湖南省衡阳市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

衡阳市一中2025年下学期高一期中考试 高一（数学） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，与之一为空集，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 幂函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 若，，，则下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若且，则 D. 若，，则 11. 已知狄利克雷函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 13. 若函数的图象有在轴下方的部分，则实数的取值范围为_____． 14. 用表示，中的较大者，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）证明：是增函数； （3）解不等式. 17. 小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 18. 二次函数满足. （1）求实数的值： （2）比较与的大小； （3）若与函数值域相同，求实数的取值范围. 19. 设函数为定义在上的单调函数，对任意实数，都有 （1）证明：函数的图象过定点； （2）证明：对任意实数，，都有； （3）若，求的值. 衡阳市一中2025年下学期高一期中考试 高一（数学） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）1 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 任取，且，则， 则， 故为增函数； （3） 【17题答案】 【答案】问题1：甲围法所得三角形面积更大 问题2:480 问题3：当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：因为对任意实数，都有 令，可得，可得， 所以函数的图象过定点. （2） 证明：解法1：取代入条件方程，可得， 取代入条件方程，可得， 两式相加得：， 取，代入条件方程，可得， 综上可得，. 解法2：因为对任意实数，都有， 令，可得， 再令，可得， 所以. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $