精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2025-2026学年 九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如果（x，y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大； 则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知两个负数满足，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 12. 大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为___________（结果保留根号） 13. 如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则___________． 14. 如图，为内部一点，，、分别平分、． （1）___________． （2）连接，过作分别交、于点、，若，，则点的值为___________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． （2）用无刻度直尺在上找点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在和中，． （1）求证：． （2）求证：． 18. 图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 （1）求的值； （2）求支柱的高． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，的平分线为，交于点E． （1）求证： （2）若，求的值 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥市第四十五中学橡树湾校区九年级社会实践小组利用课余时间对某种农产生产和销售进行了调研，收集了以下素材，请你完成探索任务． 某种农产品的销售方案制定问题 素材1 该种农产品的成本（元）与月份之间成本，近似符合二次函数关系，函数图象如图所示 素材2 该农产品的售价（元）与月份之间满足一次函数关系，已知3月份的售价为6元，9月份的售价为2元 素材3 成员小王同学的爸爸对孩子们的调研很感兴趣，决定在这种农产品每千克的收益最大的月份采购一批农产品进行销售． 任务1：该农产品一年共有___________个月份成本不高于4元． 任务2：求售价（元）与月份之间的函数表达式 任务3：小王爸爸应该在几月份投资？ 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 3. 如果（x，y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可设， （），再把， 代入各选项中计算求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴可设， （）， ∴，，，， ∴四个选项中，只有B选项中的式子正确，符合题意， 故选：B． 4. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大； 则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可． 【详解】解：A．函数的图象过二，四象限，经过点，当时，y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B．函数的图象在一，三象限，不经过点，当时，y随x的增大而减小，选项B不符合题意； C．函数的图象过一，三象限，不经过点，当时，y随x的增大而增大，选项C不符合题意； D．函数的图象过二，四象限，经过点，当时，y随x的增大而增大，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解． 【详解】 直线 ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键． 6. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质． 通过直接计算各点函数值，比较大小即可． 【详解】∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ． ∵ ， ∴ ． 故选 ：D． 7. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 9. 已知两个负数满足，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，推导出二次函数是解决本题的关键． 通过消去参数，得到和的关系式，结合和均为负数的条件，推导出，代入得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，求出时的的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ∴， 代入中，得 ， ∴二次函数, ∴函数图象开口向上，且对称轴为直线， 在时，k随着a的增大而减小， 当时， ， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 10. 如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，证明，得出，求出，得出，根据x的范围即可得出的最小值，判断①正确；根据，，求出最小值，判断②正确；根据，得出点G在以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，根据当M、G、D三点共线时，最小，求出最小值即可判断③错误；根据勾股定理，根据二次函数性质求出最值即可，判断④错误． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴当时，最小，且最小值为，故①正确； ∵，， ∴当时，有最小值，且最小值为，故②正确； ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动， 如图，以的中点M为圆心，为半径画弧，连接， 则， 根据勾股定理得：， 当M、G、D三点共线时，最小，且最小值为：，故③错误； 连接，如图所示： ∵，， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为，故④错误； 综上分析可知：正确的有2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质，二次函数性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 12. 大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为___________（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 直接利用黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设，则，则，易得，进而证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，为内部一点，，、分别平分、． （1）___________． （2）连接，过作分别交、于点、，若，，则点的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和性质以及角平分线的定义进行分析，即可作答． （2）先得出平分（三角形的角平分线交于点），再证明，是等边三角形，结合两组对角相等，得出，再作图，根据切线长定理得，再根据勾股定理以及30度角的直角三角形的性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵、分别平分、． ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）∵、分别平分、． ∴平分（三角形的角平分线交于点）， ∴， ∵过作分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点P是的角平分线的交点， ∴点P是的内心， 分别过点P作，如图所示： 则， 结合切线长定理得， ∵， ∴， 设 ∵是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． （2）用无刻度直尺在上找点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）解：如图即为所求， 作 （2） 解：如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度 作图． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可； （2）取格点，连接与交点即为点，此时，则，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在和中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 解：∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 （1）求的值； （2）求支柱的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； 【小问2详解】 由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，的平分线为，交于点E． （1）求证： （2）若，求的值 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，本题中熟练掌握相似三角形的判定与性质以及常用结论是解题的关键． （1）根据可以得到，同时根据角平分线的性质和平行线的性质得到，进而得到，即完成求证． （2）先令，根据三角形相似以及，可以推导得到，然后利用角平分线上的点到线段两边距离相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 由已知条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴和在和边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图像找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， ∴将分别代入，， 得，即， ∴一次函数解析式为， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 联立， 即， 解得：，（即为点）， 经检验，，是原方程的解， ∴点， ∴，边上的高为， ∴； 【小问3详解】 根据函数图像可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集等知识点，熟练掌握反比例函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥市第四十五中学橡树湾校区九年级社会实践小组利用课余时间对某种农产生产和销售进行了调研，收集了以下素材，请你完成探索任务． 某种农产品的销售方案制定问题 素材1 该种农产品的成本（元）与月份之间成本，近似符合二次函数关系，函数图象如图所示 素材2 该农产品的售价（元）与月份之间满足一次函数关系，已知3月份的售价为6元，9月份的售价为2元 素材3 成员小王同学的爸爸对孩子们的调研很感兴趣，决定在这种农产品每千克的收益最大的月份采购一批农产品进行销售． 任务1：该农产品一年共有___________个月份成本不高于4元． 任务2：求售价（元）与月份之间的函数表达式 任务3：小王爸爸应该在几月份投资？ 【答案】任务1：7；任务2：（，且为正整数）；任务3：小王爸爸应该在5月份投资 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 任务1：先求出当时，或，再结合函数图象可得当时，，则当时，的所有可能的取值为，由此即可得； 任务2：根据点，，利用待定系数法求解即可得； 任务3：设这种农产品每千克的收益为元，根据求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：任务1：令，则， 解得或， 即二次函数的图象经过点和， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，， 又∵为正整数， ∴当时，的所有可能的取值为， ∴该农产品一年共有7个月份成本不高于4元． 故答案为：7． 任务2：设售价（元）与月份之间的函数表达式为， 将点，代入得：， 解得， 所以售价（元）与月份之间的函数表达式为（，且为正整数）． 任务3：设这种农产品每千克的收益为元， 则 ， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大， 答：小王爸爸应该在5月份投资． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， ， ； （2） 证明：中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）由，推得，结合即可证明； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）、（2）得：，，， ，， ， 即， ， ， ， 中，， ， ，， ， ，， ，， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数相关知识是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）利用函数对称性质求出新的二次函数解析式，由二次函数图象与性质，求出的最大值与最小值计算即可得到答案； （3）由题意，将代入函数解析式、代入函数解析式，从而得到即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，且与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线关于轴对称的图象解析式为， 则抛物线的对称轴为， ， 抛物线在时有最大值，为， 对于最小值，求出与的函数值，再比较大小即可确定， 当时，；当时，， ， 当时，二次函数的最小值为， 则新的二次函数的最大值与最小值的和； 【小问3详解】 解：存在， 当在函数图象上，则， 当时，代入得， ， ， ， 若也在函数图象上，则， ， 可取任意实数， 要使，无论取何值，等式恒成立，则只需， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $