专题06 二次函数中角度、新定义问题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题06 二次函数中角度、新定义问题 目录 1 类型一、二次函数角度问题 1 类型二、二次函数综合的新定义问题 4 6 类型一、二次函数角度问题 核心思路：将角度条件转化为斜率或向量关系，结合二次函数性质求解。 步骤： 1. 设点坐标：设动点，已知点等。 2. 角度条件转化： · 定角（如45°、90°）： i. 斜率法：利用（如时，）。 ii. 向量法：向量点积。 · 直角：斜率乘积为或向量点积为零。 3. 代数求解：联立方程，注意舍去共线或不合理解。 4. 简化计算：优先利用对称性、参数法或几何性质（如圆周角定理）减少变量。 关键：根据角度类型选择合适工具（斜率/向量），结合二次函数特性（顶点、对称轴）优化过程。 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 变式1-1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)点B坐标为________； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C恰好落在抛物线上，求点P坐标； (3)如图2，在抛物线上有一点F，连接交线段于点E，若，求点F的坐标． 变式1-2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点坐标； (3)点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3 如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与直线交于点 (1)直接写出a、b、k的值； (2)取点，在抛物线第一象限上取点P，使，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过y轴正半轴上一点P的直线与抛物线交于M、N两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点Q使得恒成立，求P点坐标． 类型二、二次函数综合的新定义问题 核心步骤： 1. 理解定义：明确题干中“新定义”的数学条件（如特殊点、线或图形关系），转化为代数表达式。 2. 分类讨论：根据定义可能的情形（如动点位置、参数范围）分情况建立方程。 3. 几何代数转化： · 距离/斜率：用两点间距离公式或斜率关系（垂直k₁·k₂=-1）表达条件。 · 对称性：若涉及对称点或线，利用中点公式或对称轴性质简化坐标。 4. 解方程验证：联立方程求解，注意舍去不符合定义（如共线、超出范围）的解。 5. 优化计算：优先消元或参数法，避免复杂运算。 关键点：紧扣新定义本质，结合二次函数性质（顶点、对称轴）快速定位可能解。 例2．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式2-1．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 变式2-2．在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求b的值； (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； (3)直线在第一象限的部分记为图像，抛物线在的部分记为图像．点E在图像上，点F在图像上．若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标． 变式2-3．我们不妨约定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“守正点”，横纵坐标互为相反数的点为“创新点”．并且我们把图象上只存在守正点的函数称为“守正函数”；只存在创新点的函数称为“创新函数”；既存在守正点又存在创新点的函数叫“守正创新函数”．例如在二次函数的图象上，既存在守正点又存在创新点，所以是守正创新函数． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①函数只有一个守正点；（    ） ②反比例函数一定是守正创新函数；（    ） ③二次函数一定是创新函数．（    ） (2)若该反比例函数的图象上的“守正点”A、B与x轴上的一点构成的的面积为16，求值； (3)已知关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点．若有s关于t的二次函数，当时，s有最小值，求a的值． 一、解答题 1．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． (1)以下函数①②③的图象上存在“不动点”的是：__________．（填写序号） (2)若二次函数的图像上存在两个“不动点”，，当时，求的值； (3)已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出的值__________． 2．定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． (1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； (3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的绝对值，那么称该点为“绝对点”．如点都是“绝对点”． (1)写出一个图象上至少有3个“绝对点”的函数解析式； (2)若双曲线与直线的一个交点是“绝对点”，求双曲线的解析式； (3)若抛物线上有且只有一个“绝对点”，且当时，a的最小值等于t，求t的值． 4．若抛物线：（，，是常数，）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系．此时，直线叫做抛物线的“郡线”，抛物线叫作直线的“粹线”． (1)若直线与抛物线具有“长郡培粹”关系，求，的值； (2)若某“粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等，它的“郡线”的解析式为，求此“粹线”的解析式； (3)当常数满足时，求抛物线：的“郡线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 5．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． (1)求抛物线的解析式与点，点的坐标； (2)求证：抛物线必经过点； (3)连接、，当时，求点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 8．已知二次函数． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当时，y的最小值为，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线交轴于，交轴于点．连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，点是第四象限内抛物线上一动点，过作于点，试求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P的对应点为点，在新抛物线对称轴上是否存在点，使与相等，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交于点E，点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，且．当取得最大值时，求出点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线y＇，新抛物线与原抛物线相交于点F，点T为新抛物线y上一动点，连接，，，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数中角度、新定义问题 目录 1 类型一、二次函数角度问题 1 类型二、二次函数综合的新定义问题 16 24 类型一、二次函数角度问题 核心思路：将角度条件转化为斜率或向量关系，结合二次函数性质求解。 步骤： 1. 设点坐标：设动点，已知点等。 2. 角度条件转化： · 定角（如45°、90°）： i. 斜率法：利用（如时，）。 ii. 向量法：向量点积。 · 直角：斜率乘积为或向量点积为零。 3. 代数求解：联立方程，注意舍去共线或不合理解。 4. 简化计算：优先利用对称性、参数法或几何性质（如圆周角定理）减少变量。 关键：根据角度类型选择合适工具（斜率/向量），结合二次函数特性（顶点、对称轴）优化过程。 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式1-1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)点B坐标为________； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C恰好落在抛物线上，求点P坐标； (3)如图2，在抛物线上有一点F，连接交线段于点E，若，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）当时，，解得，即可求出答案； （2）作轴于点H，轴于点N，设,证明，则，得到把代入得到，即可得到点的坐标为或； （3）求出直线的解析式为，过点C作轴的平行线，过点E作轴的平行线，两直线交于点G，过点H作，则点H的坐标为，，设则，，，由勾股定理得到，，可求得，则，求出所在直线表达式为，与联立得到或（不合题意，舍去），即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 绕点P顺时针旋转后，点C恰好落在抛物线上，如图，作轴于点H，轴于点N，设, ∵，， ∴， ∵平行于函数对称轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 把代入得：， 解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 把的坐标代入得到， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， 过点C作轴的平行线，交于点H，过点E作轴的平行线，两直线交于点G，过点H作，则点H的坐标为，， ∵， 则， ∵轴， ∴， 在中，，， 设则，，； 由勾股定理得到，， 即 解得（舍去）， ∴； 设直线的解析式为， 把的坐标代入得到， 解得， ∴所在直线表达式为， 与联立得到 ， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴点F的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及一次函数、解直角三角形、勾股定理、待定系数法、图形的旋转、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是关键． 变式1-2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点坐标； (3)点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，进而得到直线解析式为；延长交轴于H，设，则，可得，；求出，得到；由平行线的性质得到，则，进而得到，则，据此求解即可； （3）根据题意可得将原抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将原抛物线向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，则新抛物线的解析式为；可证明，得到；当点M在下方时，可证明，得到，则点M的纵坐标为；当点M在上方时，设交x轴于H，可证明，得到利用勾股定理求出；则直线解析式为，再联立对应的函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴设直线解析式为； 如图所示，延长交轴于H， 设，则， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可得， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将原抛物线向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在上方时，设交x轴于H， ∵， ∴， ∴； 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式1-3 如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与直线交于点 (1)直接写出a、b、k的值； (2)取点，在抛物线第一象限上取点P，使，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过y轴正半轴上一点P的直线与抛物线交于M、N两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点Q使得恒成立，求P点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)P点坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）延长交x轴于点D，过点B作轴于点E，可证得，求得，运用待定系数法求得直线的表达式，再与二次函数表达式联立即可求得答案； （3）设，直线的表达式为，，，，设直线的表达式为，直线的表达式为，根据直线、与抛物线只有一个交点，得出：，，过点Q作轴，过点M，N分别作的垂线，垂足分别为E，F，可证得，进而得出，即，再由直线与抛物线的表达式联立可得：，即可求得答案． 【详解】（1）解：设，把代入得：， 解得：， ∴，即， ，， 把代入得：， 解得：； （2）解：延长交x轴于点D，过点B作轴于点E，如图1， 设， 又， ∴，， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得：， 直线的表达式为， 联立得：， 解得：，， 点P的坐标为； （3）解：设，直线MN的表达式为，，，， 将抛物线平移至顶点为原点， 平移后的抛物线表达式为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将，代入，得， 解得：， 同理可得：， 直线与抛物线表达式联立得， 整理得：， 直线、与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 过点Q作轴，过点M，N分别作的垂线，垂足分别为E，F，如图2， 则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又， 整理得：， ∴， ∴， ， 点坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型二、二次函数综合的新定义问题 核心步骤： 1. 理解定义：明确题干中“新定义”的数学条件（如特殊点、线或图形关系），转化为代数表达式。 2. 分类讨论：根据定义可能的情形（如动点位置、参数范围）分情况建立方程。 3. 几何代数转化： · 距离/斜率：用两点间距离公式或斜率关系（垂直k₁·k₂=-1）表达条件。 · 对称性：若涉及对称点或线，利用中点公式或对称轴性质简化坐标。 4. 解方程验证：联立方程求解，注意舍去不符合定义（如共线、超出范围）的解。 5. 优化计算：优先消元或参数法，避免复杂运算。 关键点：紧扣新定义本质，结合二次函数性质（顶点、对称轴）快速定位可能解。 例2．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 变式2-1．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 【答案】(1)存在， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）根据“巧点”定义设“巧点”的坐标为，将其代入计算即可； （2）先求出直线的“巧点”分别为，计算得出，根据二次函数性质求出最值即可； （3）设点，先求出顶点为，进而得出旋转后的函数图象的解析式为，再联立求出t值即可求出结论． 【详解】（1）解：存在．设“巧点”的坐标为，将其代入， 得，解得， “巧点”为． （2）动点分别在直线上， ， 同（1）可得直线的“巧点”分别为， 设直线表达式为， 则， 解得：， ， ， 当时，取最小值，为． （3）设点． ， 其顶点为． 点关于点的对称点为， 旋转后的函数图象的解析式为． “巧点”的纵坐标为横坐标的2倍， 巧点在直线上． 联立， ，令， 解得． ． 变式2-2．在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求b的值； (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； (3)直线在第一象限的部分记为图像，抛物线在的部分记为图像．点E在图像上，点F在图像上．若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵点，点都在直线上， ， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； （3）解： ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图像上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． 综上，t的取值范围是； ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得， 解得（舍去）． 当时， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 变式2-3．我们不妨约定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“守正点”，横纵坐标互为相反数的点为“创新点”．并且我们把图象上只存在守正点的函数称为“守正函数”；只存在创新点的函数称为“创新函数”；既存在守正点又存在创新点的函数叫“守正创新函数”．例如在二次函数的图象上，既存在守正点又存在创新点，所以是守正创新函数． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①函数只有一个守正点；（    ） ②反比例函数一定是守正创新函数；（    ） ③二次函数一定是创新函数．（    ） (2)若该反比例函数的图象上的“守正点”A、B与x轴上的一点构成的的面积为16，求值； (3)已知关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点．若有s关于t的二次函数，当时，s有最小值，求a的值． 【答案】(1)①√；②×；③× (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，反比例函数与三角形的面积，反比例函数与一次函数交点问题，二次函数的性质； （1）根据新定义进行判断即可求解； （2）依题意，设，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据新定义得出，，进而可得，分和，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：① 解得： ∴函数只有一个守正点，故①正确 ②∵在一三象限，与有交点，则是守正函数 与无交点，则不是创新函数，故②错误 ③联立 消去得， 即， ∵，即与无交点， ∴二次函数不是创新函数，故③错误 故答案为：①√；②×；③×． （2）解：如图， 依题意，设，则 ∴ （3）解：∵关于x的二次函数是守正创新函数，且函数图象上只有一个守正点和一个创新点． ∴，有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴ 代入 ∴，即 ∴ ∵，， ∴ ∴对称轴为直线， ∵时，s有最小值， ①当时， ∴时取得最小值，最小值为， ∴ 解得：或（舍去） ②当时，开口向下，则最小值在或 ∴ i）当时，即，则当时取得最小值，最小值为 ∴ 解得：或（舍去） ii）当，即时，时取得最小值，最小值为， 同理可得 解得：（舍去）或（舍去） iii）当即时，同理可得或，由以上可得无合适的解 综上所述，或 一、解答题 1．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． (1)以下函数①②③的图象上存在“不动点”的是：__________．（填写序号） (2)若二次函数的图像上存在两个“不动点”，，当时，求的值； (3)已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出的值__________． 【答案】(1)②③ (2)3或 (3)3 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是： （1）分别联立函数解析式与直线解析式，然后判定方程是否有解即可判定； （2）联立抛物线与直线解析式，根据根与系数的关系以及勾股定理建立方程，即可求解； （3）根据题意画出图形，当直线过点A时，符合题设条件，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①联立和．得， 此方程无解， 故不存在不动点； ②联立和，得， 解得， 故存在不动点； ③联立和，得 解得，， 故存在不动点； 故答案为：②③； （2）解：联立和抛物线的表达式得：， ∴ 则，， ∵， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：如图所示，当直线过点时，符合题意， 令 ∴ 则 将点代入，得 解得：（舍去）或 ∴． 2．定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． (1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； (3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 【答案】(1)和（或和） (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对理想点，列出方程，解方程求解即可； （2）将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解； （3）设和是这两个函数的一对理想点，只存在一对理想点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设和是与函数这两个函数的一对理想点， ∴，整理，得， 解得：或，经检验，是所列方程的解， ∴和或和是这两个函数的理想点， 故答案为：和（或和）； （2）解：∵对于任意实数k，函数与始终为理想函数， ∴， ， 即， ∴，， ∴； （3）解：∵函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点， 设和是这两个函数的一对理想点， ∴， 即关于的方程，有两个相等的实数根， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值0， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数性质，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的绝对值，那么称该点为“绝对点”．如点都是“绝对点”． (1)写出一个图象上至少有3个“绝对点”的函数解析式； (2)若双曲线与直线的一个交点是“绝对点”，求双曲线的解析式； (3)若抛物线上有且只有一个“绝对点”，且当时，a的最小值等于t，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出1个与有3个交点的函数，根据对称性可得找到二次函数符合题意； （2）根据题意交点在第二象限，先求得“绝对点”的坐标，进而求得双曲线的解析式，即可求解； （3）分两种情况讨论，时，抛物线和 有唯一交点与没有交点， 当时，有唯一交点，与 没有交点 【详解】（1）解：依题意，与有3个交点 当时，，当时，，即交点为， （2）解：∵双曲线与直线的一个交点是“绝对点” ∴这个“绝对点”是与 的交点， 联立 解得： ∴这个“绝对点”的坐标为，代入得， ∴双曲线的解析式为： （3）解：∵抛物线上有且只有一个“绝对点”， ∴抛物线开口向上，且与只有一个交点，与轴的交点为，则， 对称轴为直线， ∵当时，a的最小值等于t， ①当时，抛物线和 有唯一交点与没有交点， 由，即 ∴ ∴ ∵抛物线与没有交点，则， ∴ 当即时，时，有最小值， ∴此方程无解； 当，即时，时，有最小值为，不符合题意； 当时，在时，有最小值， ∴此方程无解； ②当时，同理可得， 当即时，时，有最小值， ∴ 解得：（舍去）或（舍去） 当时，在时，有最小值为 ∴ 解得：（舍去）或 当时，即时，在时，有最小值0，不符合题意；舍去 综上所述，． 4．若抛物线：（，，是常数，）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系．此时，直线叫做抛物线的“郡线”，抛物线叫作直线的“粹线”． (1)若直线与抛物线具有“长郡培粹”关系，求，的值； (2)若某“粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等，它的“郡线”的解析式为，求此“粹线”的解析式； (3)当常数满足时，求抛物线：的“郡线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据新定义求出，将其代入抛物线的解析式，即可求解； （2）根据新定义求出，抛物线的顶点为，由“粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等得，进行分类讨论，即可求解； （3）根据新定义求出，由待定系数法可求直线为，由三角形面积得，令，，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 直线中：， 抛物线中：， ， ， ， 顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ， 解得：， 故：，； （2）解：当时， 直线中： 抛物线中：， ， ， 抛物线的顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 抛物线的顶点为， “粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等， ， ①当时， 解得：， 经检验：是此方程的根， ； ②当时， 解得：， 经检验：是此方程的根， ； 故“粹线”的解析式为或； （3）解：当时，， ， 可设直线为：， 由抛物线得：顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ， 整理得：， 令， ， 且， ， ， 直线为：， 当时， ， 解得：， ， ， ， 令：， ， ， ， 令， ， ，， 当时， ， 当时， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，待定系数法，二次函数与一次函数的综合运用，理解新定义，能熟练利用待定系数法及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 5．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 【答案】（1）C的坐标为；（2）P坐标为；（3）M的坐标为． 【分析】（1）过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，利用点的坐标得到，，，，利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得抛物线的对称轴，则点坐标可得，过点作轴，垂足为，连接，，利用（1）中的方法求得点坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论． 【详解】解：（1）小明同学的解题思路：过点作轴于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． ， ，， ， 点的坐标为； 选择小红同学的解题思路：过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：； （2）二次函数，经过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的对称轴是直线． ， ． 过点作轴，垂足为，连接，，如图，    设的坐标为，则， 轴， ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 点恰好落在抛物线上， ， 解得：， （舍去）． 点坐标为； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，如图，    则， ，， ． ， 点坐标为． 设直线的解析式为， 把，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， 点的坐标为， ，， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ． ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． (1)求抛物线的解析式与点，点的坐标； (2)求证：抛物线必经过点； (3)连接、，当时，求点的坐标． 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，解直角三角形，两点距离公式； （1）已知抛物线顶点坐标，可设抛物线的顶点式，再把代入顶点式求出，进而得到抛物线解析式，再令求出点坐标，令求出点坐标； （2）设，根据点到定点的距离与到定直线的距离相等，用距离公式，即可得证． （3）连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，根据得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标， 设 ∵抛物线过原点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 令，即，，解得或 ∴ 当时，，则 ∴， （2）设， ∵已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． 则 ∴ 整理得， ∴ ∴抛物线必经过点； （3）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 当时，，则 ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立     解得：或 ∴ 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令求解即可； （2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可； （3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，． ∴． （2）∵抛物线与轴交于点． ∴令． ∴． ∴． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即． ∵在直线上， ∴当时，． ∴． ∵轴， ∴． 当时，， ∴，， ∴． ∴． （3）∵在抛物线上， 设． ∵， ∴，，． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在上取一点，使，连接． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴．即． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中，． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题． 8．已知二次函数． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当时，y的最小值为，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)的值为1 (3)存在点坐标为或时，为 【分析】（1）将化为顶点式即可解答． （2）根据抛物线得对称轴为．分为若，当时函数取最小值；若，当时函数取最小值．若，当时函数取最小值，列方程求出即可； （3）由题意得：抛物线解析式为：，则抛物线图象的对称轴为，，根据题意，设，求出直线的解析式为，过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，分为当点在轴上方时，和当点在轴下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：， 则该二次函数的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 若，当时函数取最小值， ∴，解得：，； ∵， ∴． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为1． （3）解：存在点坐标为或时，为， 理由如下： 由题意得：，解得：， 故抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为，， 根据题意，设，直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 当点在轴上方时，如图， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， 同理， ∴，， ，， ，， ， ， 将， 代入则， 解得：（舍去）或； 综上，当点坐标为或时，为． 【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 9．如图，抛物线交轴于，交轴于点．连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，点是第四象限内抛物线上一动点，过作于点，试求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P的对应点为点，在新抛物线对称轴上是否存在点，使与相等，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于D，连接，求出，则，直线的解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为；根据，可得，则当有最大值时，有最大值，最大值为，再由，得到当有最大值时，有最大值，据此求解即可； （3）求出，得到，则将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，即可得到抛物线的解析式为，则新抛物线的对称轴为直线；可求出，得到轴，即与直线垂直，设与直线交于T，则，根据与相等，得到，则，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴，交于D，连接， 在中，当时，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴ ， ∴当有最大值时，有最大值，最大值为， ∵， ∴当有最大值时，有最大值， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵原抛物线解析式为 ∴抛物线的解析式为； ∴新抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴， ∴轴，即与直线垂直， 设与直线交于T，则， ∵与相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为或．． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，勾股定理等等，解（2）的关键在于把求线段的最值问题转换成求三角形面积的最大值，解（3）的关键在于求出新抛物线解析式，进而得到新抛物线的对称轴． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交于点E，点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，且．当取得最大值时，求出点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线y＇，新抛物线与原抛物线相交于点F，点T为新抛物线y上一动点，连接，，，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数的几何综合，涉及待定系数求二次函数与一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标系中的平移，轴对称问题，矩形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）利用抛物线的对称性求出点的坐标是，利用交点式得出抛物线解析式为，求出，即可求解； （2）求出直线的解析式是，设点的坐标是，则点的坐标是，得出，利用坐标系中两点距离得出 ，得出，可知最大值时点的坐标是，过点作轴于点，证明，， ，则点到点相当于水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，将点沿方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，得，由平移的性质得，则，当、、依次共线时，取得最小值，即取得最小值，求即可； （3）利用，得出抛物线相当于竖直向上平移个单位长度，水平向右平移个单位长度，得出平移后的抛物线的解析式是，联立原抛物线求得，过点作轴于点，证明，得出，当点在上方时，过点作交延长线于点，过点作延长线于点，交轴于点，证明，求出，再求出直线的解析式为，联立抛物线，即可求解；当点在下方时，同理构造一线三垂直全等，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 点、关于对称轴对称， 抛物线的对称轴是直线， 点的横坐标是， 点的坐标是， 抛物线解析式为， 得， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：设直线的解析式是， 当时，， 点的坐标是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 当时，有最大值， 此时， 此时点的坐标是， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由得对称轴为直线， ∴， ，， ∴， ∴， ∴点到点相当于水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， 将点沿方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，得点，即， 由平移的性质得， ∴，当、、依次共线时，取得最小值，即取得最小值， 最小值为； （3）解：∵，，， 则有， 当沿射线方向平移个单位长度时， 相当于竖直向上平移个单位长度，水平向右平移个单位长度， ∵原抛物线的解析式是， 平移后的抛物线的解析式是， 联立原抛物线得：， 解得：， 当时，， ∴， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在上方时，过点作交延长线于点，过点作延长线于点，交轴于点，则， ∴四边形是矩形，轴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 则直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（舍）， ∴当时，， ∴； 当点在下方时，过点作交延长线于点，过点作轴于，过点作于点，过点作于点， 同理可得，，， ∴，， ∴，即， 同理可得直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（舍）， ∴当时，， ∴； 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $