解析式求得的值即可解答． （3）根据平行四边形的性质得到，然后根据平行四边形的性质以及抛物线的对称轴、点D坐标求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 将代入得： ，解得：． ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：由（1）可得抛物线， ∴对称轴， ∴直线l的解析式为， ∵动点D在直线l右侧的抛物线上，且点D在x轴的下方， ，， ∵， ∴， ∵的面积是， ， ，即， ∴，解得：或， ∵， ∴点的坐标为． （3）解：存在， ①如图：由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知， 当时，四边形即为平行四边形， 此时点与点O重合，即，四边形即为平行四边形， ∵是抛物线上一动点， ∴点和点D关于对称轴l对称，即； ∴当时，四边形即为平行四边形． ②如图：当， 当时，四边形为平行四边形， 如图：过点做轴，过点D做轴，由题意可得， ∴点和点D关于原点O对称， ∴点的纵坐标为， 将代入，得，解得：． ∴当、，四边形、为平行四边形． 综上，当或或时，以为顶点，为一边的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式、二次函数与几何综合、平行四边形的判定、解一元二次方程，正确添加辅助线以及应用数形结合的数学思想成为解题的关键． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值； （3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的，得到， 解得，， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 5．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 6．如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)N点的坐标可以为：或． (3)存在E点坐标为或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）分M在N点上方，M在N下方，两种情况计算即可； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）有两种情况： ①当M在N上方时，如图，连接，过B点作，交于H， ∵二次函数解析式为：， ∴点坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴ ②当M在N下方时，如图，连接，过点作与x轴交于点，过点作垂足为， 由①已知，，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴综上N点的坐标可以为：或． （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 9．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴ 由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值； (3)若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式用待定系数法即可求解； （2）令，解之可得，进而可求直线解析式为． 由点E在抛物线上的点A，C之间，点，，，求得，，根据题意建立方程求解即可； （3）由题可得，，则，即，根据题意画出图形，结合图形建立方程，根据题意写出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点， 将代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式是． ∵， ．     （2）解：令，解得，， ， 设直线的解析式为，将代入， 解得， ∴直线解析式为． ∵点E在抛物线上的点A，C之间， ∴． 由点，，， ， ∴． ∵， ∴， 解得，而， ∴ （3）解：由题可得，，则，即， 如图所示：此时边经过点，正方形与抛物线有3个交点，， 解得，或， ， ， 正方形与抛物线有2个交点时，； 当点与点重合时，正方形与抛物线有3个交点，如图所示： 此时， 解得，（舍去）或， 当时正方形与抛物线有2个交点， 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要是考查了二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的表达式，二次函数 与线段问题，二次函数与特殊四边形的问题，点的坐标求解，其中(3)要注意数形结合，分类讨论，避免漏解． 11．已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）二次函数的图象经过，对称轴经过点，运用待定系数法求解即可； （2）①根据二次函数与坐标轴的关系得到，，，直线的解析式为，设，则，则，根据二次函数最最值的方法得到当时，的面积最大，最大值为，如图所示，可得是定值，四边形是平行四边形，，此时，根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，可证，得到，设，则，在中，，即，则，由此即可求解； ②如图所示，点在点上方，四边形是菱形，得，即；如图所示，点在点下方，四边形是菱形，，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，对称轴经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：①二次函数中，令时，，则， 令时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，如图所示， ∴，，，且， ∵点为线段上一动点，轴， ∴，， ∴是定值， 如图所示，将连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，此时， 根据点到直线垂线段最短得到，当且三点共线时，的值最小， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②存在，理由如下， 如图所示，点在点上方，四边形是菱形， ∴，且，则，， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即，则， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴； 如图所示，点在点下方，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与线段，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数求图形面积，线段最小值的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理等知识的综合运用，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个． （3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键． 13．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $